幾何最值問題大剖析

甘曉云+勞榮旦

幾何中求最值問題是中考的常考題，也是同學們覺得困難的一類題. 其實這類題常以四種形式出現：求線段最值、求線段之和的最小值、求線段之差的最大值、求立體幾何中的最值問題. 平時我們遇到的最值問題其實就是把之前學過的簡單模型放在一個情境中去考察，只要懂得把問題中相應的幾何最值模型抽象出來，問題就會有法可尋，有法可解. 下面結合幾道中考題進行分類解析，供同學們參考.

類型一 線段最值——利用“垂線段最短”求最值

例1：如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2[2]，點D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫 O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為（ ）

A. 2 B.[3] C.[5] D.3

【分析】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短。我們可以這么添加輔輔線：過點O作EF的垂線，連接OE，OF，如圖2所示。此時線段EF=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE·sin60°，因此當半徑OE最短時，EF最短，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.

解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，

連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2[2]，

∴ AD=BD=2，即圓O的直徑為2，

由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，

∴ 在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=1×sin60°=1×[32]=[32]，

由垂徑定理可知EF=2EH=[3].

故答案為B.

求線段的最值時，若所求線段長可轉化為求一點到某一直線的距離，則將之轉化為點到直線的距離，再利用“垂線段最短”原理，過該點作此直線的垂線，最后計算垂線段的長即可求解。

類型二 線段和的最小值——利用“兩點之間線段最短”求最值

例2：如圖3，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點， O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（ ）

A.1 B.[22] C.[2] D.[3]-1

【分析】首先找出點A關于直徑MN對稱的對稱點A′，那么AP+BP的最

小值就是A′B的長度.

解：如圖4所示，作點A關于MN的對稱點A′，連接BA′，此時，BA′與直徑MN的交點即為動點P的位置.

∵ A是半圓上一個三等分點，

∴∠AON=∠A′ON=360°÷2÷3=60°，

又∵點B是弧AN的中點，

∴∠BON=[12]∠AON=[12]×60°=30°

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°

在Rt△A′OB中，由勾股定理得：A′B2=A′O2+BO2=1+1=2

得：A′B=[2]，

所以：AP+BP的最小值是[2].

故答案為C.

求線段和最小時，若已知的兩點在動點所在直線的同側，將動點所在的直線當作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接（即三點共線時），則其與直線的交點即為所求動點所在位置，再求出所連接的線段長即為所求。

類型三 線段差的最大值——利用三角形三邊關系求最值

例3：如圖5所示，已知A[12，y1]，B（2，y2）為反比例函數y=[1x]圖象上的兩點，動點P（x，0）在x正軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（ ）

A.[12，0] B.（1，0） C.[32，0] D.[52，0]

【分析】先求出A，B的坐標，接著設直線AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐標代入求出直線AB的解析式，再根據三角形的三邊關系定理得出在△ABP中，|AP-BP|

解：∵把A[12，y1]，B（2，y2）代入反比例函數y=[1x]得：y1=2，y2=[12]，

∴ A[12，2]，B[2，12].

在△ABP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP-BP|

∴延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA-PB=AB，

即此時線段AP與線段BP之差達到最大，

設直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）

把A，B的坐標代入得：[2=12a+b12=2a+b ，]

解得：[a=-1b=52]，

∴直線AB的解析式是y=-x+[52]，

當y=0時，x=[52]，即點P的坐標為[52，0]時，線段AP與線段BP之差達到最大；

故答案為D.

利用軸對稱變換，若已知的兩點在動點所在直線的異側，需把兩定點放在動點所在直線的同側，將該直線當作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接（即三點共線時），則其與直線的交點即為所求動點所在位置，而連接的兩點間的線段長即為所求，即轉化為求線段的長度即可求解。

類型四 立體幾何中的最值問題——轉換為平面圖形中的最值問題解決

例4：如圖7，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（ ）

A.4[2]dm B.2[2]dm C.2[5]dm D.4[5]dm

【分析】要求金屬絲的周長，需將圓柱的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，根據勾股定理計算即可.

解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度.

∵ 圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，

∴ AB=2dm，BC=BC′=2dm，

∴ AC 2=22+22=8，

∴ AC=2[2]dm.

∴ 這圈金屬絲的周長最小為2AC=4[2]dm.

故答案為A.

求立體圖形中的最值問題時，先將立體圖形的側面展開成平面圖，再根據“兩點之間線段最短”找到題意所要求的最短路徑，進而求解。