拉伸思維過程，提高解題認識

楊春梅

[摘 要] 數學解題對學生來說需要一定的思維緩沖、思維過程，這與學生對于知識理解有更為高效的作用. 但是教學中往往存在這樣的誤區：教師自身理解不代表學生理解，而恰恰在思維過程環節存在的跳躍讓學生失去了解題理解，教學要加強思維過程的引導，提升學生解題的認識和理解.

[關鍵詞] 數學；思維過程；解題；理解；認識；數列；不等式；向量；函數

眾做周知，中學數學教學依舊是以典型例題為主的題型模式化教學. 隨著知識抽象程度的加深，試題出現的變換也愈多，因為知識理解不夠透徹導致學生對于知識運用的水準未有顯著提升，久而久之教學演變成題型模式化教學，這一點我們無可回避. 從解題教學現狀來看，教師應通過一定的教學處理、教學藝術將抽象的數學問題轉換為學生可以吸收的知識，這是教師專業化可以做的方面.

筆者以為，解題是一種轉化，不斷將抽象的、不熟悉的知識轉換為具象的、熟悉的、簡潔的表述. 從教學現狀來看，教師有時未能將這種轉化以通俗易懂的方式向學生展示，比如抽象函數定義域是如何一步一步進行思維展示的，比如參考資料中的答案是如何從這一步到達下一步的，比如在這個問題的節點上是如何向學生表述清楚的等等. 這些是學生學習中“卡殼”之處，很多學習過程因為這一處的“卡殼”造成學生的不理解.因此，在教學過程中教師如何將這種難點轉化為通俗易懂的語言、拉伸學生的思維過程，成為解題教學提高的關鍵.

深入思考，挖掘思維深度

問題1：（抽象函數學習中的線性函數認識）已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2，則f（x）在區間[-2，1]上的值域為____________.

分析：學生對于問題求解普遍采用了特殊函數的方式，即令f（x）=kx，利用f（-1）=-2得f（x）=2x，檢驗發現此函數模型符合上述所有條件，因此可得值域為[-4，2]. 這樣的解答方式的確也能得到答案，也無可厚非，但是對于學生思考抽象函數及其相關性質并無多大的益處，也沒有有針對性、有目的地增強學生的思維品質. 筆者認為，對于抽象函數的教學更需要思考問題的本質，延長學生的思維過程，進而認識問題的更深層次.

辨思：筆者從三個方面加深學生對此問題的理解，其一求函數值域需要從函數的什么性質入手？其二抽象函數的單調性如何判斷證明？最后條件的使用是如何環環相扣的，數學思想最終的滲透體現在哪里？有了三步臺階的鋪墊，對于學生的思維過程有了清晰的拉伸，從而獲得更好的解題體驗.

步驟一：函數奇偶性的判別與證明

在條件中，令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），再令x=y=0，則f（0）=2f（0），所以f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數.

步驟二：函數單調性的判斷：從x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2猜測函數是單調遞增的. 進而證明：設x10，有條件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

步驟三：綜合上述性質，可知由f（1）= -f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，所以f（x）的值域為[-4，2].

說明：顯然從拉伸思維過程的角度來說，步驟一中整體思想運用的滲透，讓學生進一步理解了抽象函數問題中條件“當x>0時，f（x）>0”是如何使用的，這是單調性證明最重要的環節，也是思維量最大之處，教師講透這里提高了學生對于抽象問題中證明單調性環節的解題認識，對于后續諸如作差類、作商類等都可以類比學習.有興趣的讀者可以類比論證：

問題：函數f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數，對于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當且僅當x>1時，f（x）<0成立. （1）設x，y∈（0，+∞），求證：f =f（y）-f（x）；（2）設x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

本原驅動，拉長思維過程

問題2：求證： + +…+ <3（n>2）.

分析：數列不等式的證明是高中數學的難點，不少教師往往將答案中的解題方式解釋闡述，并未講清為什么這么做？如何實現這么做？這么做有沒有通性？這么做為什么不行等等.筆者以本題為例，談一談如何實現正確的思維過程.

師：請同學們思考幾分鐘，然后談談自己的想法.

