埃塞俄比亞中學數學教科書“幾何與測量”評介

張維忠，江 漂

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埃塞俄比亞中學數學教科書“幾何與測量”評介

張維忠，江 漂

（浙江師范大學教師教育學院，浙江金華 321004）

教育改革的關鍵是課程改革，而教科書又是課程的核心文本，埃塞俄比亞新出版的數學教科書就代表了其數學課程的重要發展，中學數學教科書中的“幾何與測量”編寫更是頗具特色．評介埃塞俄比亞中學數學教科書“幾何與測量”的內容設置、編排以及呈現方式，結合中國義務教育數學課程標準進行相關研究，探討了埃塞俄比亞數學教科書重視幾何學習的基礎知識、突出學生學習的重點；重視幾何學習的邏輯性，鼓勵學生自主學習；重視幾何與實際生活聯系，培養學生測量能力等特點與相關啟示．

埃塞俄比亞；數學教科書；幾何與測量；編寫特點

埃塞俄比亞全名埃塞聯邦民主共和國（The Federal Democratic Republic of Ethiopia，舊稱“阿比西尼亞”Abyssinia，以下簡稱“埃塞”）是一個位于非洲東北的國家，具有三千多年歷史的文明古國，但卻是世界上最貧困國家之一．也是非洲最早獨立的國家，在其結束了13年內戰后，埃塞新政府為了解決日益下降的教育質量問題，制定了教育和培訓政策（Education and Training Policy，簡稱ETP）．ETP概述了埃塞的教育體系目標，旨在培養不同層次和素質的公民．且埃塞在1997年實施的教育部門發展計劃（Education Sector Development Program，簡稱ESDP）則是為了實施ETP的實踐目標[1]．正在實施的ESDP IV特別強調修訂中小學的教學大綱和教科書．而埃塞的教育體制與中國不同，其小學教育8年，初中教育兩年（9~10年級）．義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎，數學教科書中的幾何是義務教育階段的重要內容，同時也是爭議較多的課程，進入21世紀后各國新頒布的課程標準都對幾何進行了重新定位[2]．中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》[3]對第三學段（7~9年級）內容進行了調整，不僅改變了歐幾里得《幾何原本》中以公理體系為主線呈現幾何內容的方式，而且將原來的四部分即“圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置、圖形與證明”改為“圖形的性質”、“圖形的變化”、“圖形與坐標”3部分[4]．2009年，埃塞為了實現從小學到大學的優質教育，制定了“普通中等教育數學課程大綱”，大綱對幾何內容的設置頗具特色．新出版的教科書具有一定代表性且幾何與測量在內容設置、編寫方式、具體內容呈現等多方面值得中國學習借鑒．這里的評介主要基于埃塞教育部頒布的2010版初中（）數學教科書（共兩冊）[5~6]．

1 內容設置以及編寫方式

1.1 內容設置

埃塞初中數學包括九年級、十年級共兩個年級，初中數學教科書共兩冊，教科書中幾何與測量共有4章，二級目錄知識點17個，再細化包括三級目錄知識點有32個，主要內容包括以下4章：幾何與測量、解析幾何、平面幾何、測量．其中幾何與測量屬于九年級教材的內容，其余3章屬于十年級教科書的內容．埃塞教科書中的幾何與測量內容涉及面較廣，其中涉及到的解析幾何，在中國教科書中屬于高中階段學生的學習內容．但由于埃塞的小學教育為八年制，此時的初中教育階段的學生年齡一般在15~16歲，與中國高中學生（一般在15~17）的年齡相近．再從學生的認知發展水平和數學思維能力的角度來看，埃塞的初中教科書設置解析幾何符合學生的發展[7]．具體章節內容的設置見表1．

表1 埃塞初中數學教科書幾何與測量內容設置

對埃塞的中等教育數學教學大綱以及埃塞的初中數學教科書幾何與測量內容的分析顯示埃塞的不同章節關于幾何與測量的內容在教學過程中的比例不同．（表1由于篇幅原因，對于知識點下的三級標題，沒有在表中顯示．）研究者分別從幾何與測量內容包含的章數、節數、頁碼數以及大綱建議的課時數4個方面進行統計，并計算其所占教科書的比重，詳見表2．

