基于“馬登理論”的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)研究及案例分析

黃秀芳

[摘 要] “馬登理論”即“現(xiàn)象圖式學(xué)”，鑒別與差異是其兩大核心概念，基于該理論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠更好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，便于培養(yǎng)出能夠更好地應(yīng)對(duì)未來復(fù)雜化社會(huì)的未來人.

[關(guān)鍵詞] 馬登理論；高中數(shù)學(xué)；變式

如何更好地提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效果并促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效發(fā)展呢？筆者認(rèn)為必須要有強(qiáng)有力的理論支撐我們的課堂教學(xué)行為，在諸多的教育理論中筆者發(fā)現(xiàn)了“馬登理論”，其核心概念和理念非常符合學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的需要，本文結(jié)合具體的教學(xué)案例就該話題談幾點(diǎn)筆者的看法，望能有助于課堂教學(xué)實(shí)踐.

馬登理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)模式分析

1. 馬登理論概述

首先，筆者來介紹一下什么是馬登理論，馬登理論是馬登教授提出來的“現(xiàn)象圖式學(xué)”，縱觀整個(gè)理論，它有的兩個(gè)核心的概念分別為：鑒別與差異，鑒別的含義即區(qū)分，差異也可以是變異. 整個(gè)馬登理論都圍繞著一個(gè)“教學(xué)目的”就是發(fā)展學(xué)生，發(fā)展學(xué)生的目的又是什么呢？學(xué)生是未來社會(huì)和諧人，社會(huì)處于不斷復(fù)雜、變化的進(jìn)程之中，我們的教育要為其能夠適應(yīng)未來社會(huì)的生產(chǎn)、生活而做準(zhǔn)備，需要學(xué)生能夠鑒別（區(qū)分），能夠適應(yīng)變化發(fā)現(xiàn)不同情境中的差異，因此我們的教學(xué)就不能太過于呆板，而應(yīng)該給學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的情境，透過不同的情境去感受同一個(gè)學(xué)習(xí)對(duì)象（或數(shù)學(xué)問題）. 通過這樣的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和鑒別事物關(guān)鍵特征的能力會(huì)增強(qiáng)，而且注意力很自然地聚焦到學(xué)習(xí)對(duì)象的關(guān)鍵特征上來，對(duì)于以后處理生活的問題則更容易抓住主要矛盾.

2. 馬登理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)

如何將馬登理論與高中數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合在一起呢？我們可以將“變異”主動(dòng)化，即教師主動(dòng)地給學(xué)生提供一些差異性的情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和鑒別，在區(qū)分和鑒別的過程中深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，發(fā)展思維能力和觀察能力，其中“變式教學(xué)”是該理論指導(dǎo)下，我們高中數(shù)學(xué)應(yīng)用最為普遍的一種教學(xué)方式.

概括起來講，什么是變式教學(xué)？就是我們教師有意識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題變異化研究，變式的方向可以是不同的角度，或者是不同的層次，或者是不同的情形，也可以是不同的背景. 借助于這種教師的主動(dòng)變式，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分和鑒別“變”的表象，在鑒別的過程中思維聚焦于最為本質(zhì)的特征，繼而多種情形下數(shù)學(xué)概念和方法“不變”的本質(zhì)，當(dāng)然也可以在“不變”中主動(dòng)探尋存在的“變”的規(guī)律，但恰恰是因?yàn)橛辛恕白儺悺保瑢W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的理解得以加強(qiáng)，并以此為基礎(chǔ)，知識(shí)、能力、技能均能夠得到有效的發(fā)展.

借助于變式教學(xué)發(fā)展學(xué)生鑒別思維與能力

1. 串接式變式，引導(dǎo)學(xué)生層層剖析

變式教學(xué)可以是同一個(gè)問題情境，從不同的視角設(shè)置多個(gè)問題，而這些問題又彼此聯(lián)系可以聯(lián)結(jié)成一個(gè)整體.

案例1：如圖1所示，點(diǎn)A，B是經(jīng)過點(diǎn)P的直線與曲線f（x）=x2相交的兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)滿足PA=AB，那么我們把點(diǎn)P叫作“好點(diǎn)”，把點(diǎn)B叫作“伴點(diǎn)”.

設(shè)問1：P（1，0）是否可以被稱作“好點(diǎn)”？

設(shè)問2：試解出在y=x-1上的全部“好點(diǎn)”.

設(shè)問3：圖像中是否有“好點(diǎn)”不在直線y=x-1上？

設(shè)問4：“好點(diǎn)”和“伴點(diǎn)”存在著怎樣的關(guān)系？

設(shè)問5：圖2，假如“伴點(diǎn)”B1，B2跟點(diǎn)P對(duì)應(yīng)，請(qǐng)參照條件編寫練習(xí)題，并闡述解題的大致步驟.

