基于粒子群算法的平面四桿機構優化與動力學仿真

沈明秀,王荔芳

(昆明學院 自動控制與機械工程學院,云南昆明 650214)

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基于粒子群算法的平面四桿機構優化與動力學仿真

沈明秀,王荔芳

(昆明學院 自動控制與機械工程學院,云南昆明 650214)

目前，平面四桿機構運動過程中連桿從動件輸出的角加速度的線加速度比較大,導致機構運動不平穩,不能很好地滿足工作需求.對平面四桿機構連桿及銷子進行優化,實現連桿從動件輸出的角加速度和線加速度值最小化.創建平面四桿機構鏈接節點間隙模型和機構矢量簡圖,對四桿機構的運動節點間隙進行分析,推導了連桿運動的質心線加速度計算公式.四桿機構連接銷子采取虛擬質量,引入粒子群算法優化連桿運動參數,結合具體實例對優化前和優化后的四桿機構從動件進行運動學仿真.仿真結果顯示:優化前兩個從動件輸出的角加速度最大值分別為2.4×103rad·s-2和-5.0×103rad·s-2,優化后兩個從動件輸出的角加速度最大值分別為-0.6×103rad·s-2和-0.8×103rad·s-2;優化前兩個從動件輸出的線加速度最大值分別為0.27×103m·s-2和0.55×103m·s-2,優化后兩個從動件輸出的線加速度最大值分別為-0.07×103m·s-2和0.12×103m·s-2.優化后四桿機構從動件輸出的角加速度和線加速度相對較小,運動相對平穩,效果很好.

四桿機構; 粒子群算法; 角加速度; 線加速度; 優化

平面連桿機構也稱之為平面低副機構,它可以按照設計的運動規律實現擺動、移動及轉動等各種復雜運動.連桿機構具有許多優點:連桿運動過程中承受壓強較小,接觸部位便于潤滑,磨損很小;制造簡單方便,運動精度較高;運動行程遠,兩構件能夠靠自身封閉來完成接觸.因此,平面連桿機構應用非常廣泛.主要應用在儀表、工程機械、折疊傘、機械手上.但是,平面連桿機構也存在許多缺點:當運動復雜時,機構構件數量和運動副就會增加,導致機構結構復雜,工作效率較低;機構在運動過程中所產生的慣性很大,特別是在高速運動時,難以保持平衡,振動比較大,故常常應用于低速場合.

由于四桿機構結構簡單、設計方便、加工生產容易及工作比較可靠等,所以在工程機械中得到了廣泛的應用.隨著社會生產的發展,四桿機構承受的載荷在增加,運動速度也不斷提高,對四桿機構的設計難度也在增大.因此,四桿機構在高速運動過程中如何保持平穩一直是近年來研究的重點.當前,許多研究人員對四桿機構優化進行了深入的研究,例如,文獻[1-3]基于遺傳算法優化了平面四桿機構角位移誤差和行程比系數,通過MATLAB 軟件的遺傳算法,構造了優化目標函數模型,縮短了運行周期,提高了四桿機構的運動精度.文獻[4-6]研究了四桿機構近似函數綜合的優化設計模型,通過可行性規則差分進化算法求解函數非線性方程組.最后通過仿真驗證轉角誤差,可行性規則差分進化算法可以提高機構轉角精度.文獻[7-8]研究了四桿機構的動力學特性,建立了四桿機構運動的動力學模型,分析了機構的動態應力和應變,通過有限元軟件對機構進行了模態分析,得出了連桿應力集中位置,為機構的優化目標提供了參考依據.以前研究者研究四桿機構很少考慮機構運動的穩定性,導致運動過程中振動比較嚴重.對此,本文創建了四桿機構間隙模型,給出了四桿機構的向量簡圖,對四桿機構進行了運動分析,推導出了連桿質心位移和角度的計算方程式.引入三次多項式構造連桿旋轉角度,通過粒子群算法優化四桿機構連桿設計參數,對四桿機構輸出的角加速度和質心線加速度進行動力學仿真.結果表明:與優化前相比,優化后輸出的角加速度和線加速度最大值明顯下降,整體跳動幅度很小,運動相對平穩.