表2 埃塞教科書幾何與測量內容的比重

從表2可知，埃塞教科書幾何與測量內容包含的章節數、節數、頁碼數以及課時數分別為4章、17節、102頁、98課時，占全書的比重分別為28.57%、33.33%、27.43%、27.30%，幾何與測量內容占整個教科書基本在三分之一左右．

1.2 編寫方式

埃塞教科書的編寫方式以及教科書的內容設置形式與中國教科書相比也有很大的特色．具體呈現方式見表3．

表3 埃塞幾何與測量內容的編寫方式

從表3得出，埃塞教科書幾何與測量內容按照章節，并在此基礎上再細化成更小的節，按照一個個知識點來呈現該內容．如表3所示，在每章之前都會配有最匹配該章內容主題的彩色圖片（如十年級第六章用蒙娜麗莎；第七章用金字塔圖片）、本章教學目標、以及本章的框架．而對于章內的內容首先呈現的是本章的介紹、具體小節內容的知識點敘述、以及典型例題、解答和證明．每章內容中必不可少的有探究題或者小組合作題，因為每章節內容的知識點的引出或者是知識的教學是以探究題或者小組合作的形式．在進行必要探究或者小組合作之后再給出該知識點重要的定理，以及該小節典型例題與習題．除此之外在每章知識點后有關鍵術語、總結和章末習題．

埃塞教科書幾何與測量內容的編排對知識點進行分類，以小節形式呈現．每一小節的內容一般都是以一個活動（ACTIVITY）進行知識點的概念學習，而這個活動中編有若干個題目，具體習題的個數以知識點的多少及難易程度決定．然后在活動之后，用專業的數學術語介紹有關該知識點的定理．然后再通過例題以及解答或者是證明，以規范的書面語言將解題步驟書寫清晰，有助于學生掌握解題方法，并提升思維的訓練．教科書中每一節內容都有本節習題，而且習題個數不少，最多的小節習題可達到14道，小節習題和章末習題都是從簡到繁，由易到難編排，不同程度的習題有助于學生對知識點的掌握與鞏固，符合學生的認知心理，也體現了埃塞俄比亞教科書對基礎知識和基本技能的重視．

2 幾何與測量內容的特征

2.1 以幾何與測量的分類為主線

幾何是初中教育階段重要的數學教育內容．埃塞教科書中幾何與測量的內容從平面圖形到立體圖形、從規則圖形到復雜圖形、從認識圖形到證明以及在這些過程中要掌握對圖形的測量．在整個教科書中，幾何與測量內容的編排是螺旋上升的，以學生的認識水平為基礎逐步上升的．如表1的安排內容可知，在九年級第五單元安排的學習內容有正多邊形、三角形、圓；而在十年級的第六章是對九年級圓、正多邊形、三角形等內容的延伸與拓展．埃塞教科書的特點是層層引入，注重學生自主探究以及合作學習，啟發學生獲取知識，而不僅僅是單純的灌溉式教學．