反思：這個(gè)案例中的問題采用串接式變式的方式呈現(xiàn)，問題設(shè)定“深入淺出，以大概小”，把學(xué)生帶進(jìn)了創(chuàng)造性的探究活動(dòng)中. 教師依據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平，精心設(shè)計(jì)出一個(gè)符合題意但又需要學(xué)生探討的問題，并且引導(dǎo)學(xué)生基于這個(gè)問題出發(fā)自主探究由此產(chǎn)生的細(xì)小問題. 這樣的設(shè)計(jì)，就是把學(xué)生不由自主地帶進(jìn)了自主學(xué)習(xí)的活動(dòng)空間，引導(dǎo)學(xué)生把問題層層剖開繼而獲得真知. 因此，教師在設(shè)定一系列問題的時(shí)候要把問題的深度一一體現(xiàn)出來，并且能夠體現(xiàn)各問題之間的過渡性，課前準(zhǔn)備時(shí)，要仔細(xì)慎重地研究自己設(shè)定的這一系列問題能否構(gòu)成一個(gè)體系并解決問題，能否引導(dǎo)學(xué)生積極思考解決問題，鍛煉學(xué)生自己應(yīng)對(duì)問題應(yīng)該具備的一系列能力.

2. 對(duì)比性觀察，發(fā)展學(xué)生的縝辨性思維

馬登提出來的“現(xiàn)象圖式學(xué)”，需要學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行觀察，尤其是對(duì)圖式的觀察，我們學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何尤其是空間幾何問題時(shí)總是會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問題，實(shí)際上歸根結(jié)底是其思維的縝密性不夠，如何發(fā)展呢？可以借助于圖式的微變，設(shè)置變式問題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比性觀察與思考.

案例2：如圖3所示的正方體，連接A，C1和B1，D1，求證：AC1⊥B1D1.

變式1（圖形微變?yōu)閳D4），如果我們連接的不是A，C1和B1，D1，而是A1 ，C和A，B1，還有類似的結(jié)論嗎？

借助于這樣的微變，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，當(dāng)然我們?cè)谧兪降倪^程中“標(biāo)準(zhǔn)”和“變式”圖形是相對(duì)的，我們可以結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，從容易理解的角度入手. 在學(xué)生思維聚焦到了核心特征后，進(jìn)一步變式，可以將學(xué)生的思維延展，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的鑒別能力和解決問題的能力進(jìn)一步提升.

變式2（圖式復(fù)雜化變異）：觀察復(fù)合圖如圖5所示，你能分解出如圖3（圖4）所示的基本圖形嗎？求證：A1C⊥平面AB1D1.

變式3：在圖5中，連接BD，DC1，BC1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD，并求出這兩個(gè)平面間的距離.

變式4：在圖5中，連接A1C1和AC ，求證：對(duì)角面ACC1A⊥平面AB1D1.

借助于變式1，學(xué)生通過對(duì)圖形的對(duì)比，學(xué)生的基本知識(shí)和技能初步形成，再借助于復(fù)合圖形進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生分解基本圖形的能力，為解決復(fù)雜問題奠定良好的基礎(chǔ). 通過變式在學(xué)生的大腦中展現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而能否不借助幾何直觀，對(duì)頭腦中已有的空間幾何形體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

結(jié)語

我們當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，很多教師在課堂教學(xué)中雖然有提問啟發(fā)學(xué)生的環(huán)節(jié)，但是很多的情境都是浮于表面或者空洞的、泛泛而談的，往往由提出問題到概念定理的推進(jìn)到結(jié)論的導(dǎo)出粗糙而又簡單，所以，很多學(xué)生對(duì)于概念的粗淺理解是有的，但是在解題的時(shí)候往往困難無比. 其實(shí)造成這樣的局面是有兩個(gè)方面因素的，一個(gè)來源于學(xué)生，一個(gè)來源于教師. 學(xué)生的學(xué)要僅僅跟隨教師的指導(dǎo)和設(shè)計(jì)，并且隨著教學(xué)進(jìn)程的推進(jìn)，不斷加強(qiáng)自己的主觀能動(dòng)性，積極開啟自己的思維. 教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的導(dǎo)師，教師的教一定要有導(dǎo)向性，把教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)設(shè)置成對(duì)學(xué)生能產(chǎn)生最大價(jià)值的運(yùn)用，要注重變式情境的創(chuàng)設(shè)，緊緊圍繞核心數(shù)學(xué)問題，剖析重難點(diǎn)，強(qiáng)化基本知識(shí)概念技能，促使不同水平的學(xué)生能夠有效地達(dá)成掌握知識(shí)和鍛煉思維的目的. 教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，精心設(shè)計(jì)緊扣核心概念展開的具有差異性的問題情境，借助于變式體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維，教師如果能夠把環(huán)環(huán)相扣的串接式變式或是縝密性的問題設(shè)計(jì)精準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)厍腥氲綌?shù)學(xué)核心問題教學(xué)，學(xué)生的理解也因此而不至于空泛，有利于建立清晰、深刻的概念印象.