得“魚”不忘“漁”方為正道

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林秋林

得“魚”不忘“漁”方為正道

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林秋林

數學的新課程標準認為：學生應“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”．由此可見，“證明”是發展數學、學好數學的重要方式之一．在高中數學的日常教學中，公式和定理的證明教學是實施這一目標的重要載體，但由于不少教師只重視公式和定理結論的應用教學，把課堂主要時間都花在講解定理應用的例題上，卻對公式和定理的證明教學簡單帶過．由于受教師的影響，不少學生頭腦里往往也只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，不明確它們運用的條件和范圍，導致這些學生只會“死記硬背，生搬硬套”．以下筆者結合自己的經歷談談體會，愿與大家共同探討．

1.問題的提出

在高三第一輪復習中，當復習到平面向量數量積的坐標表示時，有學生隨口問到：老師，數量積的坐標表達式是怎么得到的？筆者一愣，反問他：“高一時不是有證明過嗎？而且課本上也有證明過程的，想起來了嗎?”該學生搖搖頭，筆者再看班上其他學生，也多是一臉茫然．一問果然都忘記了，筆者不得不將其再推導一遍，大家這才釋然．下課后筆者找了幾個學習較好的學生了解了一下，才知道學生們忘掉這個公式的證明，一是因為高一時數學老師并沒強調證明的重要性，課后也就只記住了應用；二是復習用書上只給出了結論，他們懶于再去翻找課本尋求答案．而且多數學生覺得只需要記住結論，懂得應用就可以了，弄清楚怎么證明只是浪費時間，所以大家從一開始就不放在心上，自然到復習時也就都想不起來了．

2.問題的思考

課后，筆者反問自己：如果只記住平面向量數量積的坐標表達式，而不會證明它，會對解題有影響嗎？畢竟在全國卷及各省市的高考卷中，還從沒有出現過與平面向量數量積的坐標表達式的證明有關的題型．這樣看來，會不會證明這個表達式似乎不重要．但如果翻看文[1]，會發現[1]中對于平面向量數量積的坐標表達式的復習要求是：掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．而對于“掌握”一詞，[1]中是這樣解釋的：要求能夠對所列知識內容進行推導證明，能夠利用所學知識對問題進行分析、研究、討論，并且加以解決．可見對于數量積的坐標表達式的推導證明是有要求學生掌握的．

圖1

例1改編自[2]中第102頁習題4．筆者利用其對兩個班的90名學生進行課堂訓練．結果在有限的時間內，正確率不到50%．有的學生還是利用向量模長的坐標公式去計算，而忽視了此時的基底已經改變了，因而得到錯解．由此筆者認為平面向量數量積的坐標表達式的證明過程在平常解題中雖然用處不大，但其中蘊含的數學思想方法不容忽視，甚至比結論本身還重要．“結論是如何得來的？”這個問題應該是學生學習相關知識時思維的依托，沒有這個依托，知識的識記和運用就缺失了堅實的基礎，知識就變成了孤立的“點”，缺乏建構性，因而就無法融會貫通．因此，讓學生體驗知識的形成過程以及掌握其形成過程就變得尤為重要．

文[1]中的考試內容及要求還出現了很多“掌握”、“會推導”及“能夠證明”等描述，可見公式和定理的推導證明是本就要求受到重視的．經過認真研讀文[1]，筆者及時反思自己的教學觀念和復習方式．在之后的復習中筆者也更加重視公式和定理的證明及推導．現在的高中數學教學過于側重公式和定理的應用，而經常忽視公式和定理的探究和推導過程，造成的后果就是學生往往知其然，不知其所以然．這在之前其實也沒引起什么異議，因為高考數學命題原則上不會出現教材原題，更別說公式和定理的證明了．但2010年的四川高考數學文理科試卷卻帶給了大家一番沖擊：

例2 (2010四川高考)(1)①證明兩角和的余弦公式Cα+β∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

②由Sα+β推導兩角和的正弦公式Sα+β∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

緊接著，又一番沖擊到來．2011年高考數學陜西卷文、理試卷中均出現一道解答題，題目是“敘述并證明余弦定理”，頓時讓人眼前一亮，無數人為之叫好．但同時反應出來的問題也不能讓人忽視，就是這么一道沒人稱之為難題的題，得分情況卻不盡如人意．而接下來幾年陜西省的高考數學卷依舊沒讓人失望：

圖2

例3 (2012陜西高考理)(1)如圖2，證明命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．

(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需要證明)．

例4 (2013陜西高考)(理)設{an}是公比為q的等比數列．

(1) 推導{an}的前n項和公式；

(2)設q≠1，證明數列{an+1}不是等比數列.

(文)設Sn表示數列{an}的前n項和．

(1)若{an}是等差數列，推導Sn的計算公式；

之后從2014起，人們發現已找不到類似的能讓人拍案叫絕的高考題了．個別省份也有著明確規定：試題可以是取材于教材或課外參考資料中經過實質性改造后的問題，但切忌照搬任何教材或課外參考資料的原題或未經實質性改造過的題目．再加上從2016年起全國大部分省份又陸續回歸了全國卷，可以想象到的是高考全國卷中也不會出現公式或定理的證明了，但筆者認為這并不意味著就可以不用重視公式定理的證明及推導，或許下面的例5可以帶給我們一些啟示．

例5 (2015四川高考理)如圖3，A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內角．

圖3

這道題的第(1)問出自[2]第142頁習題1．從中可以看到，即使高考不再考查公式或定理的證明，但假如學生們擁有對這些公式或定理的自我推導能力，那么他們對類似的經過實質性改造過的題目應該也不會發怵．