2.2 教科書具體內容編寫特點

（1）平面幾何．

幾何一般包括平面幾何、立體幾何、解析幾何，平面幾何作為幾何中重要也是最基礎的內容，是幾何學習中必不可少的內容．雖然平面幾何注重演繹推理，但是平面幾何作為一種直觀、形象化的數學模型，有助于學生理解幾何．埃塞教科書中的平面幾何主要編制的有正多邊形、三角形、圓以及特殊的四邊形．教科書中對這些常見的平面幾何的知識點介紹時，采用的并不是直接進行簡單的概念以及特點的陳述，而是首先通過探究活動，設置各種層層遞進的問題，激發學生的學習興趣并有效引導學生思考，使得學習過程水到渠成．例如在九年級教科書中第一節的學習內容是正多邊形．探究活動設置的問題有什么是多邊形；討論凸多邊形和凹多邊形的區別；找出三角形、四邊形、五角形的內角和；下列圖形中哪些是多邊形；通過這4個簡單但有層次的問題，讓學生進行思考，并在此時順理成章地引出四邊形的概念．在九年級教科書中對多邊形主要是“了解”和“掌握”方面的要求，埃塞教科書在九年級階段對多邊形編排的內容是兩小節“5.1.1正多邊形的內角和的測量、5.1.2正多邊形的性質”，介紹正多邊形的基本性質；十年級在此基礎上進一步介紹了正多邊形的周長、正多邊形的面積．在對正多邊形的周長和面積探究時，均是構造與正多邊形同心的圓．十年級的小節內容前的探究活動設置了9個探究題，啟發學生利用外接圓進行正多邊形的周長及面積的測量．具體的教學目標體現了對不同學習階段學生的要求，詳見表4．

（2）解析幾何．

解析幾何是平面幾何學習的繼續、內容的擴充、方法的提升，是初等代數演繹的載體．解析幾何課程在整個初等數學中占有重要作用．解析幾何也稱為笛卡爾幾何，是17世紀數學發展的重大成果之一[8]．中國將解析幾何的內容著重放在高中階段學習，課程內容主要包括空間坐標系、直線與圓的方程、圓錐曲線、參數方程與極坐標．埃塞初中數學教科書中的解析幾何包括的內容有兩點之間的距離、線段分割、直線方程、平行線與垂直線．由此可見，埃塞的學生在初中開始學習解析幾何，但主要聚焦于解析幾何的基本知識．其十年級教科書的解析幾何內容是在第三章之后，因為在第三章學生初步接觸了代數與幾何的聯系．在教科書中該章的章前內容對解析幾何的起源、背景、概念以及作用做了簡單精確的介紹．教科書注重學生回顧已學知識，如對于“4.1兩點之間的距離”的編排，教科書并不是直接引入如何求兩點之間的距離，而是在小節內容讓學生回顧九年級所學的內容集合，以及坐標軸，并且設置了關于九年級相關知識點的活動（如圖1）．接下來教科書依次編排了“4.2線段的分割”，介紹了“中點坐標公式”；“4.3直線方程”；“4.4平行和垂直的直線”．體現了埃塞教科書采用循序漸進的方式編排內容，讓學生體會到使用坐標來描述幾何圖形，如點、線、圓的性質，領略代數與幾何結合的思想．

表4 平面幾何在九年級和十年級的教學目標

圖1 回顧九年級的集合與坐標軸

（3）立體幾何．

埃塞教科書在復習棱錐和圓柱體的表面積及體積的基礎上，在十年級第七章介紹了金字塔、錐體和球體和它們的截面以及大量復合體的表面積和體積．在該章中主要是涉及的一些常見的立體幾何的測量，例如正方體、直圓錐、直圓柱、棱臺、棱錐、球體、四棱錐等．教科書中首先設置了一個開放問題，即關于如何建立一個車庫．為了讓學生更好地理解立體幾何的基礎知識，教科書中特地編寫了重要的數學術語并著重介紹（如圖2）．教科書中對每個不同的立體幾何編排內容詳細，在第一節中教科書介紹直圓柱體的測量如三棱柱、四棱柱、五棱柱．第二節主要介紹了關于三棱錐、四棱錐、五棱錐以及圓錐、球體的測量．在此基礎上，教科書還介紹了棱臺、金字塔等表面積與體積的測量．埃塞教科書內容編排豐富多彩，根據每章的知識點設置探究活動、小組活動、詳細的例題講解以及專業的術語介紹．埃塞教科書通過配有特色且生動形象的插圖、設置貼近生活的活動激發學生學習興趣，實現了循循善誘的教學方式．

