外場中介質球周圍電勢分布的一種新解法

曹斌照 費宏明 楊毅彪 陳景東

(太原理工大學物理與光電工程學院,山西 太原 030024)

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外場中介質球周圍電勢分布的一種新解法

曹斌照 費宏明 楊毅彪 陳景東

(太原理工大學物理與光電工程學院,山西 太原 030024)

利用點電荷與介質球系統的鏡像電荷分布規律以及對外加電場源的等效，并結合場的疊加原理和連帶勒讓德函數的性質導出在外加電場中介質球周圍電勢分布的表達式。在此基礎上，討論了幾種特殊情形，從而驗證了其正確性。本文方法新穎，對于更好地理解球形介質邊界的鏡像、場的等效原理以及特殊函數在靜電勢的求解中的應用具有指導意義。

球面介質邊界的鏡像；連帶勒讓德函數；等效原理

介質球處于均勻外場中其周圍電場的分布規律在現行的多種教科書《電動力學》《電磁場理論》《數學物理方法》中作為典型例題進行了分析求解[1-3]。主要是利用了分離變量法，通過對拉普拉斯方程的定解問題進行求解，并借助于電介質極化的相關概念對計算結果進行分析。文獻[4]采用了鏡像法分析點電荷與介質球系統的電勢。在此基礎上，文獻[5,6]將鏡像法與分離變量法相結合，討論了介質球在點電荷電場中產生的電勢分布規律，并將均勻電場視作點電荷的極限，從而推出與文獻[1-3]相一致的結果。但筆者在總結上述相關文獻過程中發現，對于介質球處于任意外加電場的問題并沒有涉及，且所討論的問題中涉及的均勻電場的產生也只是一種理想假設，該極限條件在具體實現過程中也存在著困難。故此，本文提出介質球處于外場周圍電勢分布的一種新解法，對外加電場采用一種新的等效方法。既從另一角度解釋了點電荷與介質球系統鏡像的物理機理，又充分展示了連帶勒讓德函數這一特殊函數的性質，從而可以使數學與物理融會貫通，在相關內容的教學中不失為一種好的嘗試。

1 模型及理論推導

處于外電場E中的介質球會伴隨著極化的發生，從而使介質球內及其表面出現束縛電荷，所產生相應的附加電場E′，總場為二者的疊加。本文將基于鏡像法分析此類問題。為了便于理解，分3步進行考慮：首先分析介質球外點電荷的鏡像；其次，提出外場的新的等效模型；在此基礎上，利用疊加原理計算處于外場中介質球內、外的電勢分布。

1.1 介質球外點電荷的鏡像

設介電常數為ε1、半徑為R0的介質球放置在介電常數為ε2的基質中，點電荷Q置于距球心為d的球外某點。所產生的電場引起介質球的極化，對于均勻極化僅在介質球內、外側出現一定分布的束縛面電荷，可以用鏡像電荷來代替。設d′為鏡像電荷到球心O的距離，當計算球外電勢時鏡像電荷Q′應放置在球內，整個空間為介電常數為ε2的介質；當計算球內電勢時鏡像電荷Q″應放置在球外，整個空間為介電常數為ε1的介質，如圖1所示。根據點電荷的電勢公式，有

(3)

可求得

這樣，球內、外的電勢可分別表示為

由此可見，點電荷處于介質球外的鏡像不是由單一的點電荷構成，而是一系列處于同一位置但電量各不相同的離散電荷系，它們在所產生的總電勢中等同于電多極子中2l極子的效果，這與導體球的情況不同[1,2]。文獻[5]借助于分離變量法的結果，對此問題做了進一步的深入研究，得到的結論為點電荷對于介質球的鏡像電荷是一個點電荷加上一段線電荷。然而，從上面的分析結果來看，鏡像電荷也可以看作是一系列同一位置、不同階的點電荷系的共同疊加。由此可見，點電荷對于介質球的鏡像可以按照不同的等效來理解。

