小學數學教科書中“組合問題”的編排

劉曉燕，徐章韜

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小學數學教科書中“組合問題”的編排

劉曉燕，徐章韜

（華中師范大學數學與統計學學院，湖北武漢 430079）

以人教版小學數學教科書中的“組合問題”為研究對象，從編排分布、素材選取、內容編寫、呈現方式等4個方面進行研究．考慮到學生發展的階段性，教科書采取了分散編排和集中編排相結合的形式；背景素材大多源于個體或群體的社會生活，而不是學科知識；在變式中體現中國教材“小步走”的理念；更多地采用圖片、表格、連環畫等方式．研究的結論：應精心選擇組合素材，加強與傳統成熟內容的關聯，突出整體的觀點；課程教材的改進、優化需要教師有責任擔當；革新表述方式，使思想方法的滲透更自然，更切合小學生的心理特征．

組合問題；教材編寫；心理特點

1 引 言

課程材料是知識的載體，課程材料的編寫直接影響教師的教和學生的學．因此近幾年來，對于數學教科書的研究逐漸引起了人們的重視．如，有的研究重點分析和討論了數學教材研究的概念及所要研究的問題[1]；有的探索了新時期小學數學教材如何服務于教師的“教”和學生的“學”，真正發揮教材的“引導教學”的功能[2]；有的從HPM的角度對教材的編寫作了對比研究[3]；還有的對人教版小學數學高年級教科書中的人物性別刻板插圖進行了詳細的統計和分析，視角十分獨特[4]；更多的是一些國際教材的比較研究，例如具體對于某一年級、某一章節知識進行比較分析[5~6]．

課程標準指出：義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性[7]．而小學階段是學生認知水平和思維能力形成和發展的起始階段，所以數學課程材料的選取顯得十分重要．這個階段的課程材料不僅應具有趣味性，還應能激發學生的“火熱思考”．對于小學數學教材的研究，如通過研究西師版小學數學新教材，探析了中國小學數學新教材的編寫特色[8]；有的從封面設計的角度對小學數學教材的編寫特色進行了分析，想法新奇獨特[9]；還有的從題材選取、呈現方式等方面研究了數學文化在小學數學新教材的選取及編排情況[10]．通過研究注意到小學教科書出現了很多令人欣慰的變化，小學數學教科書越來越重視以數學活動為載體，滲透數學的思想和方法，表現之一是越來越多的組合問題進入了課程材料．題材豐富，表述形式生動直觀，富有趣味性，還涉及到分類、統籌、優化、建模等眾多數學思想方法，對于學生思維能力的培養具有重要的教育價值．采取文本分析法，對人教版小學數學教科書的組合問題進行定量統計和定性分析，探討組合問題在人教版教科書的編寫特點，闡述選取課程材料、呈現課程材料時應思考的一些問題，以期更好地發展小學生的思維和學習熱情，為人材的培養“從小抓起”提供參考．

2 編寫特點

組合問題是指與離散對象有關的問題，指在一定的條件下對所要研究的離散數據進行安排或配置，主要是對象集合的計數或枚舉，而不是方程、函數等涉及連續對象的問題．組合問題在計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物學等學科中均有重要應用．以人民教育出版社小學數學教科書中的“組合問題”為研究對象，以“編排分布、素材選取、內容編寫、呈現方式”為分析框架，研究“組合問題”的編排特點．

2.1 編排分布

首先，統計教科書正文中有關組合問題的內容分布，結果見表1．從表1可以看到，組合問題貫穿小學數學學習的始終，以活動為載體呈現在教科書中，涉及到眾多的數學思想和方法．

其次，統計教科書例題、練習題和總復習題中有關組合問題的內容分布．組合問題常與代數、幾何等內容相交叉，彼此間又常相互滲透，難以對組合問題的類別進行準確的分類，以組合問題中涉及的主要因素為標準，將其分為分類問題、排列組合、數學化、組合幾何、圖論問題、組合優化、抽屜原理和邏輯推理8個大類，其中分類問題是按照某種條件對研究對象進行分類；數學化即數字編碼、集合等問題；組合幾何是對圖形幾何的拼搭、分割和排列問題；圖論問題是將事物抽象成以點和邊組合而成的幾何問題；其他問題就不一一概述了．針對上述分類，對教材中的例題、練習題、復習題中涉及到的組合問題的題目數進行了年級分布統計，統計結果如表2．

