麥克斯韋方程組超定問題的解釋

劉長禮

(北京應用物理與計算數學研究所，北京 100094)

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麥克斯韋方程組超定問題的解釋

劉長禮

(北京應用物理與計算數學研究所，北京 100094)

麥克斯韋方程組有6個未知量，8個方程，是超定方程組.對于超定問題一般這樣解釋：認為兩個散度方程是不獨立的，只需初始時刻滿足即可，之后自動滿足。所以計算電磁學中只求解旋度方程，而不求解散度方程。文中指出這種解釋有一個循環邏輯缺陷，從而導致此種解釋不正確；在計算電磁學中兩個散度方程必須求解。推廣的線性相關概念用以解釋偏微分方程超定問題。在這個推廣的線性相關定義下，原來眾多“表面”超定方程都變成了適定方程，避免了一些歧義。

麥克斯韋方程組；超定；散度

真空中麥克斯韋方程組[1]如下式：

其中，B是磁感應強度；E是電場強度，這兩個量是未知量；J是電流強度密度，ρ是電荷密度，這兩個量是已知量；μ0,ε0是電磁系數；引入常數λ是為了下面討論使用，同時平衡等號兩邊量綱。本文中如無特別聲明λ≡0。很顯然這個方程組有6個未知量，8個方程，方程超定。

(2)

貌似有如下結論：如果某初始時刻t0，方程(1c),(1d)成立；那由式(2)可知在此后任意時刻t>t0，方程(1c),(1d)都成立。也就是可以把式(1c),(1d)看成式(1a),(1b)的初始條件[1]，從而兩個散度方程是不獨立的。在這種解釋中把式(2)看成是旋度方程的推論。眾多文獻[1]中都有這個解釋，筆者能查到最早的文獻就是Stratton于1941年著Electromagnetic Theory，所以稱之為Stratton解釋。但這個解釋內部邏輯關系有些缺陷，如下文所指。

1 循環邏輯缺陷

麥克斯韋方程組是雙旋度散度體系。先討論單旋度散度體系，然后可以很自然地推廣到麥氏方程組。

(3)

其中，u是未知量；ρ,S是已知源函數；要求divS=0，這是相容性條件。需要注意：divS=0不是式(3b)的推論，是需要額外滿足的條件；divS=0中的等號不是自動成立的，比如取S=αr(非零常數α是為了平衡等號兩邊量綱而引入)，則divS=αdivr=3α≠0；只不過此時式(3)無解罷了。如果認為相容性條件(divS=0)是旋度方程(3b)的推論且自動成立，則其中必有循環邏輯；就是旋度方程(3b)解存在性要求相容性條件(divS=0)事先成立，如果再由式(3b)推導出0≡div(curlu)=divS?divS=0，自然是循環邏輯。所以相容性條件(divS=0)不是式(3b)的推論，是需要額外滿足的條件。下面將用到這個結論。

現在看Stratton解釋的內在循環邏輯缺陷。需要注意到麥氏方程解存在的條件之一是要求相容性條件(2)中的等號“=”成立。Stratton假設麥氏旋度方程解存在(即已假設相容性條件(2)成立)，然后他又由兩個旋度方程推導出相容性條件(2)；也就是說Stratton事先用了與相容性條件(2)等價的假設，然后再次推導出相容性條件(2)，并且認為相容性條件(2)是旋度方程的推論。這樣的循環邏輯顯然是錯誤的。與單旋度散度體系類似，相容性條件(2)不是自動成立的。然而Stratton忽略了旋度方程解存在性條件，并認為相容性條件(2)是旋度方程(1a),(1b)的推論而自動成立，這是循環邏輯錯誤。正確的邏輯是：兩個散度方程(1c),(1d)在任意t≥t0時刻(不能只是初始時刻t0)成立和電荷連續性方程成立是確保相容性條件(2)成立的條件，進而確保了兩個旋度方程(1a),(1b)解的存在性。既然麥氏方程組解存在性要求兩散度方程全時域(t≥t0)成立，那么Stratton解釋的結論(只要兩散度方程初始時刻t0成立，則以后任意時刻t>t0都成立)就不對了。因此計算電磁學中不求解兩個散度方程的做法是沒有理論基礎的，兩個散度方程不能省略不解。

2 超定問題解釋

然而麥氏方程組是超定的，這也是一個事實。如何解釋這種超定性是一個需要考慮的問題。Jiang[2]在他的文章中引入啞元來說明麥氏方程組是適定的，而非超定。在Jiang[2]的文章中，他引入一個啞元?來說明式(3)是適定的(在這里只是簡略敘述他的論證，詳細過程請參考他的論文)。

(4)

方程組(4)中已引入啞元，很容易得到這個啞元的控制方程是2?=0，在零值邊條件下，這個方程只有零解，從而引入啞元?對方程(3)未做任何改變。然而方程組(4)有4個未知量，4個方程是適定的。由于方程組(3)和(4)是等價的，所以Jiang認為方程組(3)是適定的。