1 平面四桿機構

1.1 節點間隙模型

本文研究的平面四桿機構具有3個鏈接關節,在關節部位所產生的間隙如圖1所示.對節點間隙模型進行分析,假設鏈接兩個連桿的銷子質量為零(虛擬質量),并且在剛性單元間是一種無摩擦鏈接.間隙矢量的方向與碰撞面的法線方向相一致,鏈接節點所受合力是在同一個方向上,如圖2所示.另一方面,每一個節點間隙都會給鏈接處帶來額外的自由度,鏈接點的受力方向就是合力方向.

圖1 四桿機構間隙模型Fig.1 Four-bar linkage clearance model

圖2 四桿機構向量簡圖Fig.2 Four-bar linkage vector diagram

1.2 運動學分析

運動學主要是對平面四桿機構的位移、速度及加速度進行分析.由圖2可知,矢量閉合方程式為

(1)

式中:Li表示第i個連桿的長度;θi表示第i個連桿與水平面之間的夾角;rj表示第i個鏈接銷子的半徑;γj表示第i個鏈接銷子與水平面之間的夾角.

由圖1可知,P點的坐標方程式為

(2)

因此,連桿質量中心坐標的方程式如下所示:

(3)

(4)

(5)

式中:Gi表示第i個連接桿的質量中心;ui和vi表示Gi點在自身質量分布坐標系統里的值(i=2,3,4).

式(3)～(5)對時間的微分方程式就是連桿質心的速度和加速度.

2 運動綜合

平面連桿路徑生成問題中的尺度合成包括確定的連桿尺寸以產生P點所需的路徑.因此,我們設計出平面四桿機構以解決節點間隙在被動節點下的路徑生成問題.路徑生成問題中的若干設計參數都以向量的形式表示:

(6)

式中:N是優化目標節點的個數,在此,目標函數由兩部分組成,即位置誤差和通過補償函數建模引入的約束.通常而言,在路徑再現綜合問題中,前者是定義為在所產生路徑與所期望路徑之間的均方距離的總和,而后者被定義為一些不等式約束.在此,一般有5種約束,即格拉斯霍夫定律、旋轉輸入鏈接、點缺陷、分支缺陷、回路缺陷.四桿機構的格拉斯霍夫定律方程式[9]為

(7)

(8)

式中:p和q是鏈接節點的中心長度.

對于一個完整的旋轉輸入鏈接,格拉斯霍夫定律方程式[9]為

(9)

假設給出了曲柄逆時針旋轉模型,分支和回路的缺陷約束條件為

(10)

(11)

(12)

因此,具有上述約束的路徑生成合成目標函數[10]定義如下:

(13)

3 鏈接銷子計算

雖然平面四桿機構運動是單自由度系統,但是由于節點間隙的存在,又將額外增加3個不可控的自由度.因此,這些自由度應得到控制以減小一些負面影響,如果鏈接假定為剛性,鏈接銷子的方向可通過拉格朗日方程[11]獲得:

(14)

式中:T,U和D分別表示動能、勢能和耗散函數.

(15)

(16)

(17)

式中:i表示節點數量;mi表示質量;Ii表示轉動慣量;g表示重力加速度;Cθi表示黏性阻尼系數;Cγi表示鏈接銷子質量.帶入方程(14),簡化如下:

(18)

3.1 粒子群優化算法

粒子群優化算法[12]是一種基于迭代的優化算法.粒子群算法開始產生一組隨機的粒子群體,通過搜索和迭代找到最佳值.粒子群優化算法通過迭代來更新粒子的位置和速度,其計算表達式[12]為

(19)

(20)

圖3 粒子群優化算法流程圖Fig.3 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

粒子群優化算法設計鏈接節點,節點的方向角度是以曲柄角為自變量的函數,即γjd=f(θ2)(j=2,3,4).在優化過程中,該方向假定是理想的方向,當角速度可知的情況下,節點的方向可以通過控制銷子質量分布來控制.因此,四桿機構的優化參數為

(21)

因此,優化目標值是實際與理想角度差的平方和作為曲柄角的一個周期,如下所示:

(22)

平面四桿機構在實際運動過程中,鏈接銷子與鏈桿之間總是存在間隙.優化的四桿機構,它遵循期望的路徑,且沒有對虛擬質量方向產生干擾變化,通過使用如下三次多項式[13]:

(23)

式中:P1j,P2j,P3j,P4j表示系數.

假定鏈接銷子與連桿之間的間隙為0.5mm,設計參數X1,如表1所示.

表1 設計參數

采用粒子群優化算法得到三次多項式系數和優化參數X2分別如表2和表3所示.

