基于非線性破壞準則的地基臨界荷載計算

歐陽志，鞠興華

(陜西鐵路工程職業技術學院，陜西渭南 714099)

基于非線性破壞準則的地基臨界荷載計算

歐陽志，鞠興華

(陜西鐵路工程職業技術學院，陜西渭南 714099)

為計算基于非線性Mohr-Coulomb破壞準則影響下的條形基礎地基臨界荷載，通過“切線法”引入變量ct和φt，根據地基土體的極限平衡條件建立地基中任意一點處的應力平衡方程，給出了地基臨界荷載p1/4的迭代計算方法，并結合算例計算分析了強度參數σt，c0和基礎埋深d取不同值時非線性參數m對地基臨界荷載的影響。結果表明，非線性破壞準則對地基臨界荷載和塑性區的位置有重要影響；引入非線性破壞準則會明顯減小臨界荷載的計算值，并且zmax=b/4時的地基塑性變形區域更靠近于基礎內側。引入非線性破壞準則更符合地基實際，可更準確地評價承載力的大小。

地基基礎工程；非線性破壞準則；條形基礎；臨界荷載；塑性區最低點位置；迭代法

地基臨界荷載作為中國常用的地基承載力計算參數，一直以來都備受學術界和工程界關注。實踐表明，在保證建筑物安全使用的情況下，是可以允許地基自基底以下一定深度范圍內出現塑性區的[1]。地基中的塑性區首先從基底兩側的邊緣處產生，然后分別向兩側和壓密土楔頂點的方向發展，倘若基底以下塑性區的最大開展深度zmax達到基礎寬度b的1/4時，對應的地基底部附加應力即為地基臨界荷載p1/4。

在一般的土力學教材和資料上，地基臨界荷載均是假定在k0=1.0和線性的Mohr-Coulomb強度條件下得到的，這與實際情況不符。假定k0=1.0是將地基中的自重應力視為靜水壓力狀態，是對天然地基的人為加固，因此會過高估計地基的承載能力[2]；而土體發生剪切破壞時的大、小主應力通常情況下也為非線性的關系，線性關系僅僅是其中的一個特例[3]。文獻[2]和文獻[4—6]基于不同的彈性理論在假定k0≠1的條件下對地基臨界荷載進行了研究，但是都沒有考慮地基土發生剪切時，大、小主應力非線性關系的影響。文獻[3]和文獻[7]研究了非線性破壞準則與巖土材料地基承載力的關系。文獻[8]基于二次型Mohr包絡線對地基中塑性區的發展規律進行了研究。但關于非線性強度準則對地基臨界荷載的影響規律，目前還未發現有研究。因此，本文根據非線性Mohr-Coulomb準則的“切線法”表達式[9-10]，建立地基中任意一點的應力平衡式，然后結合算例，對非線性破壞準則影響下地基臨界荷載變化規律進行研究。

1 非線性Mohr-Coulomb破壞準則

在一般的土力學研究中，土體的剪切破壞大多假定服從線性的Mohr-Coulomb破壞準則(以下簡稱“MC準則”)。然而，大量的工程實踐和實驗研究表明[11-13]，在軟弱圍巖，尤其在土中，材料剪切破壞時的大、小主應力為非線性的關系，非線性關系表達式可用式(1)表示。式(1)通常被稱為Power-Law準則，也稱非線性MC破壞準則。

τ=c0(1+σn/σt)1/m，

(1)

式中：c0表示Mohr包絡線與縱軸的截距；c0，σt均為巖土材料與剪切有關的參數。m決定了Mohr包絡線的彎曲程度，當m=1.0時，式(1)表示線性的MC準則，c0和φ0=arctan(c0/σt)分別表示地基土的黏聚力和內摩擦角。但為保證曲線的外凸性，一般要求m>1.0。

將式(1)在坐標系中繪制曲線，如圖1所示。

圖1 非線性破壞準則曲線的切線Fig.1 Tangential line of envelop of nonlinear failure criterion

在圖1所示的曲線型Mohr包絡線上，任一點P處的切線方程可用式(2)表示。

τ=c1+σntanφt，

(2)

式中：ct，tanφt分別為圖1中切線的截距和斜率。以φt為變量，ct，tanφt可表示為

(3)

(4)

式(3)、式(4)中，σn表示該切點處的正應力。可以看出，土中某點處對應的抗剪強度與該點的正應力有關。因此，對于實際計算，應首先確定破壞面處某點的正應力σn，再由式(3)、式(4)可求出該點對應非線性MC破壞準則的ct，φt值。