圖2 重要術語的介紹

3 特點與啟示

埃塞初中數學教科書幾何與測量內容在內容設置、呈現方式以及具體內容呈現方面頗具特色，埃塞教科書幾何與測量內容的編寫值得中國初中數學教科書借鑒，在幾何內容的編排上以學生的實際生活為背景、從學生角度出發，在教學和教科書內容呈現上避免單純的演繹推理[9]，適當地增加教科書內容的豐富性，插圖的有趣性，直觀與邏輯性有機結合、引導學生的自主學習以及培養學生的測量能力．現結合中國基礎教育數學課程標準進一步探討埃塞數學教科書的特點及其相關啟示．

3.1 重視幾何基礎知識的學習 突出學生學習的重點

按照教科書列出的最小節標題，埃塞教科書幾何與測量知識點共有32個．教科書注重幾何與測量的基礎知識，對每個知識點都設有探究活動或者小組活動，以及設置經典的例題講解，對于必要的概念、定理、關鍵術語詳細、精準地整理．而且每一節都編有習題，小節習題個數最多可達14道，經統計在埃塞教科書幾何與測量小節習題共有202道（其中不包括一道題分為若干道題），其余章末復習題分別為19、10、11、15，平均后幾何與測量每個知識點的習題個數約為8道（知識點個數按教科書中最小節劃分），可見埃塞教科書對基礎知識的重視程度．而且埃塞俄比亞教科書在每章章末會對本節知識點進行總結，總結的知識點個數分別為21、13、18、7．十年級第七章的總結個數是按照日常生活中常見的立體幾何的測量計數的．突出了埃塞教科書對生活中幾何與測量學習的重視．

埃塞教科書在內容編排上體現了學習幾何與測量知識的過程中，逐漸培養學生的空間觀念、幾何直覺和推理能力．雖然埃塞教科書注重培養學生的基礎知識，但在教科書編寫過程中，并不是采用傳統的定理—定義；性質—例題—習題等形式，而是注重問題情境，讓學生置身于日常生活感受數學、學習數學，根據學生的認知發展特點采用螺旋上升的組織方式，讓學生感受幾何的數形結合的思想，感受幾何的魅力．

3.2 重視幾何學習的邏輯性 鼓勵學生自主學習

埃塞教科書立足學生的角度，考慮學生的學習需求，在教科書內容的安排，章節知識的呈現方式以及順序上都體現了注重學生學習幾何的邏輯性．例如在對教科書中九年級幾何與測量的內容編排時，設置復習關于“什么是多邊形”探究活動，引導學生對所學內容進行復習，同時對本章將要學習的內容進行鋪墊．然后給出關于“多邊形”的定義，再給出典型例題對概念進行鞏固．教科書中的例題編排也很有特色，由“example（例題）”和“solution（解答）”兩部分組成，其中“solution（解答）”呈現的是解決問題的基本思路和步驟，并且針對此問題的數學符號語言的解答．埃塞教科書例題這樣的設計具有以下幾個方面的好處：（1）清晰準確地呈現思維過程的文字表征和符號表征，符合初中學生此階段的思維特點——從形象思維到抽象思維的轉化．（2）例題中“solution（解答）”配有詳細的文字解題思路，解題步驟清晰，通俗易懂，十分適合學生自主學習．

埃塞教科書例題編寫的特色以及整個教科書幾何與測量內容的編排上涉及的研究活動以及小組活動共有55道，平均每章14個活動題，其數量明顯多于中國數學教科書．經分析可知，埃塞教科書大多數活動題難度適中，以問題串的形式循序漸進地提升問題難度，激發學生積極思考．教科書設計的活動大多數是以“問題解決”的形式展開，按照曹一鳴課堂結構對其進行編碼，埃塞俄比亞的初中數學課堂結構多以分組或獨立解決問題（WP）形式[10]．埃塞教科書這樣的設計有利于學生進行自主探究，自主學習．