對于點電荷處于介質球內的情形，分析過程類同，在此不贅述。

1.2 外加電場的等效

設介電常數為ε2的介質中存在著分布于區域V′內的源ρ(x′)，所產生的電場為E，如圖2所示。依據電磁場的等效原理[7]，在區域V′內的許多不同分布的源可以在V′外產生相同的場。于是，在計算區域V′外電場時不妨令帶電體內電場為零，即原問題可等效為一個空心導體殼，則表面等效電荷密度可表示為

σ=ε2n·E

(9)

圖2 分析外區域電場等效原理示意圖

對于均勻場E0，即要求表面電荷密度為恒定值，且為無窮大平面。根據電磁學知，一對極性相反、電荷均勻分布的無限大平行板，形成一無窮大平行板電容器，極板間電場則為均勻場。設極板上電荷密度為±σ0，如圖3所示。極板間的電場為

(10)

圖3 用鏡像法均勻電場對介質球的電勢示意圖

1.3 外場中電勢的一般式

按照疊加原理，介質球內、外的電勢分別為

2 特例計算與分析

2.1 均勻電場中介質球外電勢的計算

在討論介質球處于外加均勻電場中周圍的電勢問題時，可以將無限大的平面極板視為電量為±σ0dS′的點電荷元的疊加，并規定球心處為零勢點。據式(12)，第一項即為

(13)

按照疊加原理，介質球外的電勢應滿足

(14)

根據連帶勒讓德函數的正交性

(15)

式(14)只有當m=0，n=1時才不為零，于是可得介質球外的電勢為

(16)

該結果與文獻[1,2]的結果同。

2.2 均勻電場中介質球內電勢的計算

據式(11)，同理可得

經過詳細的推導，可求得球體內總電勢為

(17)

該結果與文獻[1,2]的結果相同。

2.3 均勻電場中導體球外電勢的計算

據式(7)，可得球體內總電勢為

(18)

球體外總電勢為

(19)

該結果與文獻[1,2]的結果相同。

2.4 同心帶電球殼包圍介質球時球殼內、外電勢的計算

將圖3中的平行極板置換成半徑為R1的導體球殼，即取r′=R1，設所帶總電量為Q，代入式(11)、(12)，按照連帶勒讓德函數的正交性，只有當n=0時才不為零，故

采用高斯定理法可容易得到相同結果。

以上4個特例均可以證明本文方法的正確性。對于二維情形，如介質柱處于任意外加場，也可同理得到相應結果。

3 結語

本文基于點電荷與介質球系統的鏡像電荷分布規律，用場的等效原理將外加場等效為一種面電荷分布的源，通過場的疊加原理和連帶勒讓德函數的性質導出介質球在任意電場中電勢分布的一般積分表達式。對4種特殊情況進行了討論，從而驗證了該方法的正確性。

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A NEW METHOD FOR ANALYZING THE PROBLEM OF THE POTENTIAL DISTRIBUTION AROUND THE DIELECTRIC SPHERE IN THE EXTRA-ELECTRIC FIELD

Cao Binzhao Fei Hongming Yang Yibiao Chen Jingdong

(College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi 030024)

The expression of electric potential distribution around dielectric sphere in the extra-field is obtained based on the distributing law of the mirror image system composed by a point charge and a dielectric sphere, combined with the equivalent principle and the property of Associated Legendre function. On this basis, several special cases are discussed and the correctness is verified. The new method has guiding significance for solving the electrostatic potentials to better understand of the mirror image of spherical medium boundary, equivalent principle of the fields and special functions.

mirror image of spherical dielectric boundary; associated Legendre function; equivalent principle

2016-09-12

2016年山西省高等學校教學改革創新項目(J2016013)、2016年太原理工大學本科教育教學改革項目(ZD001)、2016年教育部高等學校物理類專業教學指導委員會研究項目(JZW-16-DD-12)、2016年教育部與高通公司產學合作協同育人項目(201602034010)。

曹斌照，男，副教授，主要從事電動力學、數學物理方法的教學與研究。caobinzhao@tyut.edu.cn。

曹斌照，費宏明，楊毅彪，等. 外場中介質球周圍電勢分布的一種新解法[J]. 物理與工程，2017，27(3)：91-94.