下面用式(2)所示的Mohr包絡線切線方程，來推導地基在條形受載時土中任一點處的應力平衡方程，進而對非線性參數m不同取值條件下的地基臨界荷載變化規律進行研究。

2 基于非線性強度準則的臨界荷載計算方法

如圖2所示，假設條形基礎的寬度為b，埋深為d，均布的基底附加應力為p0=p-γ0d。基礎底面的接觸壓力為p，地基土的重度為γ0，土的靜止側壓力系數為k0。借鑒前人的研究結果[2]，可知基底以下地基中M點處的總應力表達式為

(5)

式中：β=β1-β2；ψ=β1+β2；pm為考慮非線性強度準則時的基底附加應力。

圖2 條形均布荷載下地基內任一點總應力Fig.2 Total stress in ground under strip uniform distributed load

根據材料力學知識，可得M點處的大、小主應力為

(6)

g1(pm)±g2(pm)。

(7)

式中：

根據非線性MC準則，土體的極限平衡條件可表示為

(8)

將式(7)代入式(8)，整理后可得

(9)

又由式(4)可得

g1(pm)-g2(pm)sinφt。

(10)

結合式(7)，對式(10)進行變換，可得

tanφt=

(11)

將pm代入式(11)，即可將式(11)轉化為僅含有φt的一元方程表達式，由于一般的解析方法難以求解該方程，因此本文采用迭代法對φt進行計算。令

(12)

即可得到關于φt的一般迭代法表達式

(13)

迭代方法采用依次不斷增大m值，不斷更新迭代初始點的多次反復迭代，具體步驟如下。

對于給定的β，先假定m=1.1，在φn=φ0(φ0為基于線性MC準則時的地基土內摩擦角)處對式(13)開始進行迭代，當|φn+1-φn|≤10-4時，迭代停止，求出φm1和pm1；然后假定m=1.2，在φn=φm1處對式(13)進行迭代，當|φn+1-φn|≤10-4時，迭代停止，求出φm2和pm2；接下來每次對m增加0.1，在上一級m值條件求出的φm(n)處對式(13)進行迭代，然后再求出新的φm(n+1)和pm(n+1)，如此循環，直至求出給定m值時的φmt和pmt。

假定z=b/4，用β=arctan[(4x+4b)/b]-arctan[4x/b]替換式(9)中的β。由于基礎兩邊的塑性區是對稱的，故取基底以下地基的右半邊考慮，令x在(-0.5b，0.5b)上以0.01b的等差取值，利用上述迭代方法求出各x坐標處的pm值，取其中的最小值作為此時地基的臨界荷載p1/4。

3 非線性破壞準則對地基臨界荷載的影響

3.1 基于非線性破壞準則的地基臨界荷載計算值

算例1：有一個條形基礎，寬b=4 m，地基土的重度γ0=γ=19 kN/m3，基礎埋深d=3 m，地基土為一般黏性土，c0=30 kPa，σt=92.33 kPa，即當m=1時，φ0=18°，靜止側壓力系數k0分別取1.0和1-sinφt[15]，非線性強度參數m在1.0～2.8上以0.2的等差取值，利用上述迭代方法分別計算m，k0在不同組合情況下的地基臨界荷載p1/4和此時的臨界夾角β，所得結果如圖3、圖4所示。

如圖3所示，當k0一定時，p1/4隨m增大而減小，且隨著m的增大，p1/4剛開始減小得較快，之后越來越慢，此結論與文獻[3]得到的地基極限承載力變化規律一致。結合圖1可知，m的增大使得Mohr包絡線呈非線性程度的增加，Mohr包絡線向下彎曲，土體剪切破壞時的σ1-σ3減小，從而降低地基的承載能力；當m=1.8時，地基承載力分別降低了37.2%和30.6%，即采用非線性破壞準則對地基臨界荷載的計算值有重要影響。

圖3 不同k0值時p1/4與m的關系Fig.3 Relationship between critical load p1/4 and m under different coefficient k0

另外，從圖3中還可看出，當m一定，k0=1.0時的p1/4計算值大于k0=1-sinφt的值，且兩者之間的差值隨m的增大而減小，結合式(5)可知，k0的減小將必然導致主應力關系式σ1+σ3的增大和σ1-σ3的減小，根據Mohr-Coulomb破壞準則，在其他條件不變的情況下，σ1+σ3的增大和σ1-σ3的減小均可使土體更容易發生剪切，以致于降低地基的承載力。當m=1.0時，本文所得結果與文獻[2]方法得到的結果相等，也驗證了本文方法的正確性。

