基于模糊估計的可調分數階PID控制器設計

黃 博，丁躍澆，鄒俊超

(1.湖南理工學院 信息與通信工程學院，湖南 岳陽 414006；2.湖南理工學院 機械工程學院，湖南 岳陽 414006)

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基于模糊估計的可調分數階PID控制器設計

黃 博1，丁躍澆2，鄒俊超1

(1.湖南理工學院 信息與通信工程學院，湖南 岳陽 414006；2.湖南理工學院 機械工程學院，湖南 岳陽 414006)

可變分數階微分環節直接影響分數階PID控制器性能，設計分數階PID控制器需要根據被控對象傳遞函數憑經驗調整微分階次。采用Oustaloup間接離散法數字實現分數階微積分，再基于模糊估計由特定分數階次近似得到任意分數階次微積分環節，根據參數整定規則確立各環節系數，設計了一種可調分數階次的PID控制器。仿真實驗證明，此方法得到的微積分環節對控制系統性能沒有影響，根據整數階被控對象傳遞函數調節微分階次，分數階PID控制器有較好的控制效果。

分數階PID；可變分數階微分；分數階微分近似；模糊估計

0 引言

PID控制是控制工程中應用最廣泛的控制方法。分數階PID控制則是建立在分數階微分理論上的一種應用研究。

常分數階微分的理論和應用研究目前已有很多研究成果，而對于時變分數階微分的研究則是一個較新的領域。文獻[1-2]從分數階微分定義出發，對不同定義下的時變分數階微分進行了公式推導；文獻[3-5]對時變分數階微分在實數階和復數階下的近似做了研究，提出了帶記憶全局反饋估計、不帶記憶自反饋估計、帶記憶零極點增益估計等多種近似方法；在變分數階微分應用研究上，文獻[6]設計了一種基于變分數階微分的動力學控制器，文獻[7]提出了一種變模式擴散過程的變分數階微分方程求解方法，文獻[8]針對機械臂控制，設計并實現了一種離散時間變分數階PD控制器。

在以上研究基礎上，根據時變分數階微分理論，從應用角度出發，考慮到設計和實現分數階PID控制器需要對分數階微積分環節做近似處理以及對控制器參數進行整定，當根據被控對象傳遞函數憑經驗確定控制器的微積分階次時，設計復雜度較小；當被控對象受擾動或延時而使傳遞函數發生變化，憑經驗無法確定控制器微積分階次時，設計的復雜度就開始加大，因此可以設計一種可調分數階次的PID控制器來實現控制所需的任意階次微積分環節，這些可基于模糊估計的方式由特定階次微積分環節近似得到，根據參數整定規則得到其余參數，從而可根據被控對象傳遞函數設計出所需的分數階PID控制器。

1 分數階PID控制

分數階PID控制的研究基礎是分數階微積分理論，較著名的PIλDμ控制最早是由PODLUBNY I教授于20世紀90年代提出的，其比整數階PID控制多出兩個可控參數，即分數階積分階次λ和分數階微分階次μ，研究表明對于同一類被控對象分數階PID控制比整數階PID控制性能更優。

1.1 分數階微積分理論

(1)

式中：a、t為算子上下界，α為微積分階次，(α)為階次α的實部。

分數階微積分目前沒有一個統一的定義，其中最著名的是Grünwald-Letnikov(G-L)定義和Riemann-Liouville(R-L)定義。

(2)

(3)

式中：m-1<α

通過引入分數階微積分算子，微分和積分定義被統一起來。在工程中還常通過Laplace變換將時域范圍內分數階微積分引入到復頻域范圍內，如信號f(t)在t=0時的α階微分Laplace變換式可表示為：

L{Dαf(t)}=sαF(s)，α∈R+

(4)

1.2 PIλDμ控制

分數階PID控制系統如圖1所示，其中R(s)為系統輸入、Gfc(s)為分數階PID控制器傳遞函數、E(s)為系統誤差、U(s)為控制器輸出、G(s)為被控對象傳遞函數、Y(s)為系統輸出，分數階PID控制器的傳遞函數可表示為：

(5)