3.3 重視幾何與實際生活聯系 培養學生測量能力

埃塞教科書十分重視幾何與實際生活的聯系以及運用能力．教科書中選取的探究活動、小組活動、例題、習題大都來自現實生活的情境．例如在學習十年級“7.4復雜立體圖形的表面積和體積”時，通過日常生活中點燃的蠟燭引入由圓錐體和圓柱體組合的復合立體圖形，以求蠟燭的表面積和體積達到求復合立體圖形的表面積和體積的教學目的．在習題中以家庭生活中的水桶作為原型，讓學生求其表面積與體積．教科書中關于幾何與測量內容的情境基本來自學生的實際生活，這樣設計的好處是讓學生確實體會到數學來源于生活，數學在日常生活中的重要性，激發了學生的學習數學的興趣，也提高其運用幾何內容解決實際問題的能力、將生活問題數學化以及數學生活化的能力．

埃塞教科書較中國人教版初中數學教科書更重視測量，以及測量的實踐性．例如九年級教科書正文中“5.5測量”主要集中在三角形、平行四邊形的面積測量以及圓柱體和棱柱體表面積與體積的測量等．在十年級第六章教科書中，測量內容穿插在各小節內容中，而在第七章整個章節名稱為“測量”，教科書內容包括棱錐、圓柱體、金字塔、球體以及由這些立體圖組成的復合圖形等測量．埃塞教科書對培養學生測量能力的重視程度毋庸置疑，選取的測量情境、數學問題是學生日常生活熟悉的場景與道具，這些都值得學習與借鑒．

[1] 紀春梅，益西卓瑪，李瑞富．埃塞教育部門發展計劃——ESDP計劃評述[J]．外國教育研究，2013，（3）：63-71．

[2] 李淑文，史寧中．中日兩國初中幾何課程內容的比較研究[J]．全球教育展望，2012，（1）：82-85．

[3] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[4] 史寧中，馬云鵬，劉曉玫．義務教育數學課程標準修訂過程與主要內容[J]．課程·教材·教法，2012，（3）：50-56．

[5] Federal Democratic Republic of Ethiopia Ministry of Education.[M]. ADDIS ABABA, ETHIOPIA: STAR EDUCATIONAL BOOKS DISTRIBUTORS Pvt. Ltd, 2010.

[6] Federal Democratic Republic of Ethiopia Ministry of Education.[M]. ADDIS ABABA, ETHIOPIA: STAR EDUCATIONAL BOOKS DISTRIBUTORS Pvt. Ltd, 2010.

[7] 張維忠，程孝麗．埃塞俄比亞普通中等教育數學教學大綱評介[J]．教育學術月刊，2015，（9）：96-100．

[8] 李鐵安，宋乃慶．高中解析幾何教學策略——數學史的視角[J]．數學教育學報，2007，16（2）：90-94．

[9] 孔凡哲，史亮．幾何課程設計方式的比較分析——直觀幾何、實驗幾何與綜合幾何課程設計的國際比較[J]．數學通報，2006，（10）：7-11．

[10] 曹一鳴．國際視野下的中國中學數學課堂微觀分析[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[責任編校：周學智]

Review on “Geometry and Measurement” of Ethiopia’s Middle School Mathematics Textbook

ZHANG Wei-zhong, JIANG Piao

(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

Education reform was the key curriculum reform and textbook and curriculum at the core of the text, Ethiopia, new math textbooks published by means of the mathematics curriculum important development, in the middle school mathematics textbook “geometry and measurement” of writing was characteristic. Review Ethiopia middle school mathematics textbook “geometry and measurement” Settings, layout and presentation, the content of the our country compulsory education mathematics curriculum standard research, discusses the Ethiopian mathematics textbooks attaches great importance to learn the basic knowledge of geometry, highlighting the focus of the study; Attaches great importance to the geometric learning logic, encourage students autonomous learning; Attaches great importance to the geometric contact the actual life, cultivate students’ ability to measure the characteristic such as related enlightenment.

Ethiopia; mathematics textbook; geometry and measurement; characteristics of compilation

G633

A

1004–9894（2017）03–0078–04

2017–03–23

2015年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——民族數學與數學課程改革（15YJA880107）；浙江省2011協同創新中心“非洲研究與中非協同創新中心”資助重點項目——非洲數學教育發展研究（14FZZX07Z）

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授，博士生導師，主要從事數學課程與教學論研究．