由圖4可知，臨界夾角β隨m的增大而增大，即圖2中的x值不斷減小。說明當基底應力達到臨界荷載p1/4時，與以往所得結果β=π/2-φ0相比，隨著Mohr包絡線非線性參數m的增大，地基中塑性區最低點的位置將發生朝向基礎內側的方向移動，并且隨著m的不斷增大，塑性區最低點位置剛開始移動的較多，之后越來越少。由此可見，當考慮地基土的非線性破壞影響時，zmax=b/4時的地基塑性變形區域將更靠近基礎的內側，非線性破壞準則對地基塑性區的位置有重要影響。

圖4 不同k0值時β與m的關系Fig. 4 Relationship between critical angle β and m under different coefficient of k0

3.2 參數敏感性分析

1)參數φ0取不同值時非線性參數m對p1/4和β的影響

參數σt值取為285.43，141.14，92.33，67.38，51.96 kPa，分別對應當m=1時，φ0為6°，12°，18°，24°和30°，k0取1-sinφt，其他參數取值同算例1。用上述迭代方法分別計算φ0，m在不同組合條件下的地基臨界荷載p1/4和此時的臨界夾角β，計算結果如圖5—圖7所示。

圖5 不同φ0值時p1/4與m的關系Fig.5 Relationships between critical load p1/4 and m under different internal friction angle φ0

圖6 不同m值時p1/4與φ0的關系Fig.6 Relationships between critical load p1/4 and internal friction angle φ0 under different m

圖7 不同φ0值時β與m的關系Fig.7 Relationships between critical angle β and m under different internal friction angle φ0

如圖5所示，不同φ0條件下計算所得臨界荷載p1/4均隨m的增大而減小，并且其減小的速度均為剛開始較快，之后越來越慢。另外，φ0較大(或σt較小)時的p1/4減小速度明顯大于φ0較小(或σt較大)時的，當φ0≤12°(或σt≥141.14 kPa)，m≥2.0時，曲線的變化規律幾乎水平，臨界荷載p1/4也近似為恒定值。當m從1.0增大到2.8時，φ0越大(或σt越小)，地基臨界荷載降低的越多，說明當其他參數不變時，地基土的φ0越大，非線性參數m對地基臨界荷載p1/4的影響越大。

從圖6中可以看出，當m=1.0時，臨界荷載p1/4隨φ0的增加呈非線性增加的規律，與前人方法所得結果一致[2]；但隨著非線性參數m的不斷增加，p1/4隨φ0的變化規律逐漸由非線性增加的曲線轉變為線性增加的直線，且p1/4與φ0關系曲線的斜率也不斷減小，說明Mohr包絡線的非線性參數m越大，臨界荷載p1/4隨φ0增大的越緩慢。

如圖7所示，不同φ0條件下計算所得臨界夾角β均隨m的增大而增大，其增加的速度均為開始較快，之后越來越慢。而且φ0較大(或σt較小)時的β值增加速度要大于φ0較小(或σt較大)時的，說明地基土的φ0越大(或σt越小)，非線性參數m對地基塑性區最低點位置的影響越大，對zmax=b/4時地基發生塑性變形的區域位置影響越大。

2) 參數c0取不同值時非線性參數m對p1/4和β的影響

c0取為10，20，30，40和50 kPa，k0=1-sinφt，其他參數取值同算例1。用上述迭代方法分別計算不同c0，m組合時的臨界荷載p1/4和此時的臨界夾角β，計算結果如圖8、圖9所示。

圖8 不同c0值時p1/4與m的關系Fig.8 Relationships between critical load p1/4 and m under different cohesive force c0

圖9 不同c0值時β與m的關系Fig.9 Relationships between critical angle β and m under different cohesive force c0

如圖8所示，在不同的c0條件下計算所得p1/4均隨m的增大而減小，其減小的速度也均為剛開始較快，之后越來越慢。在不同的c0條件下，p1/4隨m的變化規律幾乎相同，說明當其他參數一定時，無論地基土的c0有多大，Mohr包絡線的非線性參數m對地基臨界荷載p1/4的影響規律都不變。另外，當m值一定時，所得p1/4隨c0的變化規律均為線性地增加，且對于不同的m值，p1/4隨c0增大的單位增量幾乎相同，說明非線性參數m的變化并不影響p1/4與c0的關系。

如圖9所示，不同σt值條件下計算所得臨界夾角β均隨m的增大而增大，其增加的速度均為剛開始較快，后來越來越慢。不同c0條件下的β與m關系曲線都近乎重合，說明當其他參數一定時，無論地基土的c0有多大，非線性參數m對地基中塑性區最低點位置的影響規律都不變。