圖1 分數階PID控制系統框圖

其中kp,ki,λ,kd,μ分別為比例系數、積分增益、積分階次、微分增益和微分階次，λ>0,μ>0。

在t=0時，控制器輸出u(t)與系統誤差e(t)有如下關系：

u(t)=kpe(t)+kiD-λe(t)+kdDμe(t)

(6)

被控對象輸入u(t)與輸出y(t)通過Laplace變換可表示其傳遞函數為：

(7)

其中0≤α1<α2<…<αn，(an，bn)∈R， 0≤β1<β2<…<βn。

對于單個微積分傳遞函數形如：

G(s)=sα,α∈R

(8)

令s=jω，其幅頻特性可表示為：

(9)

相頻特性可表示為：

(10)

因此，其幅頻特性曲線為一條斜率是20α的斜線，相頻特性曲線是一條幅值為απ/2的橫線。

1.3 分數階微分的近似

要實現傳遞函數中分數階微積分環節就必須將其近似成整數階微積分環節。近似方法主要有直接近似法和間接近似法。其中Oustaloup間接近似法近似精度較高，其主要針對微積分環節，形如：

G(s)=sα

(11)

不考慮高低頻段，在頻率段(ωl，ωh)內，令其零點極點個數都為N，則其傳遞函數可近似為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

Oustaloup近似法在MATLAB/Simulink中已有程序可以實現，本文主要采用此方法對特定階次微積分環節進行數字實現。

2 可調分數階PID控制器設計

模糊邏輯主要由隸屬度、模糊規則、模糊推理等組成，隸屬度函數值可以是0～1之間的任意數，制定模糊規則并根據隸屬度可以進行模糊推理。

本文選取典型的三角隸屬度函數來進行可調分數階微積分環節的模糊近似，其曲線如圖2所示(圖2所示為橫軸區間位于[-1,1]的11段隸屬度曲線)。

圖2 三角隸屬度函數曲線

在分數階PID控制器中，微積分環節輸出與誤差輸入有如下關系：

uα(t)=Dαe(t)

(16)

假設有n個微積分環節：

uαk(t)=Dαke(t),k=1,2,…,n

(17)

并有n條模糊規則Ak(k=1,2,…,n)：

(18)

如果α是αk，很明顯對于模糊規則“ifαisαk,Thenuα(t)=uαk(t)=e(t)sαk”的隸屬度值為1，因為n條模糊規則里只有這一條是完全為真的。如果αk<α<αk+1，那么有兩條模糊規則的隸屬度值不為0，從而可以得到：

uα(t)=μAk(α)uαk(t)+μAk+1(α)uαk+1(t)

(19)

將其總結還可得到：

(20)

在MATLAB/Simulink中仿真并實現此種近似方法，并設計PIλDμ控制器，其系統框圖如圖3所示。

圖3 可調分數階PID控制系統框圖

其中模糊估計微積分環節內部框圖如圖4所示。

圖4 模糊估計分數階微分環節框圖

上述方法主要對階次區間位于[-1，1]的微積分環節進行模糊估計，針對任意階次的微積分環節只需對階次取整，令α=α1+α2，α1∈Z，-1<α2<1，對α2模糊估計即可。

對微積分環節近似后，仍需根據參數整定規則確定比例、積分和微分環節系數，對于一類典型的整數階被控對象，其傳遞函數表示為：

(21)

按照文獻[9]給出的整定步驟，對于被控對象傳遞函數G(s)和控制器傳遞函數Gfc(s)，系統的幅值裕量Am和相位裕量φm應滿足式(22)和式(23)：

(22)

φm=arg[G(jωg)Gfc(jωg)]+π

(23)

其中ωp和ωg分別應滿足以下條件式：

(24)

arg[G(jωp)Gfc(jωp)]=-π

(25)

控制器傳遞函數滿足式(26)～(29)：

(26)

(27)

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

根據被控對象傳遞函數，期望的幅值裕量Am和相位裕量φm都是已知，對于剩余參數可根據誤差平方最小化決定，即：

(32)

此時kp、ki、kd可由下列關系式確定：

(33)

