一類不確定非線性系統的自適應跟蹤控制

李彥欣, 李偉明

(山東科技大學 數學與系統科學學院, 山東 青島 266590 )

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一類不確定非線性系統的自適應跟蹤控制

李彥欣, 李偉明

(山東科技大學 數學與系統科學學院, 山東 青島 266590 )

研究了一類單輸入單輸出非線性系統的自適應模糊控制問題.由模糊邏輯系統的線性逼近能力及Backstepping技術,提出了一種新的自適應模糊控制方案,這種自適應控制器確保閉環系統的所有信號半全局一致有界,并且跟蹤誤差收斂到原點的一個充分小鄰域內.

自適應模糊控制； 嚴格反饋的非線性系統； Backstepping

0 引言

近些年,模糊控制系統的穩定性與控制器設計一直是模糊控制領域關注的一個問題.特別地,模糊系統的逼近性使自適應模糊控制成為未知非線性系統控制領域的研究熱點.通過結合自適應技術與模糊控制原理,使得未知非線性系統的建模與控制得到了有效的解決.

在過去的20年中,自適應Backstepping控制是處理參數不確定性非線性系統的有力工具,將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，然后單獨設計每個子系統的部分Lyapunov函數，在保證子系統具有一定收斂性的基礎上獲得子系統的虛擬控制律，在下一個子系統的設計中，將上一個子系統的虛擬控制律作為這個子系統的跟蹤目標。相似于上個子系統的設計，獲得該子系統的虛擬控制律；以此類推，最終獲得整個閉環系統的實際控制律，且結合Lyapunov穩定性分析方法來保證閉環系統的收斂性，由此得出了許多研究成果[1-9].

文獻[3]利用 Lyapunov 方程提出了一類嚴格反饋非線性系統的自適應Backstepping 控制,避免了可能存在的控制器奇異值問題.許多學者利用模糊邏輯系統和神經網絡來逼近未知的非線性函數[10-12],并通過自適應 Backstepping 技術[13]構造模糊控制器,取得了比較顯著的成果.文獻[14]提出了對于 Lyapunov 穩定的非線性模糊自適應方法,在保證了系統閉環漸近穩定的同時加入了模糊自適應控制.

隨機干擾經常存在于許多實際的系統中,它往往是系統不穩定的一個因素,隨機非線性系統的控制比確定性系統的控制更加困難.因此,對隨機非線性系統的控制器設計的研究受到了越來越多的關注和重視.文獻[15]提出了一種適用于嚴格反饋的隨機非線性系統的自適應Backstepping控制方法.文獻[16]在得出一類嚴格反饋的隨機非線性系統的基礎上,提出了一種具有逼近性的自適應神經網絡控制方法.

針對不確定的嚴格反饋的隨機非線性系統,本文提出了一類單輸入單輸出的嚴格反饋的非線性系統,現有的控制方法大多適應于確定的非線性系統,卻很少關注不確定的非線性系統控制問題.由模糊邏輯系統的線性逼近能力及Backstepping技術,提出了一種新的自適應模糊控制方法,該控制器確保閉環系統的所有信號半全局保持一致有界,并且跟蹤誤差收斂到原點的一個充分小鄰域內.

1 問題的描述及預備知識

1.1 問題的描述

考慮以下非線性系統

1≤i≤n-1,

y=x1

(1)

其中,xi=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是系統的狀態向量,u∈R和y∈R分別是系統的輸入和輸出,ω是一個定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的r-維標準布朗運動,其中Ω是一個樣本空間,F是一個σ域,{Ft}t≥0是一個范圍,P是一個概率測度,fi(·):Ri+1→R且gi(·):Ri→Rr(i=1,2,…,n)是未知非線性光滑函數,bi是正常數.

本文對于系統(1)設計一個自適應模糊控制器,使得

(1)在一定概率下，閉環系統中所有的信號半全局一致連續有界；

(2)跟蹤誤差收斂到原點的一個充分小鄰域內.

1.2 預備知識

定義1[17]對于連續二次可微函數V(x,t),定義如下微分算子

(2)

其中,Tr表示矩陣的跡.

引理1[15]假設存在函數V(x,t)∈C2,1,正常數c和b,則κ∞類函數α1和α2滿足

(3)

引理2 (楊氏不等式)[18]對于?(x,y)∈R2,下列不等式成立

其中,ε>0,p>1,q>1,且(p-1)(q-1)=1.

引理3[19]考慮以下形式的動態系統

(4)

假設1[20]對于系統(1),當1≤i≤n，存在未知常數bm和bM滿足

0

(5)

此外，對于1≤i≤n-1,bixi+1的符號是已知的,bnu的符號是未知的.不失一般性，假設對于1≤i≤n-1,有bixi+1≥bm>0.

本文采用模糊邏輯系統來逼近一個定義在緊集上的未知連續函數.模糊系統的N條模糊規則為

則y是Gl,l=1,2,…,N.