表1 組合問題內容編排分布

表2 組合問題所屬領域統計

從統計結果可以看出，組合問題的編排具有分散編排和集中編排相結合的特點．其中，“分散編排”是將組合問題的內容滲透在代數、幾何、統計中的題目中，如，以排列組合、組合幾何和組合優化等問題為載體，為學生營造一個應用數學思想的平臺，引導學生經歷基于思考的學習過程．“集中編排”是指設置有關組合問題的專題，如“擺一擺、想一想”、“數學廣角”等，在這些板塊中體現某些典型的數學思想方法和解題策略，部分內容還具有綜合性、應用性和實踐性等特點，編排意圖是以活動為載體，使學生在活動中獲得數學活動的經驗及數學的思想方法．

從統計結果可以看出，組合問題的編排考慮到學生發展的階段性．不論是對于整體知識框架結構的設計，還是對某一知識內容的選擇，大體上遵照學科的邏輯結構和學生的身心發展順序，而對整套教科書的內容進行編排．在低年級階段有數形結合、分類集合、有序思維、排列組合思想，這些都是一些比較基本和常見的思想方法，具有直觀性的特點．到了高年級階段，更側重于如“七橋問題”、“鴿巢問題”、“植樹問題”和“田忌賽馬”等思維含量較高的問題，這些“類奧數”問題對于思考邏輯的縝密性要求較高，需要運用到列表、畫圖、轉化等多種方法策略，并且解題方法具有多樣性的特點[11]．小學生從低年級階段的具體形象思維逐步過渡到高年級階段的抽象邏輯思維，逐步完成思維深化升級，問題邏輯結構的發展與小學生的身心發展順序相調協．

2.2 素材選取

組合的思想在生活、生產實際中無處不在．教科書中素材的選取來源于生活，有利于激發學生的學習興趣，增強對思想方法的理解，充分領悟其數學價值與數學思想，優化人們的生活．根據所涉及到的背景素材，將教材中有關的組合問題分為群體生活、社會經驗（密切聯系學生的現實生活，如排隊、購物等）、數學操作活動（主要指需要學生動手操作的活動和問題，如“擺一擺”、“畫一畫”等）、學科知識（沒有任何背景的純學科問題）4個類別，按年級統計的結果見圖1．

圖1 組合問題素材選取年級分布

由圖1可以看出，隨著從低年級到高年級的發展，“數學操作活動”的素材逐漸減少，而關于個人“社會經驗”的素材逐漸增多．低年級學段以“數學活動”為主要素材來源，因為這一階段學生的思維主要以具體形象和動作思維為主，通過開展動手操作的探究活動能讓他們直觀地體驗到現實生活中的組合問題．隨著生活經驗的豐富和視野的擴大，高年級學段的素材更多地以“社會經驗”為主，如衣服搭配，學號登記等．這也表明教科書尊重了學生認知的發展，小學生最初通過身體體驗引發心理狀態的變化，逐步從自身認知走向社會認知．“群體生活”和“學科知識”變化不是很顯著，“群體生活”的比例大于“學科知識”．

素材的背景取材于個體或群體的社會生活，而不是學科知識，表明教科書在處理數學與生活的關系上有明晰的觀點——數學的源頭在于生活，而且還落實了課程理念“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索”．

2.3 內容編寫

對于某一具體組合內容的編寫，以二年級上冊“數學廣角——搭配（一）”為例，對內容編寫進行分析．

這節課文由兩道例題，3道變式習題，4道練習題組成．

例題一討論的是用1、2和3能組成多少個十位數和個位數不同的兩位數，這屬于數碼的排列組合問題．教科書通過兩幅圖來呈現學生探索、討論問題的解決過程．第一幅圖中女生和男生分別通過列圖表和動手實踐這兩種不同的策略，解決了排列組合問題，體現出組合問題解決方法的多樣性．“直觀—操作”的解題方法，使學生體會到了排列組合的思想．第二幅圖中點明“按規律排列”是解決問題的關鍵．第一幅僅涉及到兩個數碼，第二幅涉及3個數碼，復雜性在增加，但第二幅圖的解法可以化歸到第一幅圖中，體現了思維的漸近性．最后教材通過提出問題“怎樣做才能不重不漏？”鼓勵學生進一步思考，并安排一道習題進行鞏固．“不重不漏”是解決排列組合問題的關鍵，有條理地思維才能保證突破這個關鍵點，而這也正是這則材料的教育價值所在．

