具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群中遷移算子的譜研究

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

?

具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群中遷移算子的譜研究

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

在Lp(1≤p<∞)空間上，研究了在一般邊界條件下具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型，討論了這類模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析和本征值的存在性，得到了該遷移算子的譜僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成等結(jié)果。

結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群；一般邊界條件；遷移算子；譜分析；離散本征值

M.Boulanouar在文獻(xiàn)[1-2]中提出了一類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群的數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中h(v)表示速度權(quán)重因子，ψ(u,v,t)表示由細(xì)菌成熟度u∈(0,1)和細(xì)菌成熟速度u∈(a,b)(0≤a

在生物學(xué)上，每一有絲分裂時，子細(xì)菌被看成細(xì)菌種群的一部分，它們之間存在相互關(guān)系k(u,v,v')，在數(shù)學(xué)上表示為下列一般邊界條件：

(2)

這里常數(shù)α,β≥0表示每一有絲分裂子細(xì)菌的平均數(shù)。

近年來，關(guān)于這類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型的研究較少。文獻(xiàn)[1-2]僅在L1空間和具總轉(zhuǎn)換規(guī)則(即(2)式中α=0的邊界條件下進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[1]得到了該模型相應(yīng)的遷移算子生成正不可約C0半群，文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了該模型的解在一致算子拓?fù)湟饬x下的漸近行為等結(jié)果。但是對這類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型在一般邊界條件下的遷移算子的譜分析還未見研究成果，只是對速度權(quán)重因子h(v)=v的特殊情況下有些研究成果(部分可見文獻(xiàn)[3-9])。本文在Lp(1≤p<∞)空間中對該具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型進(jìn)行研究，討論了該模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析和本征值的存在性，得到了其遷移算子的譜僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成等結(jié)果。

1 準(zhǔn)備知識

定義索伯列夫空間為Wp：

其中h(v)為有界可測函數(shù)，且滿足

假設(shè)(O1)：h≥h(v)>0,a.e∈(a,b).h為常數(shù)。

定義邊界算子H為：

且ψ0=ψ(0,v),ψ1=ψ(1,v)。

定義Streaming算子T和碰撞算子K及遷移算子A如下：

A=T+K.D(A)=D(T).

令σ0=essinf{σ(u,v)|(u,v)∈Ω}.對λ∈C,φ∈Xp,ψ∈D(T)，考慮方程

(λ-T)ψ=φ.

(3)

則?λ∶Reλ>-σ0，方程(3)式可形式地解為：

(4)

取u=1,則(4)式為：

(5)

根據(jù)(4)式和(5)式引入如下算子：

顯然，?λ∶Reλ>-σ0，算子Pλ，Qλ,Dλ和Eλ都是有界正算子[6]，且

‖Pλ‖≤e-(1/h)(Reλ+σ0); ‖Qλ‖≤(p(Reλ+σ0))-1/p.

‖Dλ‖≤(Reλ+σ0)-1/q; ‖Eλ‖≤(Reλ+σ0)-1.

從而(5)式和(4)式分別為：

ψ1=PλHψ1+Dλφ.

(6)

ψ=QλHψ1+Eλφ.

(7)

令

則當(dāng)Reλ>λ0時，有

‖P……