若采用單點模糊化、乘積推理和中心加權模糊化方法，則模糊系統的輸出可以表示為

(6)

構造模糊基函數

其中,ξ(x)=[ξ1(x),ξ2(x),…,ξN(x)]T.模糊邏輯系統(6)變為

y=ΦTξ(x)

(7)

引理4[21]如果f(x)是定義在一個緊集Ω上的連續函數,那么對?ε>0,存在一個模糊邏輯系統(6)滿足

(8)

2 自適應模糊控制設計

本文對于系統(1),采用Backstepping 方法設計自適應控制器，這個過程中包含了n個步驟.定義以下坐標變換

z1=x1-yd,zi=xi-αi-1,i=2,…,n

(9)

第1步,對于隨機系統(1),z1=x1-yd的動態誤差為

(10)

選擇一個Lyapunov函數

(11)

其中,r1是正整數.

由(2),(9),(10),得

(12)

應用引理2,以下不等式成立

(13)

(14)

其中,l1是正整數.將(13)、(14)代入(12)得

(15)

其中,

(16)

由楊氏不等式

(17)

其中,a1是正整數.

選擇如下虛擬控制信號和自適應律

(18)

(19)

其中,r1和γ1是正整數.

由(18)、假設1和引理3,有

(20)

將(16)～(19)代入(14)，得

(21)

其中,

(22)

因此,(21)可化為

(23)

其中,c1=k1(1+bm),

第2步,由坐標變換z2=x2-α1和(2),有

(24)

其中,

(25)

選擇以下Lyapunov函數

(26)

其中,r2是正整數.

按照第1步的過程,可得

(27)

值得注意的是,

(28)

(29)

其中l2是正整數.將(23)、(28)、(29)代入(27),有

(30)

其中

(31)

其中ε2是任意給定的正常數.

因此,重復使用(17)中的方法,得

(32)

其中,a2是正整數.

選擇以下虛擬控制信號和自適應律

(33)

(34)

其中,r2和γ2是正整數.

類似(20)、(22),以下不等式成立

(35)

(36)

將(32)、(36)代入(30),得

(37)

其中cj=kj(1+bm),

第i步(3≤i≤n-1).由坐標變換zi=xi-αi-1和(2),有

(38)

其中,

(39)

考慮以下Lyapunov函數

(40)

其中,ri是正整數.類似于第1步的計算方法,得

(41)

通過配方法和楊氏不等式,得以下不等式

(42)

(43)

其中,li是正整數.

將(42)、(43)代入(41),得

(44)

其中,

ki是正整數.

(45)

其中εi是任意給定的正常數.重復(17)中的方法,得到以下不等式

(46)

其中,ai是正整數.

選擇虛擬控制信號和自適應律如下

(47)

(48)

其中,ri和γi是正整數.

與(20)和(22)類似,以下不等式成立

(49)

(50)

將(46)～(50)代入(44),得

(51)

其中,cj=kj(1+bm),

第n步,通過(2)和(8),可以得

(52)

其中,

(53)

考慮以下Lyapunov函數

(54)

其中,rn是正整數.

由(2),得

(55)

類似于(42),得

(56)

其中,ln是正整數.

將(51)、(56)代入(55),則

(57)

其中

(58)

其中,an是正整數.

選擇虛擬控制器和自適應律分別為

(59)

(60)

類似于(22)，以下不等式成立

(61)

將(58)～(60)代入(61),得

(62)

其中,cj=kj(1+bm),

3 穩定性分析

定理1 對于純反饋隨機非線性系統(1),在假設1下,有界的初始條件和控制(59)、虛擬控制信號(47)以及自適應律(48)使得:

(1)閉環系統的所有信號半全局一致有界;

(2)變量zj收斂于一個緊致集Ωz，其中

證明：對于閉環系統的穩定性分析,選擇隨機的Lyapunov函數V=Vn.

LVn≤-λVn+c,t≥0

(63)

(64)

其中,E(·)表示期望.由(64),得

(65)

這意味著,

(66)

從(64)和(65)可以得出,

(67)

因此,zj最終收斂于緊致集

(68)

4 結論

本文研究了一類具有未知非線性函數的隨機非線性系統,隨機擾動和非線性函數是完全未知的.采用模糊邏輯系統的逼近性,對未知非線性函數進行估計,通過自適應Backstepping技術,構造了一類自適應模糊控制器.該控制器能保證閉環系統的所有信號保持一致有界，同時系統的跟蹤誤差收斂到原點的一個充分小鄰域內.

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【責任編輯：蔣亞儒】

Adaptive tracking control for a class of uncertain nonlinear systems

LI Yan-xin, LI Wei-ming

(School of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266590, China)

This paper researches the fuzzy control problem for a class of single input single output nonlinear systems.Based on the linear approximation ability of fuzzy logic system and Backstepping technology,a new adaptive fuzzy control scheme is proposed.The adaptive controller guarantees that all the signals of the closed-loop system are semi-globally uniformly bounded in probability and the tracking error converges to a small neighborhood of the origin.

adaptive fuzzy control; strict feedback nonlinear system; Backstepping

2017-04-16

國家自然科學基金項目(61402265); 山東省泰山學者研究基金項目(20015TDJH105); 青島博士后應用研究項目(2016118); 山東科技大學研究生創新基金項目(SDKDYC170344)

李彥欣(1992-)，女，山東青島人，在讀碩士研究生，研究方向：非線性系統控制

2096-398X(2017)04-0179-06

O231.3

A