表2 四桿機構的節點間隙系數

4 運動仿真及分析

對優化前和優化后的平面四桿機構的角加速度和線加速度進行動力學仿真,仿真參數設置如表3所示,連桿L2的角速度為4π/s,仿真時間為

表3 X2優化前和優化后的參數

1.0 s.連桿L3和L4的角加速度仿真結果分別如圖4,5所示,連桿L3和L4線的加速度的仿真結果分別如圖6,7所示.

從圖4,5可知,優化后四桿機構連桿L3,L4的角加速度輸出值波動幅度較小,連桿L3,L4的角加速度輸出最大值分別為-0.6×103rad·s-2和-0.8×103rad·s-2;優化前四桿機構連桿L3，L4的角加速度輸出值波動幅度較大,連桿L3，L4的角加速度輸出最大值分別為2.4×103rad·s-2和-5.0×103rad·s-2,角加速度容易發生突變現象.從圖6,7可知,優化后四桿機構連桿L3,L4的質心線加速度輸出值波動幅度較小,連桿L3,L4的質心線加速度輸出最大值分別為-70 m·s-2和120 m·s-2;優化前四桿機構連桿L3,L4的質心線加速度輸出值波動幅度較大,連桿L3,L4的質心線加速度輸出最大值分別為270 m·s-2和550 m·s-2,連桿L3,L4的質心線加速度容易發生突變現象.因此,優化后四桿機構連桿輸出的角加速度和線加速度變化較小,運動比較平穩,機構不容易產生振動.

圖4 連桿L3角加速度Fig.4 Connecting rod L3 angular acceleration

圖5 連桿L4角加速度Fig.5 Connecting rod L4 angular acceleration

圖6 連桿L3質心線加速度Fig.6 Connecting rod L3 centroid acceleration

圖7 連桿L4質心線加速度Fig.7 Connecting rod L4 centroid acceleration

5 結語

針對平面四桿機構連桿節點存在間隙、導致機構運動不平穩等問題,本文采用粒子群算法優化了四桿機構連桿及銷子的設計參數.構造了四桿機構的間隙模型及向量簡圖,推導出了四桿機構的運動位移數學計算公式,確定了四桿機構銷子質量計算.優化了目標函數,通過粒子群優化算法搜索出連桿的最優尺寸設計參數,借助于MATLAB軟件對優化后四桿機構連桿輸出的角加速度和線加速度進行了仿真.仿真結果表明:優化后連桿輸出的角加速度和線加速度最大值明顯下降,整體抖動較小,為平面四桿機構運動學的研究提供了參考依據.

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Optimization and dynamical simulation on planar four-bar mechanism based on particle swarm optimization algorithm

SHEN Mingxiu, WANG Lifang

(College of Automatic Control and Mechanical Engineering,Kunming University,Kunming 650214,Yunnan,China)

Currently,the angular acceleration outputs from connecting rod followers of planar four-bar mechanism are so large yet unstable that cannot meet working demands.To optimize the planar four-bar linkages and pins,the connecting rod outputs of angular and linear accelerations are initially minimized. Afterwards,the planar four-bar linkage joint gap model and vector diagram are established.Thereafter,the kinematic joint gap of four-bar mechanism,together with the formula of connecting rod motion,is derived from the linear acceleration of centroid. Since the connecting pins of four-bar mechanism possess virtual mass,the particle swarm optimization is employed for motion parameters of connecting rods. By using specific examples for kinematics simulation on four-bar mechanism followers,it is indicated that the pre-optimization values of maximum angular acceleration for two followers are respectively 2.4×103rad·s-2and -5.0×103rad·s-2， whereas the post-optimization values of maximum angular acceleration for two followers are respectively -0.6×103rad·s-2and 0.8×103rad·s-2. In addition,the pre-optimization values of maximum linear acceleration for two followers are respectively 0.27×103m·s-2and 0.55×103m·s-2, whereas the post-optimization values of maximum linear acceleration for two followers are respectively -0.07×103m·s-2and 0.12×103m·s-2. Conclusively,the angular and linear accelerations are smaller after optimization,whilst the movement is more stable with better effect.

four-bar linkage; particle swarm optimization; angular acceleration; linear acceleration; optimization; simulation

云南省教育廳科學研究基金重點資助項目(2010Z027)

沈明秀(1978-),女,講師,碩士.E-mail:shenxm201607@126.com

TH 112

A

1672-5581(2017)01-0015-06