他認為方程組(3)和(4)是等價的，進而認為可以式(4)的“適定”性質傳遞到式(3)，從而認為方程組(3)也是“適定”的。然而這有一個缺陷：我也可以認為這個等價性將式(3)的“超定”性質傳遞給式(4)，從而認為式(4)是超定的。這顯然是個悖論。

由于存在缺陷，雖然Jiang的結論是對的，但解釋不可靠。可以用下面的辦法來解釋之。

現有一階線性偏微分方程組

(5)

3 計算電磁學討論

計算電磁學中有些格式，比如時域有限差分(FDTD)，只求解兩個旋度方程，而不求解散度方程。根據上面的討論，這種做法是沒有任何理論根據的。所以麥氏方程組的4個方程都應該求解(或者等價求解：是指不依靠Stratton解釋，而依靠計算方法的特別設計使散度方程自動滿足)。下面根據這個原則做些原則性討論。

1) 不能夠自動滿足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。應棄用。

2) 能夠自動滿足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。這類格式只適用于沒有電荷源的電磁波傳播，且須在均勻各向同性介質中。通過電磁場縱、橫分解可以適用于非零電荷密度情形。

3) 求解全部麥氏方程組的格式，比如Jiang的格式[2]。適用于各種情形。

4) 還有一類方法就是將麥氏方程組升級到二階，比如文獻[3]，這類方法也不解兩個散度方程；這也是不對的，證明過程存在與上面類似的邏輯缺陷。在文獻[3]中，將式(Ricci-18)代入(Ricci-8)而得到(Ricci-19)，作者忽略了在這一步他已經使用了divD=ρ對全時空都成立這一條件；最后還說(Ricci-25)中只需要高斯定律初始時刻滿足即可。既然證明過程中用了divD=ρ對全時空都成立，那么就不可能得到高斯定律只需要初始時刻滿足即可之類的結論。

4 結論與討論

本文首先指出了Stratton解釋存在循環邏輯錯誤：他事先假設相容性條件(2)成立(麥氏方程組解存在要求，其實兩個散度方程(1c),(1d)在任意時刻成立和電荷連續性方程成立是確保麥氏旋度方程解存在的條件)；然后他又推導出相容性條件(2)，并把它當成旋度方程的推論；這是循環邏輯錯誤。因此計算電磁學中忽略兩個散度方程的做法就失去了理論基礎。兩散度方程應該算是基本方程，需要求解。那種認為電荷連續性方程可以由麥氏方程組導出的看法很顯然也是錯的。

推廣的線性相關定義Ⅱ用來解釋超定問題。解存在且唯一的、定義Ⅰ下超定方程組(比如單旋度散度方程，麥克斯韋方程，應力應變形式彈性力學平衡方程，帶坐標條件的愛因斯坦引力場方程，帶規范條件的Yang-Mills方程)，在定義Ⅱ下均成為適定的。

下面3個待證命題表面上顯然正確，但證明卻十分麻煩。如果它們是正確的，那在偏微分方程領域，定義Ⅱ比定義Ⅰ更合適。

①假設線性偏微分方程組(5)的解存在、唯一，且在定義Ⅰ意義下超定；那么方程組(5)必在定義Ⅱ意義下適定。

②假設線性偏微分方程組(5)的解存在，且在定義Ⅱ意義下欠定，在定義Ⅰ下適定；那么方程組(5)的解必定不唯一。

③假設線性偏微分方程組(5)在定義Ⅱ意義下超定，則其無解。

[1] Stratton J A. Electromagnetic Theory[M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1941:1-6. 除了上述最原始的文獻外，還有很多文獻提及了Stratton解釋，比如：Taflove A, Umashankar K. Review of FDTD numerical modeling of electromagnetic wave scattering and radar cross-section[J]. Proc. IEEE, 1989, 77: 682-699. Chew W. Waves and fields in inhomogeneous media[M]. New York: Van Nostrand-Reinhold, 1990: 4-6.

[2] Jiang B N, Wu J, Povinelli L A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 125: 104-123.

[3] Ricci P, Lapenta G, Brackbill J U. A simplified implicit Maxwell Solver[J]. Journal of Computational Physics, 2002, 183: 117-141.

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COMMENTS ON OVER-DETERMINATION OF MAXWELL’S EQUATIONS

Liu Changli

(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100094)

Maxwell’s equations seem over determined, which have six unknowns and eight equations. It is generally believed that Maxwell’s divergence equations are redundant, and both equations are thought as initial conditions of curl ones. Because of this explanation, two divergence equations usually are not solved in computational electromagnetics. A circular logical fallacy of this explanation is found, and two divergence equations cannot be ignored in computational electromagnetics, which are not redundant, but fundamental. The definition of differential linear dependence is employed to explain over-determination of Maxwell’s equations. In the generalized definition, several overdetermined equations become well-determined ones, which avoid some ambiguity. This paper in English can be referred to arXiv: 1002.0892.

Maxwell’s equations; over-determination; divergence

2016-03-23

劉長禮，男，助理研究員，從事物理研究工作，研究方向為等離子體物理，LIUCL78@pku.org.cn。

劉長禮. 麥克斯韋方程組超定問題的解釋[J]. 物理與工程，2017，27(3)：7-9,21.