3) 埋深d取不同值時非線性參數m對p1/4和β的影響

埋深d值取為1，2，3，4和5 m，k0=1-sinφt，其他參數取值同算例1。用上述迭代方法分別計算不同d，m組合時的臨界荷載p1/4和此時的臨界夾角β，計算結果如圖10、圖11所示。

如圖10所示，不同基礎埋深d條件下計算所得p1/4均隨m的增大而減小，其減小的速度也均為剛開始較快，后來越來越慢。不同d條件下所得p1/4隨m的變化規律幾乎相同，說明當其他參數一定時，無論d有多大，非線性參數m對地基臨界荷載p1/4的影響規律都不變。另外，當m值一定時，所得p1/4隨d的變化規律均為線性地增加，且對于不同的m值，p1/4隨d增大的單位增量幾乎相同，說明Mohr包絡線的非線性參數m的變化并不影響p1/4與d的關系。

圖10 不同基礎埋深時p1/4與m的關系Fig.10 Relationships between critical load p1/4 and m under different load embedded depth

如圖11所示，不同埋深d條件下計算所得β均隨m的增大而增大，其增加的速度剛開始較快，后來越來越慢；不同d值條件下的 β與m關系曲線也都近乎重合，說明當其他參數一定時，無論d有多大，非線性參數m對地基中塑性區最低點位置的影響規律都不變。

圖11 不同基礎埋深時β與m的關系Fig.11 Relationships between critical angle β and m under different load embedded depth

4 結 論

1)非線性破壞準則對地基臨界荷載和塑性區的位置有重要影響。

2)與采用線性破壞準則相比，引入非線性強度準則會明顯減小地基臨界荷載p1/4的計算值，并且zmax=b/4時地基中塑性變形區域將更靠近于基礎的內側。

3)p1/4隨非線性參數m增大而減小，并且隨著m的增大，p1/4剛開始減小的較快，之后越來越慢；地基中塑性區最低點位置也隨m的增大，剛開始移動的較多，之后越來越少。

4)強度參數φ0越大，非線性參數m的變化對p1/4的影響越顯著，并且m越大，p1/4與φ0關系曲線的斜率越小。但無論基礎埋深d和強度參數c0有多大，參數m對p1/4的影響規律都幾乎不變；無論m有多大，p1/4隨c0或p1/4隨d的變化規律都不變。

5)φ0越大，非線性參數m的變化對zmax=b/4時地基塑性區的位置影響越顯著；但無論c0，d取多大，參數m對此時地基塑性區位置的影響規律都不變。

6)本文論證分析的不足之處是沒有具體的工程實例，且缺少實測結果資料用于驗證。在以后的研究中將應用本文方法求得的地基承載力特征值與承載力測試結果對比分析，驗證計算結果，進一步完善理論分析方法。

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Critical load calculation of foundation based on nonlinear failure criterion

OUYANG Zhi, JU Xinghua

(Shanxi Railway Institute, Weinan, Shanxi 714099, China)

In order to calculate the critical load of strip footing under a nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion, the variablesctandφtare created by a generalized tangential technique, the equilibrium equation of total stress at any point in the foundation is established according to the limit equilibrium condition of subsoil, and a iterative calculation method of critical loadp1/4of the foundation is presented. Through an sample, the effect of differentmon the critical load of the foundation when the strength parametersσt,c0and footing embedded depth d take different values is calculated. The results show that nonlinear failure criterion has important influence on the critical load and the location of plastic zone in the foundation. Using nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion could decrease the calculated value of the critical load, and the location of plastic zone of the foundation is closer to the center line whenzmax=b/4.Theintroductionofnonlinearfailurecriterioncanbetterconformtothefoundationrealityandaccuratelyevaluatethebearingcapacity.

groundfoundationengineering;nonlinearfailurecriterion;stripfooting;criticalload;positionoflowestpointatplasticzone;iterativemethod

1008-1534(2017)04-0259-06

2017-04-25;

2017-05-25；責任編輯：馮 民

陜西省教育廳科研項目(15JK1169)

歐陽志(1983—)，男，陜西渭南人，講師，碩士，主要從事道路路基病害防治方面的研究。

E-mail:ouyangzhi.good@163.com

TU443

A

10.7535/hbgykj.2017yx04005

歐陽志，鞠興華.基于非線性破壞準則的地基臨界荷載計算[J].河北工業科技,2017,34(4):259-264. OUYANG Zhi, JU Xinghua.Critical load calculation of foundation based on nonlinear failure criterion[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(4):259-264.