高中數學概念的特征及教學對策研究

夏國祥

[摘 要] 熟悉高中數學概念的特征才能更好地促進學生理解和掌握數學概念，有效的概念教學應該關注學生的學習過程，應該關注整個概念體系的結構，應該借助于變式訓練來強化訓練，提升學生的科學素養.

[關鍵詞] 高中數學；概念；構建

概念學習是高中數學學習的核心，如何組織有效的概念教學呢？應該從數學概念的特征出發優化高中概念學習的形式，監控數學概念學習的過程，最大限度地優化教學.

高中數學概念的特征分析

要實現概念教學有效性的提升，并監控學生的概念學習過程，我們首先對高中數學概念的特點要有所了解，下面筆者根據實踐和經驗將其特點做以下小結：

1. 數學概念的抽象性

在數量關系和空間表現形式上數學概念是抽象的，形式化和符號化是概念所用的專業語言表示，對象的物質性質往往與其沒有關聯，抽象性很強，因為這個特點，應用數學知識概念的領域才更加廣泛.

2. 數學概念的相對具體性

從概念體系這個層面來看，數學概念體系的構成是逐層深入的，高層次概念構成的基礎是數學對象和低層次概念. 但從另一層面來說，相對于數學判斷和推理來講概念是知識體系中實在的具體知識.

3. 數學概念的邏輯聯系性

各個概念在邏輯上都有著很強的內在關聯，以邏輯定義后才能建立新的概念，從概念體系的角度來看，數學邏輯體系需要各個相互關聯的概念.

數學概念學習有哪些形式

通過理論性研究和實踐操作，我們不難發現規律始終是其特性，有意義構建概念有“概念形成”與“概念同化”兩種形式.

1. 概念形成的含義

在例證中運用“歸納”這一方法把同一類數學對象的本質屬性進行提煉繼而形成新的概念的過程叫作概念形成.

2. 概念同化的含義

學生在概念陳述時主動運用定義的形式并借助于頭腦中的認知表象，將新舊知識進行有意義的聯系、作用的過程叫作概念的同化，我們通常把其學習方法叫作“邏輯法”，學生原有概念體系的牢固與否，以及學生遷移和邏輯思維能力是決定學生學習效率的關鍵性因素.

高中數學概念教學策略研究

1. 關注學生的認知基礎

學生是學習的主體，因此我們在概念教學時必須從學生的認知基礎出發，感性材料、問題的設置都應該從學生熟悉的情境或原有的認知基礎出發，通過有效問題情境的創設來激活學生的思維，將學生帶入數學知識探究活動中來.具體而言，有如下幾種方法：

（1）教師要善于挖掘新、舊概念之間的關聯

數學概念具有其特有的邏輯性與整體性且自成體系，所以，我們要注重挖掘新、舊概念之間的關聯.

比如，教師可以把“并集”和“交集”的聯系挖掘出來并進行正方向的概念聯結；也可以把“橢圓”和“圓”建立聯結展開學習，“雙曲線”和“橢圓”建立聯結展開學習.

（2）關注數學概念的形成過程

數學概念是如何形成的？關注形成過程，即帶領學生一起追本溯源，回顧數學史，通過這個過程讓學生感受到生活與數學之間、數學概念體系內部的結構和發展脈絡，繼而實現對數學概念的認識逐漸地深化.

例如，“復數”概念的師生共學中，與學生回憶“實數”概念的發展史成為筆者第一時間做的事情. 繼而用問題來引導：“如何解決實數集中對負數開偶數次方不能實施這一問題呢？” 引進一種“新數”在數的發展角度層面也就很自然了，那么這種新數又應該符合哪些條件呢？在學生建立各運算方法均能運用的認知以后，教師適時引進虛數單位i，學生在心理上有了適應，復數概念也就得到了真正的落實.

2. 關注數學問題涉及的概念“本源”

概念學習效果最終是通過數學問題的解決來檢驗的，我們在教學過程中應該借助于數學問題來引導學生一起探尋問題所涉及的概念的本源.

例題：曲線C是平面內與定直線x= -2和定點F（2，0）的距離之積等于4的點的軌跡，根據上述條件，你能得到以下哪些結論是正確的？

（1）曲線C經過坐標原點；（2）x軸是曲線C的對稱軸；（3）y軸與曲線C存在3個交點；（4）對于曲線C上的一點M，有MF≥2（ -1）.

