鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型的相變

尹訓昌

(安慶師范大學,安徽 安慶 246011)

?

鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型的相變

尹訓昌

(安慶師范大學,安徽 安慶 246011)

應用等效變換的方法，把鑲嵌正方格子鐵磁Ising模型轉化為可求解的正方格子。采用重整化群變換，得到了正方格子上Ising模型的臨界點。通過得到的兩個變換關系，求得鑲嵌正方晶格上Ising模型的臨界點為K*=0.405。

相變；Ising模型；重整化群

0 引言

相變是自然界中廣泛存在著的一種現象，它是凝聚態物理范圍中的一個研究熱點。1944年，Onsager通過數學推導得到了二維正方晶格上Ising模型的嚴格解[1]，此后相變的研究一直得到人們的重視[2-7]。Ising模型是一種最簡單的自旋模型，它的自旋只能取±1兩個值，可以模擬自然界中鐵磁材料的相變，研究Ising模型的相變具有重要的現實意義。本文研究的鑲嵌正方格子是典型的平移對稱晶格，與典型的正方晶格相比較，更加貼近自然界中的真實系統。研究利用等效變換和鍵移重整化群的方法，討論鑲嵌正方格子上Ising模型的相變。

在正方晶格上，在每個頂點上各放置一個自旋，再把一個自旋放在每個邊長的中點上，把中點的自旋格點連接起來，通過恰當的排列就形成了鑲嵌正方格子，如圖1所示。

分析可知，該格子可以分成單元A和單元B兩個部分。為了簡便，在單元A中我們假設只有近鄰相互作用，則此部分上Ising模型的有效哈密頓量為

(1)

其中，K表示約化的近鄰相互作用參數，它只能取±1兩個值。本文所研究的是K>0的鐵磁Ising系統。

1 等效變換過程

圖2表示等效變換的過程。單元A等效變換前的近鄰相互作用用K表示，L表示變換后的近鄰相互作用。由表達式(1)，可以得到單元A的哈密頓量

HA=H1+H2

(2)

其中

H1=K(sas1+sbs1+sbs2+scs2+scs3+sds3+sds4+sas4),

H2=K(s1s2+s2s3+s3s4+s4s1),

應用等效變換，約去內部中點上的4個自旋si(i=1,2,3,4)，此過程表示為

(3)

上式中Q是一個積分常數，等效變換后的哈密頓量用H′表示。

(4)

其中

(5)

(5)式為等效變換關系。

通過等效變換過程，單元A系統轉化為熟知的可以求解的正方形格子。分析得知，單元B也相應地轉化成正方形格子，本文所研究的鐵磁Ising系統就變成正方形格子上的鐵磁Ising模型的相變問題。

2 正方形格子上的鐵磁Ising模型

正方格子上鐵磁Ising模型重整化群過程如圖3所示。令相互作用參數和鍵一起移動，用鍵移動的數目形象地描述相互作用的大小，即相互作用參數與鍵的數目成正比。分析可知，圖3(Ⅰ)通過鍵的移動后變成圖3(Ⅱ)，它的哈密頓量的表達式為

H=3L(sas1+s1s2+s2sb)

(6)

消去內部格點自旋變量后圖3(Ⅱ)變為圖3(Ⅲ)，系統的哈密頓量為

(7)

采用與上面相同的方法，可以得出重整化群的遞推關系為

(8)

由遞推關系(8)，得正方格子上鐵磁Ising模型模型的相變點為

L*=0.2406

(9)

3 結論

應用上面的結果，把表達式(9)代入式(5)，得到了鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型，模型的相應點為K*=0.405。先通過等效變換方法，把本文所討論的系統變成正方格子系統，然后應用格點消約重整化群得到正方格子上鐵磁Ising系統的遞推關系，通過兩個遞推關系，得到討論系統的相變點。由結果知，本文所研究系統的相變點和單純的正方格子的Ising系統有明顯的不同。

[1] Onsager L.Crystal statistics.I.A two-dimensional model with an order disorder transition[J].Phys.Rev.,1944,(65):117-149.

[2] Gefen Y,Mandelbrot B,Aharony A.Critical phenomena on fractal lattices[J].Phys.Rev.Lett.,1980,(45):855-858.

[3] Li S,Yang Z R.Real-space renormalization-group study of the phase transition in a Gaussian model of fractals[J].Phys.Rev.E,1997,55(6):6656-6660.

[4] Kong X M,Lin Z Q,Zhu J Y.Critical behavior of the Gaussian model on fractal lattices in external magnetic field[J].Sci.China A,2000,43(7):767-779.

[5] 孫春峰.鉆石分形晶格上Ising模型的配分函數與關聯函數[J].物理學報,2005,54(8):3768-3773.

[6] 尹訓昌,劉萬芳,祝祖送,等.Sierpinski地毯上S4模型的臨界特性[J].物理學報,2015,64(1):235-239.

[7] 尹訓昌,劉萬芳,趙玉杰,等.嵌套正方格子上反鐵磁高斯模型的相變[J].原子與分子物理學報,2016,(1):153-155.

The Phase Transition of Ferromagnet Ising Modelon Square Decorated Lattice

YINXun-chang

(AnqingNormalUniversity,Anqing246011,China)

Using the equivalent transformation technique, the ferromagnet Ising model on square decorated lattice is translated into the solvable square lattice. Then according to the renormalization group (RG), it deduces the critical pointK*=0.405 of Ising model on square lattice. Combining two recursion relations obtained in this paper, the critical point of Ising model on square decorated lattice is given.

phase transition; Ising model; renormalization-group

2017-01-08

安徽省自然科學基金(AQKJ2014B019)

尹訓昌(1979-),男,碩士,安慶師范大學物理與電氣工程學院副教授，研究方向：凝聚態物理。

O414.13

A

1674-3229(2017)02-0023-02