例題二教科書也是以圖片的方式來行文，通過兩幅圖來引導學生深入思考組合問題的特點——與順序無關．接著通過安排“三人握手，共握幾次”和“購物付錢的組合”這兩道變式習題來加深對例題二的理解．總體上，例題二的思維含量高于例題一，問題逐步深入，體現了數學教學的層次性和組合問題自身邏輯結構的發展性．

最后，通過安排關于座位排列、書本排列、衣服搭配和幣值組合的4道課后習題，引導學生運用已學的知識解決生活中常見的排列組合問題．并在單元小結中，點出有條理的思考問題和排列順序的重要性，引發學生思考總結，回顧所學到的知識，并將其整理成一個完整的體系．

這節教材的編寫，采用人物對白，圖片展示的方式有層次地揭示組合問題的特點．在例題一中，可以看到有兩個層次，先是局部地解決問題，然后把整體問題分解為局部問題，在男女生的對比中指出排列問題的要點．在例題二中，通過比較，讓學生明白組合問題的要點，及與排列問題的區別．為什么先排列問題后組合問題，這是有道理的，排列問題要考慮次序，組合問題不考慮次序，在數學上是說條件在減弱，在思維上則不斷予以自由．教材編寫由例題到變式習題再到對應的訓練習題，以及啟發思考，提煉總結，一步一個腳印，均體現了中國教材“小步走”，拾級而上，結構嚴謹的特點．

2.4 呈現方式

教材的呈現方式對于學習興趣的激發和學習效果的提升均有非常重要的影響．圖片、表格、版式、色彩、人物形象、連環畫還是閱讀材料等，是教材給人的直接感受和視覺特征．認知心理學研究表明，視覺在兒童認識和記憶所學內容中的作用是很大的，如果能充分調動學生視覺的各個方面投入學習，那么學習效果將大大增強．因此，教科書應該根據小學生的認識水平和思維特征，更多地采用圖片、表格、連環畫等呈現方式，使內容更加直觀形象，切合小學生的具體形象思維．縱觀人教版小學數學教科書，組合問題的呈現方式分為純文字和圖文結合兩種，圖文結合又可分為表格、連環畫、卡通人物和情境圖片（圖片的內容為問題中的關鍵詞或所處的情境），統計結果見表3．

表3 組合問題呈現方式年級分布

從頁面版式看，每頁大約3~4個題目，并且所配插圖提供的情境具有故事性和連續性；畫面色彩鮮艷、圖文并茂；選擇的材料注重趣味性和直觀性，如各種各樣的動物，五顏六色的七巧板，等等．從畫面的呈現方式來看，教科書采用了文字、圖表、卡通圖片等豐富多彩的形式．其中絕大部分為圖文結合，而情境圖片更為主要形式，表格、連環畫、卡通人物和純文字的比例較少．隨著年級的升高，純文字的呈現方式逐漸增加，情境圖片的數量則在相應地減少．這樣的呈現方式一方面符合小學生年齡和認知特點，另一方面對于組合問題本身而言，也體現出了隨著組合問題思維的不斷深入，其表達方式經歷了從圖形直觀到語言描述的逐步過渡和發展．在語言方面，考慮到學生的認知水平和思維基礎，文本語言大都簡單明了，直截了當，多以對話為主，如在五年級上冊植樹問題中，男生說：“每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）．”女生回答：“對嗎？檢驗一下．”小天使提示：“100 m太長了，可以先用簡單的數試試．”另一個女生回答：“我先看看20 m可以栽幾棵．”通過人物間的對話，體現出解決問題的過程和解法的多樣性．

在總體布局方面，先是例題引入、正文，然后是相應的變式訓練習題和復習題鞏固知識，最后是單元小結總結重點．部分單元最后還設置了“你知道嗎？”、“數學游戲”等閱讀材料補充相應的課外知識，擴大學生的視野和知識面．

3 討論與分析

根據前面的研究結果，可以認為，人教版小學數學教科書對于組合問題的編寫整體上符合學生的認識規律和身心發展水平，是教科書中非常具有特色的組成部分．但是仍有問題值得討論與分析，使之更好地促進學生的發展．

