雙極坐標系下的柱面鏡像法(電軸法)

張拴柱

(長治學院電子信息與物理系,山西 長治 046011)

?

雙極坐標系下的柱面鏡像法(電軸法)

張拴柱

(長治學院電子信息與物理系,山西 長治 046011)

在研究電力、電信傳輸問題時，兩根平行圓導線或兩個圓柱形導體之間的電場、電勢可以采用柱面鏡像法計算，這種方法歸結為一對電軸的電場、電勢問題。本文引進雙極坐標，在描述電場、電勢的分布，以及計算不同情況下的電容問題時，顯得更加簡單、方便，由此看出選擇適當的坐標系所帶來的優點。

電磁學；雙極坐標；鏡像法；電容

在電磁場理論中，所謂一對電軸是指：線電荷密度分別為λ和-λ(λ=常量)的兩平行無限長帶電直線相距2a所組成的(見圖1)。根據該問題的對稱性，可知電場是平行平面場。容易求出在垂直于帶電直線xOy面的任一點電勢為

選取雙極坐標

度規因子

也可寫成

則電勢在雙極坐標下

則電場的分布

等勢線：

(x-acthη)2+y2=a2csch2η

即為圓心在x軸(acthη,0)上的一族圓(等勢線)，當 0<η<∞時，圓在右半平面；η=0時，圓退化為y軸直線；-∞<η<0時，圓在左半平面。在三維空間中，等勢線是一系列圓柱面，其母線與z軸平行，其截面為上述各個圓。

圖1

令h=acthη,R=acschη由此看出，每個等勢圓的圓心到坐標原點的距離h，圓半徑R，帶電直線到坐標原點距離a，三者之間的關系

h2=R2+a2

由于R2=h2-a2=(h+a)(h-a)，即帶電直線所在的兩個點，對于每個等勢圓的圓心來說互為反演。

上面的結果運用到實際問題中。例如：半徑分別為R1，R2無窮長導體圓柱軸距離為L，平行放置時(見圖2)，求單位長度的電容。由于導體圓柱面上電荷相互作用，使導體圓柱表面的電荷非均勻分布，而呈現內側密外側疏的狀態，由唯一性定理，將導體圓柱撤去，而代之以線電荷密度±λ兩根導線，若導線位置滿足

h2=R2+a2

則它的電場與兩圓柱外的電場等效，(L>R1+R2)導體圓柱面為兩個等勢圓柱面。

圖2

等效帶電直線位置為

圖3

聯解

圖4

前面已知h=acthη,R=acschη則

chη=

單位長度的電容

而

把h1、h2代入則可得

所以

若R1=R2

若是半徑為R1的空心圓柱套著半徑為R2的空心圓柱(即偏心電纜)兩圓柱的軸平行而相距L<(R2-R1)，求單位長度的電容。

等效帶電直線位置為

聯解得：

而

則把h1、h2代入可得

所以單位長度的電容

若是同軸圓柱形，則L=0，即回到一般教科書所討論的同軸圓柱形電容問題，

[1] 舒幼生,等.物理學難題集萃[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2] 孫敏,等.工程電磁場基礎[M].北京：科學出版社，2003.

■

CYLINDRICAL MIRROR IMAGE METHOD (ELECTRIC AXIS METHOD) IN BIPOLAR COORDINATE

Zhang Shuanzhu

(Department of Electronic Information and Physics, Changzhi University, Changzhi, Shanxi 046011)

Cylindrical mirror image method can be used to calculated the electric field and potential between two parallel round wires or two cylindrical conductors in the study of electricity and telecommunications transmission, which is reduced to the electric field and potential problem of a pair of electrical axis. In this paper, the bipolar coordinate are introduced, and it is simpler and more convenient to describe the distribution of electric field and potential, and to calculate the capacitance in different cases. It shows the advantages of selecting the appropriate coordinate system.

electromagnetics; bipolar coordinate; image method; capacitance

2017-01-11

張拴柱，男，副教授，主要從事物理教學與研究,czxyzsz@163.com。

張拴柱. 雙極坐標系下的柱面鏡像法(電軸法)[J]. 物理與工程，2017，27(3)：82-83,90.