吳淑群

[摘 要] 數學復習教學是有針對性、有目的性的，要尋根溯源. 那種用重復訓練替代有效復習的方式既低效又耗時，成為近年來復習教學的反面典型. 本文以復習教學典型案例和背后的思考入手，開拓教師復習教學新思路.

[關鍵詞] 數學；復習教學；高三；題根；題海

眾所周知，數學復習教學不是無目的的重復做題，也不是僅僅依賴大量訓練達到目的的.但是上述方式卻依舊在很長一段時間內獲得了教師教學的首肯，原因何在？從華東師大心理學教授孟慧對于教師教學方式的調查研究來看，發現了三個根本的因素：

第一，慣性的作用.孟教授將其歸結為教師的教學經驗過度，造成了經驗性的慣性. 考慮到新一輪課程改革實施不過數十年，而現在的教師卻完全在應試教學模式下成長起來，其對于數學成績的提高的認知基本停留在一種當年自己學習的模式中，即大量訓練、提高熟練度. 這種學習慣性加上教學慣性，教師發現這種教學方式對于成績的提升效果顯著，因此在于復習教學的研究上自然不需要下功夫，簡單粗暴是最有效的、最簡單的方式.

第二，課程改革和高考應試的不調和. 這個矛盾已經有很多資料進行了反饋和調查，但是一直解決不了. 課程改革致力于強調學生自主學習，但是高考應試依舊是傳統考查方式，這種不可調和的矛盾讓愈來愈多的教師無視復習教學的建構性，無視復習教學的高效性，從而導致效率愈來愈低下.

第三，不懂何為復習教學. 這是很多教師復習教學做了很多年，卻又感覺復習教學很累的重要原因. 從北師大一份中學數學課程復習教學調查報告顯示，認為復習教學是概念復習+例題演練+熟練操作的教師占到百分之八十五以上，在詢問教師復習教學有沒有其他建議時，幾乎沒有教師寫得出有建設性的建議，這說明我們的教師都只是知識的搬運工，而沒有在教學背后有針對性的思考，這成為復習教學止步不前的重要因素.

復習教學中概念尋根溯源

高三復習教學勢必有對概念的復習，但是以往對概念復習更多是依賴回顧、操作、鞏固，不知道大家是否發現這種復習方式既沒有鞏固好概念，也沒有站在高三的角度為概念復習進行深挖掘. 因為教輔資料的編寫者大都不是一線骨干教師，其無非是將試題東拼西湊，更談不上對概念有深度的思考、挖掘，在此基礎上的概念復習只能是淺顯的回顧，根本談不上達到高三的能力要求.

案例1（某教輔資料）：（1）雙曲線實軸長為2a，MN為過左焦點F1的一條弦，且MN=d，F2為右焦點，則△MNF2的周長為________；（2）P是雙曲線x2- =1上一點，焦點F（2，0），點A（3，2），使PA+ PF最小值時，則點P的坐標是________.

分析：試題（1）屬于圓錐曲線基本概念復習簡單問題，與新知教學難度相當，僅僅起到了復習圓錐曲線基本定義，大家知道這樣的問題是復習概念的主要問題；試題（2）在感官定義的基礎上加深了本質定義的思考，讓學生對統一定義有了復習. 從這樣的復習來看，教師大都比較認同復習試題的層次性.

尋根溯源：其實不然，很多教師對橢圓、雙曲線為何稱之為圓錐曲線并不了解. 因此復習教學不能有更深入的設計，僅僅以不斷重復訓練感官定義是達不到學生能力的提高的目的. 讓我們首先翻開教材，來看一看這些考題真正的“根源”！古希臘數學家早早就認識到了，用平面截圓錐可以得到截口曲線，如圖1所示. 正是因為如此，所以圓錐曲線才需要尋根溯源. 建議復習教學設計如下：問題（1）、（2）保持為上述原題，在掌握基本感官定義的基礎上，增加真正考查圓錐曲線本質的問題（3）：如圖2，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為__________.（簡析：抽去平面α，可知點C在空間的軌跡為以AB為軸的圓錐表面上的點，現考慮到平面與直線AB所成角等于∠CAB，即兩線平行，所以線線平行可推得線面平行，所以截口曲線為拋物線.）