(34)

(35)

依照經驗確定λ和μ后，ωp和ωg則可根據以下條件確定：

(36)

3 仿真實例

針對一類整數階傳遞函數

(37)

文獻[10]中分別設計了整數階PD控制器和分數階PD控制器，傳遞函數為：

Gic(s)=20.5+2.734 3s

(38)

Gfc1(s)=20.5+3.734 3s1.15

(39)

根據參數整定規則，選取φm=π/4，Am=1.5。調整微分階次令μ=1.03，得kp=16.9，則另一分數階PD控制器的傳遞函數為：

Gfc2(s)=19.6+4.121 6s1.03

(40)

二者的分數階PD控制系統階躍響應曲線如圖5所示。

圖5 分數階PD控制系統階躍響應曲線

從圖5中曲線能看出經過階次調整的控制系統Gfc2比Gfc1超調量更小，但二者由于都沒有積分項，因此系統穩態誤差都不為0，未達到控制要求。

針對此被控對象，仍采用上述期望的幅值相位值來設計分數階PID控制器，令λ=0.7、μ=1.25，可以得kp=233.702 8、ki=21.990 2、kd=19.638 7,其傳遞函數為：

Gfc3(s)=233.702 8+21.990 2s-0.7+19.638 7s1.25

(41)

調整微積分階次，采用文獻[11]中的參數，令λ=0.2、μ=1.05，得kp=138.18、ki=2.89、kd=12.38，設計另一種分數階PID控制器，其傳遞函數為：

Gfc4(s)=138.18+2.89s-0.2+12.38s1.05

(42)

二者的分數階PID控制系統階躍響應曲線如圖6所示。

從圖6中可以看出，Gfc4控制系統和Gfc3控制系統的穩態誤差都接近0，但前者的響應速度更快，超調量更小，達到穩態的時間更短。

圖6 分數階PID控制系統階躍響應曲線

用Gic、Gfc2、Gfc4分別對被控對象進行控制，可得系統階躍響應曲線如圖7所示，圖7中可見分數階PID控制器的控制效果最佳，響應時間最短，超調量最小，達到穩態時間也最短，分數階PD控制器次之，整數階PD控制器最差。

圖7 整數階與分數階控制系統階躍響應曲線

圖8表明，分數階與模糊估計的分數階PID控制系統性能幾乎相同，因此可以推斷模糊估計近似得到的微積分環節對控制器的影響也沒有改變，近似精度與未模糊的微積分環節幾乎相同。

4 結論

根據可變分數階微積分在PID控制中的應用，本文提出基于模糊估計設計的可調分數階次的PID控制器，仿真實驗證明了此種控制器具有較高近似精度，根據被控對象可以任意調整微積分階次，達到了所需的控制要求。按照此方法可以考慮設計開發一種分數階PID控制軟件，應用于諸如文獻[12-13]中涉及的供熱控制、換熱站控制等設計復雜、控制要求較高的工業系統。

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Design of adjustable-order fractional PID controller based on fuzzy approximation

Huang Bo1, Ding Yuejiao2, Zou Junchao1

(1. School of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China;2. Department of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

In this paper, considering the influence of variable-order fractional derivatives on fractional PID controller’s performance, a fuzzy approximation based on Oustaloup approximation is proposed to implement an adjustable-order fractional PID controller with numerical tuning methods. The simulation results show few impact of the fuzzy-approximation-based derivatives on the system and a good performance of fractional PID controller on integer system.

fractional PID; variable-order fractional derivatives; approximation of fractional-order derivatives; fuzzy approximation

TP273

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.12.002

黃博，丁躍澆，鄒俊超.基于模糊估計的可調分數階PID控制器設計[J].微型機與應用，2017,36(12)：4-7,12.

2017-01-21)

黃博 (1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向：時滯系統、遠程控制、分數階PID。

丁躍澆(1967-)，通信作者，男，碩士，教授，主要研究方向：工業控制與智能控制技術。E-mail:yjding@163.com。

鄒俊超(1993-)，男，碩士研究生，主要研究方向：工業自動化、控制軟件開發、分數階PID。