那么這個數學問題能不能在我們數學教材中找到與之有關的概念原型呢？只有找到了原型，才能將正確的方法遷移過來. 如果我們有這方面的思考，很自然地會將學生的關注點引向“曲線對應的幾何性質”中去，繼而找到模型，如焦點在x軸上的橢圓方程，學生的思維切換到此類問題的解法，所涉及的概念也就自然浮現于腦海之中，有：橢圓上的點（x，y）的坐標取值范圍；橢圓的頂點；橢圓的對稱性；橢圓上的點到橢圓焦點之間距離的最值問題. 在找到數學概念本源后，下面問題的解決就顯得有序了.

首先，“曲線C是平面內與定直線x=-2和定點F（2，0）的距離之積等于4的點的軌跡”這個條件我們應怎么處理？設曲線C上的任意一點M（x，y），我們可以將這個文字表達轉化為符號語言 ·x+2=4，從該方程出發對題目中所給的4個結論進行辨析.

對于（1），我們可以將“橢圓頂點”的求解方法遷移過來. 曲線C是否經過坐標原點？可以將原點的坐標代入前面得到的方程 ·x+2=4，等式成立則說明結論（1）是正確的.

對于（2），我們可以將“橢圓的對稱性”判斷的方法遷移過來. x軸是否是曲線C的對稱軸？可以令-y代換方程 ·x+2=4中的y，結果發現方程沒有發生改變，說明結論（2）是正確的.

對于（3），我們可以將“橢圓頂點”的求解方法遷移過來. 令 ·x+2=4中x=0，可得2 =4，y2=0，y=0，由此可見y軸與曲線C只存在1個交點，結論（3）是錯誤的.

對于（4）我們可以將“橢圓上點的坐標取值范圍”、“橢圓上的點與焦點間距離的最值”這兩個問題的求解方法遷移過來. 對于曲線C上的一點M，則有MF= ，結合曲線方程 ·x+2=4可得MF= ，如何求其最小值？將問題直接引向如何確定x的取值范圍，由方程 ·x+2=4可知y2= -（x-2）2≥0，且x≠-2，即 ≥0（x≠-2），得16-（x2-4）2≥0，（x2-4）2≤16，-4≤x2-4≤4，解得-2 ≤x≤2 （x≠2），所以當x=2 時，MF= 取最小值，最小值為2（ -1），結論（4）是正確的.

3. 加強變式訓練

從接觸概念到學生吸收內化概念的整個過程中，變式和比較這兩種數學學習中慣常所用的方式對于學生掌握數學概念本質特征是有利的.

（1）加強變式訓練應用

“變式”教學有利于概念本質特征的突出，能夠借力于概念正向變化使得學生輕松排除跟概念沒有關系的特征.

比如，“復數”學習時，2+3i，-5i， -4i等例子可能使得學生產生錯誤的認知，繼而把b≠0看成為a+bi（a，b∈R）的本質特征，因此，教師在這幾個例子之外還應補充2-3 等例子，使得學生輕松排除與之無關的特征，使得復數這個概念得以順利構建.

（2）加強比較練習應用

正向例子之間以及正反兩向例子之間的比較都是存在的，共同本質特征在正向比較中獲得，而對于本質和非本質特征的深度理解則可以從后者的比較中獲得.

比如，點、線、面各個不同空間距離的知識體系中，筆者曾經梳理了不同空間“距離”概念的比較，整個知識梳理涵蓋了共性和區別的比較，有效促進了學生對這個知識體系中各個概念的理解，也使得空間距離這個整體概念得以順利、完整地構建.

如果要使學生對于數學概念的掌握比較牢固且運用靈活，強化訓練也是必需的. 到了學習的一定程度，歸納、分類、概括、提高等都是促進學生深層次思考的強化手段，為了促進學生知識的內化吸收，反復強化是必不可少的. 不斷重復、有針對性的強化練習也使得學生真正系統地掌握了學過的概念，并做到融會貫通.

對于高中數學概念教學而言，我們在教學資源的選擇、情境的選擇時都應該從學生的最近發展區出發，只有重視學生的學習心理特點和原有的認知基礎，學生才能將現學的數學概念與原有的概念有效聯結形成結構化的、整體的概念體系. 我們的概念教學應該引導學生關注概念的形成過程，和學生一起追溯數學問題的本源，只有這樣才能豐富學生的過程體驗，促進學生的過程目標和情感目標的有效達成，此外，還必須強化變式訓練，借此提高學生對數學概念理解的穩固度.