訓練鞏固：二面角α-l-β大小為120°，AB垂直平面β交l于B，動點C滿足AC與AB成40°角，則點C在平面α和平面β上的軌跡分別是_________. （答案：雙曲線和圓）

說明：圓錐曲線概念復習是如何設計的？是不是跟參考書一樣，列舉如上問題？有經驗的教師都知道，這種考查基本概念的簡單問題做得再多也毫無用處，還是難以認識到圓錐曲線概念的本質. 因此筆者深度思考，在概念復習的教學中尋根溯源，通過反應概念本質的試題重組，加深了概念教學的有效性，通過專題設計，我們也認識到復習教學需要針對性，有的放矢既降低了復習的無效性，也大大減少了不必要的重復訓練.

試題設計中的尋根溯源

如果說概念教學還可以追求本源，那么高三復習教學中解題能否尋根溯源呢？即我們常常講的：試題縱有千變，但是必有最根本的題根. 低層次的解題復習教學是不斷解題、進行大量鞏固性訓練；中層次的復習教學仰仗的是變式模式，這是中學數學教學的優良傳統，在一定程度上取得了不俗的功效；高端的解題復習教學需要尋根溯源，我們知道很多高考問題一而再、再而三的考查，盡管試題面貌不一，但是背景卻是一致的，這種一致性若能在復習教學中給以足夠的引導和呈現，勢必找到復習教學最深入人心的部分，學生對知識的理解和思考也將脫離試題的外表而直達本質.

案例2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則 · =____________.

分析：本題常規解答中，可以利用向量的基本分解入手，尋求突破，比較簡單.但是教師這樣教學，往往沒有讓學生了解到問題的本質.為了挖掘問題的本質，筆者將問題進一步設計，以便突出試題設計中的本質.

變式1：P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內切球的任意一條直徑，則 · 的取值范圍是___________.

分析：本題可以從兩個角度思考，其一是向量坐標運算，但是比較復雜；其二是向量基底分解，同樣稍顯煩瑣. 此處教師開始滲透本題設計的根——向量恒等式.本質解法：取AB中點O，連接PO，構造成導入問題的圖形. 因為 · = 2- 2= 2-1，又？搖1≤ ≤ ，所以 · ∈[0，2].

尋根溯源：向量中的數量積問題可以從三個方向思考：其一是坐標運算，思維量少，但是運算過程非常煩瑣；其二是自由向量的分解，但是這種分解是學生比較懼怕的；其三是向量數量積相關的恒等式，這體現了高等數學在中學數學中的落地，是向量數量積問題的本質所在. 回顧案例2，我們可以從這一性質下手： · = [（ + ）2-（ - ）2]= [（2 ）2-（ ）2]= （36-100）=-16.

總結：a·b= [（a+b）2-（a-b）]（向量數量積恒等式）. 這是挖掘教材《普通高中課程標準實驗教科書》蘇教版數學《必修4》第2.5節《平面幾何中的向量法》例題1 = + ， = - ，從中發現的數量積相關恒等關系式.

變式2：已知點A，B在雙曲線 - =1上，且線段AB經過原點，點M為圓x2+（y-2）2=1上的動點，則 · 的最大值為____________.

簡析：由向量數量積恒等式， · = 2- 2， 達到最大， 達到最小的時候取最大值.

變式3：設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · . 則△ABC形狀為___________. （填寫：等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中的一種）

簡析：因為 · = 2- 2， · = 2- 2，所以 2≥ 2，所以P0D⊥AB. 取AB中點E，因為P0B= AB，所以BP0=EP0，所以BD=ED，所以AC=BC，故為等腰三角形.

說明：例題的設計要圍繞題根進行，好的問題背后往往具備了一定的高等數學背景，在高等數學中a·b= [（a+b）2-（a-b）]簡稱為極化恒等式，這是教師設計這種課的主要目的.

總之，復習教學不能一味地只求熟練度，而忽視了數學能力的提高和數學素養的攀爬. 對于熱點問題不僅僅要能解決、會解決、多途徑解決，作為優秀教師更要學會從更深層次的視角去尋找試題背后的本質，即為什么試題常常要這樣考查呢？很多試題都是在高等數學背景下編制的，我們耳熟能詳的極化恒等式、阿波羅尼斯圓、阿基米德三角形等等，都是尋根最后的數學模型.教學要更關注這些，才能讓復習教學來得高效一些.