應精心選擇組合素材，并加強與傳統成熟內容的關聯．雖然，組合問題中蘊含著豐量的數學原理和思想方法，如分類、對應、轉化、優化、數形結合、數學建模、邏輯推理等，這些數學思想方法對于發展學生的思維與認知有很高的教育價值．通過組合問題的學習，能培養學生分析、綜合、比較、抽象、概括、歸納、演繹等思維能力，掌握解決問題的基本方法．而且，教科書的編寫者的確有此意圖[12]．但是，應注意到，組合問題是以“數學廣角”的形式出現在教科書每一章的末尾，不是教科書的主干內容，不以傳授知識為主要目的，與前面成熟的傳統內容沒有多大的關聯，這樣做似乎不太合適．以取食為例，知識猶如各種食材，如大米、菜蔬、鮮肉等，思想猶如各種營養元素，如蛋白質、維生素及各種微量元素等．人體為了保持健康，不會專門去吃各種營養元素，而是從食材中獲取各種營養元素．思想方法的教學應和小學數學的傳統成熟內容建立關聯，這樣做有諸多好處．比如，“田忌賽馬”、“沏茶”、“烙餅”指的是生活中的一種優化思想，不學數學的人同樣也能獲得這些思想．出現在數學教科書中的優化思想的教育意圖何在，是廣大研究者應該深入思考的問題．優化的思想無處不在，生活中有數學，數學中也有，與小學數學的傳統成熟內容密切相關的優化思想可以體現在簡便計算及各種算法、算理的分析上．這樣，優化就從生活走向了數學；從數學的角度對優化進行深入的分析，形成一門學問，提出各種優化對策來解決生活中的各種問題，數學又走向了生活．在“生活—數學—生活”的循環圈中，組合問題便固著在了數學知識的載體之上，不再簡單的是一種游戲．又如，各種游戲對策問題可與帶余除法，等差數列等內容發生巧妙的關聯，如果組合問題與這些傳統成熟內容關聯起來，組合數學就在教科書中扎穩了根．

與傳統成熟內容發生關聯，還要有整體觀．中小學數學的學習應有一個整體規劃．小學教科書中的“數學廣角”的問題，幾乎就是組合數學問題．可以簡單地分成5類．（1）與圍繞集合而展開的內容．如，集合的構造（分類就是一種構造集合的方法）、集合的計數（加法原理、乘法原理和容斥原理）、簡易邏輯（集合間關系的探討），等等．（2）各種關系的探討．如，對應、枚舉、歸納、遞推、方程、函數、構造，等等．（3）各種數學化方法．如，染色賦值、圖論建模，等等．（4）各種數學手段的研究．如，極端原理、抽屜原理、奇偶分析、對稱補形、有序化，等等．（5）典型數學問題．如，游戲對策、等周問題、一筆畫問題、形數問題、凸集凸包，等等．對于這些思想方法在中小學課程教材中的分布，應有一個整體的考慮．這些思想方法會在后續課程中出現嗎，何時出現；如果這些思想方法在后續課程中還會出現，那么在小學階段應如何把握教材的深度．這些思想方法在高中數學教材中大都會出現，而在初中數學教材中出現得很少或根本不出現．思想方法的熏陶應是一個長期的一線串通的過程，出現斷裂帶不好．如，圖論的觀點和方法可以作為一種數學建模的手段來用，可以用來刻畫有豐富內在關系的對象組，可以認為是對圖形或幾何采取了不同于歐氏幾何的觀點和方法．可以和平面幾何的學習建立關聯，如從圖論的角度尋找輔助線，溝通點與點之間的關聯．這樣，圖論的觀點和方法，從小學的“七橋問題”游戲，經初中的圖論觀點下的輔助線，到高中的歐拉公式，形成一條或明或暗的學習線，不至于被割裂．思想方法的熏陶是一個漸進的長期過程，應具有層次性．如，“打電話”中出現了遞推的思想，對小學生就顯得有點難了，而且這還是一種極其理想的情況“誰被通知誰沒有被通知，打電話的人都是清楚的”；如果一定要滲透遞推的思想可以考慮如何和高中的數列發生關聯，如何選擇承載遞推思想的素材．思想方法的熏陶是一個反反復復的過程，應有不同程度的變式．如，分類、計數、對應、枚舉、歸納、符號化等思想方法在小學可以滲透，在初中也可以滲透，在高中亦然，而學生對象的心理特征、思維層次在不斷地變化，承載思想的素材如何適應學生就是一個需要認真考慮的問題．如，不能講到枚舉、歸納，小學是“找次品”，初中、高中還是“找次品”，一定要注意素材的多樣性．

