平面向量一道例題的拓展

江西省上饒中學(xué) (334000) 吳選錄

平面向量一道例題的拓展

江西省上饒中學(xué) (334000) 吳選錄

在北師大版高中教材必修4的《數(shù)乘向量》一節(jié)中有一道例題(例3)是關(guān)于三點(diǎn)共線的平面向量表達(dá)，筆者在對本例的教學(xué)中進(jìn)行了拓展，引導(dǎo)學(xué)生探究直線的向量式方程，進(jìn)而拓展到平面區(qū)域的向量表示.通過探究，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，滲透了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

圖1

評析：①本題證明的關(guān)鍵是利用向量的共線關(guān)系，在共線的三點(diǎn)中選取兩個向量，建立共線向量關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化得到要證明的結(jié)論;②這道例題給出了判斷三個點(diǎn)共線的一個方法，而實(shí)際上這道題還蘊(yùn)含有更豐富的意義.

(1)當(dāng)x+y=1時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

(2)當(dāng)x+y=2時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

(3)當(dāng)x+y=-1時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

(4)當(dāng)x+y=0時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

(5)當(dāng)x+y=c(c為常數(shù))時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

(6)當(dāng)x+2y=1時，點(diǎn)C構(gòu)成的是什么圖形？

下面舉幾個應(yīng)用以上有關(guān)結(jié)論的例子

例1 如圖2，在三角形AOB中．

圖2

答：(1)x+y=1；(2)點(diǎn)P位于三角形ABC的內(nèi)部．

圖3

評析：點(diǎn)M的位置受到兩組三點(diǎn)共線的制約，解題關(guān)鍵抓住兩組三點(diǎn)共線，利用平面向量基本定理解決問題．

圖4

解析：圖中區(qū)域滿足，00，易得答案為D．

在平常的教學(xué)中，我們教師要深入鉆研教材，發(fā)掘教材更深層次的作用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.