向量值多線性極大奇異積分算子的有界性研究

張慧慧， 駱雯琦

(上饒師范學院 數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001)

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向量值多線性極大奇異積分算子的有界性研究

張慧慧， 駱雯琦

(上饒師范學院 數學與計算機科學學院，江西 上饒 334001)

利用一類多線性反H?lder不等式，得到了向量值多線性極大奇異積分算子在加權Morrey空間中的有界性。

向量值多線性極大奇異積分；加權Morrey空間；矢量權；多線性反H?lder不等式

1 引言及主要結論

眾所周知，多線性算子理論在調和分析的研究中起著重要的作用。2002年Grafakos和Torres[1]系統地研究了如下形式的多線性奇異積分算子：

(1)

(2)

(3)

上世紀30年代，Morrey[4]通過引入著名的 Morrey空間Mp,λ(Rn)來研究二階橢圓微分方程局部解問題，這里Mp,λ(Rn)的定義為

其中0≤λ

2009年，Komori以及Sharai[5]首次引入了加權Morrey空間Lp,k(ω)，其定義為

在給出本文主要結論之前，先介紹AP權函數類的定義。

定義1.2[7]假設ω(x)是一個非負局部可積函數，若對所有的邊長與坐標軸平行的方體Q，均有

其中1

根據H?lder不等式，可得Ap?Aq(1

本文主要結論如下：

2 本文主要引理

在給出定理1.1的證明之前，我們先給出一些證明過程中需要的引理。

對任一方體B，如果ω滿足ω(2B)≤Cω(B)，其中C為和ω以及B無關的常數，則我們稱ω滿足二倍測度條件，記為ω∈Δ2。

引理2.1[8]如果ω∈Ap(1

引理2.2[8]如果ω∈Δ2，則存在大于1的常數C,使得ω(2B)≥Cω(B)。

引理2.3[9](多線性反H?older不等式)如果ωi∈Ar,其中r為大于1的任意實數，則對任意的方體

B?Rn，存在一個和方體B無關的常數C，使得

根據引理2.3，我們可得如果ωi∈Api，則有

(4)

3 定理1.1的證明

(5)

|yi-x0|<2|x-yi|。然后類似于文獻[5]第226頁中的相關方法，我們有

(6)

故根據引理2.1和2.2，可得

(7)

α1=α2=,α3=α4=…=αm=0這種情形，因為其余的情形計算過程都是類似的。首先根據(1)，我們有

接下來給出∫2B|fi(yi)|qidyi的估計。……