課程教材的不斷改進、優化需要教師有責任擔當．顯然，課程標準及教科書的編寫者的意圖都是良好的，希望通過“數學廣角”這一板塊開發學生的智能，讓學生在動手操作、動腦思考、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，然而，課堂教學依然是學生身心發展的主要場所，沒有教師的主動性和積極性，這部分內容很難收到期望的效果．另外，這部分內容與小學數學的傳統內容關聯不是很大，是一些“類奧數”的問題．“奧數”的名聲并不好，其中最要害之處在于許多人用之牟利．但不可否認，這些“類奧數”問題有著鮮明的育人價值．這就要求教師要有責任有擔當，充分發揮課堂教學這塊主陣地的作用，緊密結合傳統內容，充分挖掘“類奧數”問題的思維價值和教育價值，把學生緊緊地凝聚在學校教育的周圍．那種“課堂上不講，課后找學生補課”的做法，就是把學生往培訓機構推，教師之道盡喪矣．

革新表述方式，使思想方法的滲透更自然，更切合小學生的心理特征．“數學廣角”在很多方面考慮了小學生的心理特點，如，素材（載體）貼近學生的生活經驗，教材的視覺呈現方式考慮了小學生的興趣愛好，等等．這些方面還可多做些嘗試．思想方法其實是一種道理．講道理，不一定要采取論證、議論的方式，也可把道理寓于形象之中，用形象也可說理．人們可以通過讀各種史料、史論了解國家、社會的變遷規律，也可以通過讀各種形象的文學作品，了解社會的運作規律．考慮到小學生的年齡特點和審美情趣，為了吸引小學生的注意力，可采用直觀、簡潔、清晰的圖表呈現信息，使之一目了然；可采用具有故事性和連續性的連環畫，吸引小學生的注意力和興趣，講好數學故事，學好故事中的數學．

[1] 范良火，熊斌，李秋節．現代數學教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”[J]．數學教育學報，2016，25（5）：1-4．

[2] 李星云．引教導學：對小學數學教材建設的思考[J]．課程·教材·教法，2006，（12）：42-45．

[3] 徐章韜，梅全雄．HPM視角下的數學教材編寫[J]．數學教育學報，2009，18（3）：14-17．

[4] 魏佳．小學數學教科書性別刻板插圖的調查與思考：教科書發展的視角——以人教版小學數學高年級教科書為例[J]．數學教育學報，2015，24（5）：96-99．

[5] 丁銳，Yan Ping Xin．中美小學數學教材的比較研究——以三年級“分數的認識”為例[J]．數學教育學報，2016，25（3）：20-28．

[6] 王建波，曹一鳴．中美澳初中數學教材統計內容比較研究[J]．數學教育學報，2016，25（3）：14-19．

[7] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[8] 李欣蓮，宋運明，張渝．小學數學新教材編寫特色再探——以西師版為例[J]．數學教育學報，2014，23（2）：89-92．

[9] 張輝蓉，俞向軍．小學數學教材封面設計的探索及思考——以西師版小學數學課標教材為例[J]．數學教育學報，2014，23（3）：83-86．

[10] 孟夢，楊慧娟，李長毅．數學文化在小學數學新教材中的實踐研究——以西師版為例[J]．數學教育學報，2012，21（2）：61-63．

[11] 季璇，徐章韜．適度把握小學數學教材中的“類奧數”問題[J]．湖南教育，2013，（3）：26-28．

[12] 熊華．加強數學思想滲透 發展數學思維能力——對人教版小學數學教材“數學廣角”修訂的幾點思考[J]．課程·教材·教法，2011，（9）：61-66．

[責任編校：周學智]

Arrangement of Combination Problems in the Primary School Mathematics Textbook

LIU Xiao-yan, XU Zhang-tao

(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

This paper focuses on the study of the combination problems in the elementary school mathematics textbook, and studies from four aspects: arrangement distribution, material selection, content preparation and presentation mode. The results show that considering the stages in the development of students, decentralized arrangement and centralized arrangement combination; Rather than knowledge, background material mostly from individuals or groups of social life; In the variant reflects our textbook “step away” concept; Presentation more with pictures, tables, comic books. We should carefully choose the combination of material, strengthen the association with the traditional mature content and highlighting the overall point of view; The improvement and optimization of the course materials require teachers to have the responsibility to play; Reform expression, make the method more natural and suitable for the pupils’ psychology characteristics.

combination problems; the arrangement of textbooks; psychology characteristics

G622

A

1004–9894（2017）03–0068–05

2017–01–16

華中師范大學重大科研課題及創新示范基地培育項目——TPACK視角下卓越數字化教師的培養研究（CCNUE2015-5）；湖北省高等學校省級教學研究項目——卓越數字化教師培養的路徑和條件分析——以數學教師為例（2015095）

劉曉燕（1994—），女，山東濰坊人，研究生，主要從事數學的教與學研究．