3.問題的影響

以上這些高考試題的出現，恰恰擊中了以往高中數學教學的軟肋．筆者當年第一次帶高三畢業班，在高三復習時，就是追隨其他老教師的復習思路，即先復習公式定理，然后講題、解題，以公式和定理的應用為主，對于公式和定理的推導過程則幾乎完全忽略．直到有一次講評月考試卷時碰到下面的一道題：

這道題當時竟然有不少同學做錯，經過了解才知道他們高一時不重視公式的推導，復習時也只記住了等差數列前n項和公式，而不關心這個公式是怎么推導出來的，考試時完全想不起來，最后只能無奈放棄了．原本只是一道考查倒序相加法的中檔題，對于高三學生來說應該難度不大，但沒想到結果卻差強人意．筆者當時也很懊悔，講評時也針對這道題重新強調了等差和等比數列的通項公式及前n項和公式的推導．古人常說：授人以魚,只供一飯只需；授人以漁，則終身受用無窮．可是有的時候老師恰恰忽視了“漁”,只希望學生能得到“魚”即可，所以學生也就只伸手接“魚”而不管“漁”．這在某種程度上使學生產生惰性，更不愿去思考公式或定理成立的個中原因，而只愿意在一些解題方法解題技巧上苦下功夫，這樣根本無助于學生真正掌握數學知識，無助于學生形成良好的認知結構．而且如果高考中一旦出現與公式或定理有關的改編題，這些學生就會束手無措，無計可施，這并不是我們老師想看到的后果．更何況這很有可能導致惡性循環，因為有很多的學生在將來大學畢業后也會走上教育崗位，從事中學數學教學工作，而他們只會將這種忽視公式或定理的推導證明的教學思路繼續傳遞下去．這里文[3]中提到的一個現象值得大家注意：

江蘇省無錫市年輕教師教學基本功大賽第一輪解題比賽，有一道源自教材的試題“向量共線定理的證明”，這是一道推理證明題．答卷反饋情況為：27位選手中僅40%得滿分，約40%的選手得一半分，約20%的選手不得分．錯誤主要表現為：對教材不熟悉，邏輯關系模糊，出現循環論證．

4.問題的解決

這個現象不禁讓人深思．作為教師本應授人以“漁”，但如果連自己都不會“漁”，何以授人呢？文[3]中指出：“初中的課標和教材淡化了幾何證明的要求，降低了代數運算的要求．對于剛進入高一的學生，已經習慣于初中的直觀、感性學習新知，給推理證明的教學帶來了一定的困難；高二雖在選修教材中有《推理與證明》一章，但一些學校重視不夠；到了高三復習，再來強化多字母和抽象函數的推理綜合訓練，學生當然難以接受．因此，在高中數學教學中，對學生加強推理證明的訓練具有十分重要的作用”．

高考不僅考查基礎知識，還注重考查能力，其中能力就包括推理論證能力．推理論證能力是指根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題真實性的初步的推理能力．公式和定理是高中數學知識體系的重要組成部分，是數學推理論證的重要依據．因此對學生加強推理論證能力的訓練就必須從公式或定理的推導證明抓起，要讓學生明白推導證明過程的重要性．事實上，當學生們能夠把公式定理的推導證明做到得心應手時，也即領會了數學知識的本質，對于它們的應用及變式則更加不在話下了．例如下題：

例7 (2015江蘇高考理)設a1,a2,a3,a4是各項為正數且公差為d(d≠0)的等差數列．

(1)證明：2a1,2a2,2a3,2a4依次構成等比數列；

(2)是否存在a1,d，使得a1,a22,a33,a44依次構成等比數列？并說明理由；

(3)是否存在a1,d及正整數n,k，使得an1,an+k2,an+3k3,an+5k4依次構成等比數列？并說明理由．

筆者認為，在學習過程中讓學生經歷公式定理是如何被發現的，結論是如何得到的，能夠讓學生更加主動地建構自己的認知結構，充分釋放自己的潛能，感受學習的樂趣．這樣不僅使學生提高了分析問題、解決問題的能力，而且有助于發展他們的思維能力，提高學習效率．筆者目前很重視對學生這方面的要求，在課堂教學時經常把某些公式、定理的證明作為作業對學生進行強化，目前反映出來的效果不錯．例如，由于文[1]中對“線面、面面平行及垂直的性質定理”有明文要求 ：理解以下性質定理，并能夠證明，因此筆者在教學立體幾何時，不時通過作業、課堂提問等形式考察學生們對幾個性質定理甚至判定定理證明的掌握情況．也由于筆者的重視，引起學生的重視．而之后的幾次考試中立體幾何證明題的解題情況相對其他班好上不少，這也讓學生感覺很有成就感，于是他們更加有興趣，在自主復習時都會注重公式和定理的推導過程，讓筆者頗感欣慰．

要轉變大家不重視“漁”的普遍觀念，是一項長期且艱巨的工作．但只要教師從自身做起，重視公式和定理的推導過程，培養學生分析問題、解決問題的能力，從一點一滴抓起，必將有利于學生整體數學素質的不斷提高，更加有利于新課程改革的不斷發展．也因此，筆者認為：得“魚”不忘“漁”方為正道．

[1]2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱及其說明(理科)[S].高等教育出版社，2017．

[2]人民教育出版社，普通高中課程標準實驗教科書：數學4(必修)A版 [M].人民教育出版社，2007．

[3]王華民，阮必勝.立足教材，著眼長遠，培養高一學生推理證明的能力[J].中學數學教學參考(上旬)，2011，10.

[4]吳曉英，巨申文.為“敘述并證明余弦定理”成為高考試題叫好[J].中學數學教學參考(上旬)，2011，10.