歸納與演繹 互補更高效

楊超

乘法分配律的教學是整個小學數學階段的一個難點，歷年教學這個內容都要超出計劃的課時數。即便這樣，仍然有一部分學生理解不好、掌握不好、運用不好乘法分配律，容易出錯。筆者列舉兩種不同的教學思路，以期對比、發現、提升。

歸納法教學模式：

一、情境引入，積累經驗

生1：（4+10）×25=350。

生2：4×25+10×25=350。

師：你能說說這樣列式的理由嗎？

生1：我先算一共賣出幾個籃球，再乘以單價就算出一共收入多少錢。

生2：我先算上午4個籃球賣了多少錢，再算下午10個籃球賣了多少錢，最后加起來就是一共收入多少錢。

師：非常好，這個問題大家用了兩種方法來解決。數學上像這樣得數相等的兩個算式，可以寫成等式：（4+10） ×25 = 4×25+10×25。

二、探究活動，理解算理

師：剛才大家解決了關于籃球的問題，接下來看看排球的銷售情況：

師：你能用幾種方法解決？只說算式，不計算！不計算你能否判斷出這兩個算式相等？說說理由。

（學生說出算式，解釋同上。）

師：若排球單價不是18元了，排球個數也再是4個、10個，你還能寫出類似的等式嗎？試舉例說明。

（學生舉例說明，教師再板書3個左右等式。）

師：像這一類等式還能寫多少個？為什么你們并沒有計算，就認定這些等式成立呢？

生：我假設的單價是100元，上午賣5個，下午賣6個。11個排球的價錢，就等于5個排球的價錢加6個排球的價錢。

師：像這樣的等式寫得完嗎？能否用一個式子代表所有的情況？

根據學生生成，得到一般表達式：（a+b）×c=a×c+b×c。

學生借助情境理解表達式的意義：它表示兩個數的和同一個數相乘，可以把兩個加數分別同這個數相乘，再把兩個積相加，結果不變。這就是乘法分配律。

像上面這樣由具體情境入手，積累一定的感知材料，然后在此基礎上概括、抽象出規律，是典型的歸納推理的模式，也是小學階段學生獲得新知的主要方式。就乘法分配律而言，孩子們初學時易于接受，理解起來也不費力，因為有具體情境作為依托。但是孩子們在接下來的運用，特別是簡算運用中，往往出現諸多錯誤。這是因為學生沒能順利地完成“去情境化”的過程，抽象過程中遇到了障礙。那么，能不能從乘法意義入手，借助某個形象，幫助學生理解乘法分配律的本質意義，達到更高的抽象程度呢？

演繹法教學模式：

一、激趣引入，構建模型

師：看著是綠的，吃的是紅的，味道是甜的，吐出是黑的。（打一水果。）

生：西瓜！

（教師板書：13個【西瓜】+11個【西瓜】=？）

生：24個西瓜！

師：也就是（13+11）個【西瓜】=24個【西瓜】。只寫“24個”行嗎？

生：不行！一定要帶上西瓜，不然別人不知道是24個什么。

師：“24個【西瓜】【西瓜】”呢？

生：也不行！沒必要帶上兩次西瓜，已經算了13加11，已經合并在一起了。

這樣的設計，是針對學生在后面運用時要么漏了因數，要么重復乘兩次因數而為之。

二、探究活動，理解算理

師：方括號里除了放西瓜，還能填什么？

（同小組的學生互相討論，并各自在草稿紙上填出不同的答案。）

生1：我寫的是13個【蘋果】+11個【蘋果】=（13+11）個【蘋果】=24個【蘋果】。

生2：我寫的是13個【人】+11個【人】=（13+11）個【人】=24個【人】。

生3：13個【圈】+11個【圈】=（13+11）個【圈】=24個【圈】。

……

師：填13個【蘋果】+11個【白菜】行不？為什么？

生3：不行，只有同類的才能相加減！

生4：我寫的是13個【2】+11個【2】=（13+11）個【2】=24個【2】。

師：怎么證明相等？

生4：13×2=26，11×2=22，加起來是48；13+11=24，24×2=48，所以相等。

師：如果不計算，能不能說明相等呢？

生4：把2看成西瓜，13個西瓜加上11個西瓜就等于24個西瓜。

師：下次填其他的數還需計算嗎？

生4：不用了！

師：要注意什么事項？

生4：方括號里要填相同的數，就像都是西瓜才能加在一起一樣的。

師：下面這題你會做嗎？

（教師板書：

生5： 5×10+4×10=9×10。

生6：10×5+20×5=（10+20）×5=30×5。

師：能否用一個式子表示這樣的規律呢？

根據學生生成，得到一般表達式： a×c+b×c =（a+b）×c。

這樣設計，是去情境化后，讓學生能在形式上理解乘法分配律，也就是理解演繹推理中三段論的大前提，那么以后只要符合這種形式的算式，都可以使用乘法分配律。從內容上看，可以幫助學生從乘法意義的角度理解乘法分配律。我們可以簡單歸結為：在將兩個乘積相加的算式中，把兩個乘法中相同的因數看作“西瓜”，算式就簡化為：A個【西瓜】+B個【西瓜】=（A+B）個【西瓜】。反之亦然。

事實上，在后面運用乘法分配律進行簡算時，學生很容易將之轉化為“A個西瓜+B個西瓜”的模式。特別是面對諸如99×26、99×26+26這樣的題，只要設問：你心目中的西瓜是什么？他們隨即就能說出：

“99個西瓜等于100個西瓜減去1個西瓜。”

“99個西瓜加上1個西瓜等于100個西瓜?！?/p>

其實，在這個過程中，已經有學生逐漸不需要“西瓜”的幫助了，直接答道：

“99個26就等于100個26減去1個26?！?/p>

“99個26加上1個26就等于100個26?！?/p>

……

用歸納推理模式教學時，好處有：1.從具體情境入手，符合孩子們的認知特點；2.借助情境理解算理比較方便；3.乘法分配律的展開式和合并式可以同步進行，不存在認知差異。問題是，去情境化的難度比較大，導致后面的運用中錯誤頻現；另外，歸納推理畢竟是不完全歸納，不夠嚴密。

用演繹推理模式教學時，其本質是從乘法的意義上理解乘法分配律，嚴謹是其優點。但是其大前提又過于抽象，怎么辦？鑒于小學生形象思維比較強的特點，于是借助“西瓜”這一具體形象，幫助他們建立一個模式：A個【西瓜】+B個【西瓜】=（A+B）個【西瓜】。

對于這種簡單有趣的模式，那些理解能力較弱的孩子，尤其喜歡這樣去理解。

實踐證明，用這兩種模式教學這個內容后，能有效形成互補，學生也就能較好理解、掌握乘法分配律了。

在多元教育的今天，有的孩子喜歡用歸納法學習，有的孩子更適合演繹法的方式。盡管小學階段的學習還是以歸納法居多，但我們也要適當為他們以后的學習奠基，我們多提供一種方式，他們也就多一種選擇了。

（作者單位：廣東省深圳市福田區荔園小學）