生1：我發現數列 的和不可求，所以我想轉化為可求的數列，但我還沒有找到這個數列.

師：思路很好，但我們怎樣去尋找這個數列呢？請同學們再次思考. （學生思考時教師最好管好自己的嘴，不要過多的提示，應該讓學生的思維得到充分發揮，3分鐘后請學生說說自己的想法.）

生2：噢！我有辦法了，利用糖水不等式：0< < （m>0）就可以轉化為： < < ， <5× + + +…+ <5× = .

生3：這種解法有錯誤，第一項 < 不成立.

師：很好！那這種方法是否可行？若可行如何進行糾錯？

生3：糖水不等式成立的前提條件是0< ≤1，但 >1，所以我們應該從第二項開始放縮：即 ≤2+5× + +…+ <2+5× = <3.

生4：我不是這么想的，我是直接放成 ≤ .

師：你是怎么想到的？

生4：我發現糖水不等式 < < 對于n=1時，左邊是2，所以考慮放得再大點 < < < ，所以采用 ≤ 進行放縮.

生5：我是用待定系數法求出的：令 ≤ 結合目標3= 得到.

生6：我也是用待定系數法求出的，還可以放得更小：令 ≤ （n>1）恒成立，則k≥ = 對大于1的自然數恒成立，則k≥ = ，即 ≤ × （n>1）， + + +…+ ≤2+ × < <3.

生7：我的方法與其他同學都不一樣，我采用 ≤9× - 裂項求和.

師：這種方法很好，你是怎么想到的？

生7：由 = - 類比到 ≤k× - ，k是根據目標 來確定的.

說明：本題的標準解答采用了生4的放縮，但是很多學生并不理解為什么可以這么放.筆者通過拉伸問題的思維過程，讓學生認識到其實這樣的放縮不是一次成功的，是經歷了生4的嘗試后才會想到這樣的放縮，這正是對于放縮技巧的認識，才有了后續生6、生7等人不斷的新解法的產生，這樣的解題認識往往會來得更為深刻.

本質探究，延展思維長度

問題2探究共有三種方法，生3、生4是利用糖水不等式進行證明；生5、生6結合目標把數列放縮成無窮等比數列進行求解，生7運用的是裂項求和，各種求解把數學思維過程暴露得淋漓盡致.無論哪種方法本質上都是把數列放縮成等比數列，然后進行求和，這個過程要保證不能放得太大，在運用公式 ≤ （n≥k）時，如何確定系數m？筆者認為最原始最樸素的方法才是最好的方法. 在教學中教給學生一種方法容易，而要使學生理解本質并靈活運用卻并非易事. 要讓學生不僅知其然，更要知其所以然.

問題本質繼續探究，延展思維長度：

師：本題除了能用等比數列 去放縮，還能否找其他的數列？

生1：不能，因為條件中含3n.

生2：能，還能選 ≤ .

師：為什么能？

生3：將上式變化得：4·2n≤m（3n-1），該式對所有的正自然數恒成立，分離參數可得m≥4.

師：思路很好！請同學們試一試（給學生充分時間）.

生4： + + +…+ ≤ <4放得太大了，所以此方法不行.

師：這種方法真的不行嗎？

生5：利用案例1的想法，保留第1項、第2項、第3項不動，從第4項開始放縮.

師：大家再試試看.

學生： + + +…+ ≤2+ + + <2+ + + <3.

師：還能用其他等比數列放縮嗎？

生6：我知道了，選擇 ≤ ，只要1

師：你是怎么想到的？

生6：我從變化率看到的，an的變化要比3n的變化慢，所以1

師：那你們認為數列放縮的本質是什么？

學生：找一個可求和的數列去逼近它.有些從第1項開始放，有些從第2項開始，有些甚至從第m項開始，這要看選擇的數列和放縮目標.

說明：通過繼續思考，讓學生對于放縮的認識來得更為深刻，也緊緊地抓住了放縮的本質——找一個逼近數列完成放縮.

總之，對于數學解題中的難點，教師要善于找到切入點，要從核心難點中挖掘培養思維的關鍵，讓學生拉伸對于難點思維的過程，進而獲得更多的解題認識，提高解題素養.