一道高考試題的解法分析與命制背景
——2016年天津市高考數學理科第20題

浙江省寧波市鎮海區龍賽中學 (315200) 梅 潔

一道高考試題的解法分析與命制背景
——2016年天津市高考數學理科第20題

浙江省寧波市鎮海區龍賽中學 (315200) 梅 潔

1 試題呈現

已知函數f(x)=(x-1)3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證x1+2x0=3；

2 試題簡評

本試題表述嚴謹，樸實無華，解法靈活.題目3個小問，呈現平和自然，問題與問題之間相互聯系，層層遞進，易于激發學生解決問題的興趣.作為一道壓軸題，以三次函數為背景,主要考查導數在研究函數性質(單調性、極值、最值)與證明不等式中的應用，充分考查學生推理論證能力和數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.第Ⅰ問屬于學生較熟悉的題型，考查導數與函數單調性的關系、考查分類討論的數學思想.第Ⅱ問考查導數與函數極值之間的關系以及考查三次方程的根與系數之間的關系.第Ⅲ小題是一個證明題，解決三次函數的最大值的最小化問題，此問題的實質是函數的逼近問題，是第一類切比雪夫多項式的一種特殊情況，該問題是近幾年高考、聯賽中的熱門問題，其背景深厚，內涵豐富，要求具有較強的運算能力，靈活的轉化與化歸思想.總體上，試題設計立意鮮明，角度寬，視點多，充分體現了“以能力立意為指導，考查能力和素質”的命題原則.

3 試題解析

3.1 第(Ⅰ)小題的分析與解答

第Ⅰ問求原函數的單調區間，可轉化為導函數的零點分布問題，可采用分類討論，也可采用參數分離，這2種方法是解決函數單調性問題的通性通法.本題采用分類討論來處理較為妥當.

評注：由于方程f′(x)=0是否有解與a的正負性有關，因此在解答中對a的正負性作為分界點討論.分類討論是導數壓軸題中常見的數學思想，處理該類問題首先要理清為何要討論，其次確定討論標準，要求做到不重不漏，這些都是分類討論的關鍵.

3.2 第(Ⅱ)小題的分析與解答

第(Ⅱ)小題證明一個恒等式，實質是證明三次方程根與實數的關系，處理該類問題一般可以從三個角度去考慮：1、函數角度，2、方程角度，3、作差比較.學生只需要一定的運算能力和分析能力，能夠較快地分析出解題的思路，從而有較好的入手點

評注：先驗證f(3-2x0)=f(x0)，再說明f(x)=f(x0)的根有且只有兩個不同的根，從而得到x1=3-2x0，使問題得到順利解決.

解法2:(方程角度)令f(x1)=f(x0)=c，則x0,x1是方程f(x)-c=0的兩個不等實根；又因為x0是f(x)的極值點，所以x0即是g(x)=f(x)-c的零點也是極值點；所以x0是方程f(x)-c=0的二重根.又因為f(x)-c=0，即x3-3x2+(3-a)x-1-b-c=0;由三次函數的韋達定理知x0+x0+x1=3，即2x0+x1=3得證.

評注：先分析x0是方程g(x)=0的二重根，x1是方程g(x)=0的一重根；從而就很容易想到2x0+x1為三根之和，故采用韋達定理易證.

解法3:(做差比較)因為f(x1)=f(x0)，則f(x1)-f(x0)=0，代入函數表達式，得(x1-x0)[(x1-1)2+(x0-1)2+(x0-1)(x1-1)-a]=0(1);又由解法1知a=3(x0-1)2，則等式(1)可化簡為(x1-x0)2[2x0+x1-3]=0；又因為x1≠x0，所以2x0+x1=3.

評注：因為f(x)為多項式函數，且函數值f(x1)=f(x0)，采用作差比較，通過代數恒等變形，轉化為自變量之間的恒等關系也是一種比較常用的方法，考查代數恒等變形的能力及轉化與化歸的數學思想.

3.3 第(Ⅲ)小題的分析與解答

第(Ⅲ)小題證明一個含絕對值的多元不等式，實質上是一個函數逼近問題，是第一類切比雪夫多項式n=3時的情況，具有深厚的高等數學背景，解決這類問題常采用的方法：1、分類討論，2、賦值法，3、數形結合.本問題的解決需要學生較高的綜合分析能力，較強的代數運算能力，能巧妙利用對稱思想的能力.

解法1:(分類討論)設g(x)在區間[0,2]上的最大值為M，max{x,y}表示x,y兩數中的最大值.根據f(x)在[0,2]上單調性的不同情況分三種情況進行分類討論：

評注：求f(x)在區間[0,2]上的最大值，先考慮函數在區間[0,2]上的單調性與a是否大于3有關，因此在解答中對a=3作為分界點討論.再通過比較端點函數值與極值之間的大小關系進行討論.

解法2:(賦值法)設g(x)在區間[0,2]上的最大值為M，max{x,y}表示x,y兩數中的最大值.

由(1)和(2)知

更一般性的結論：

這可能是這個問題的出題背景吧.

下面再從幾何角度來看看這個問題

幾何解釋:原問題等價于在區間[0,2]上，存在a>0，b∈R，使得g(x)≤M恒成立，求M的最小值. 因為|(x-1)3-ax-b|≤M，即ax+b-M≤(x-1)3≤ax+b+M.原問題又可以轉化為在區間[0,2]上，存在a>0，b∈R,y=(x-1)3的圖像“夾在”兩條平行直線l1:y=ax+b-M與l2:y=ax+b+M之間.求l1,l2兩條直線縱截距之差的絕對值的最小值.

圖1

4 教學啟示

教師在日常的教學中在保證基礎知識，基本技能落實好的前提下加強各種數學思想方法的滲透，如數形結合、分類討論，轉化化歸等思想，同時還要在平時教學中滲透高等數學中的思想、觀點、方法，加大初等知識和高等知識交叉點的研究與學習，優化知識結構.只有學生學會了思考和研究的方法，掌握了基本的數學思想，能像數學家一樣去思考問題，成績水平才能真正提高.

同時教師還應在平時加強高考試題研究，由于高考命題具有連續性，因此加強高考試題的研究，有助于把握高考試題的發展方向，尤其是研究高考中最能體現題目本質特征的解法，理解試題的命制背景和特點，才能發揮它在高中數學教學中的導向作用.本題的背景在前幾年的各省高考試題及數學聯賽中多次出現，比如2009年湖北高考理科數學第21題，2010年全國數學聯賽第9題，2015年1月浙江省學業水平考試第34題.如果在平時教學中，能夠引導學生思考數學問題背后的內容，往往可以捕捉到高考命題的一絲線索.

[1]沈虎躍.一道競賽試題的解法分析與命題背景[J].中學教研(數學)，2009(10)：34-36.

[2]佩捷，林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱工業大學出版社，2013:1-10.

[3]楊瑞強.青山不言自用翠——2016年全國課標Ⅰ卷理科第21題[J].中學教研(數學)，2016(10):35-37.