半圓拱巷道截面積的數(shù)值積分求解方法研究

班濤+姜冰

摘 要：為準(zhǔn)確求出礦井巷道的橫截面積，運(yùn)用復(fù)化梯形求積公式法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。復(fù)化求積法是一種先用低階的牛頓-柯特斯公式求得每個(gè)子區(qū)間上的積分值，然后再求和，并把和作為所求積分的近似值。首先對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行分析，然后建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)設(shè)定的數(shù)據(jù)列出積分式子，最后用復(fù)化梯形公式求解，并通過(guò)Matlab編程來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形公式的求積過(guò)程。最后根據(jù)得出的結(jié)果進(jìn)行分析，為具體的巷道設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)參考。

關(guān)鍵詞：橫截面積；礦井巷道；復(fù)化梯形公式

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.13.210

煤炭工業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的基礎(chǔ)，它為經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)提供原料和能源。煤炭工業(yè)生產(chǎn)的順利進(jìn)行，一定程度上取決于煤炭工業(yè)基本建設(shè)及開(kāi)拓延伸工作能否及時(shí)、持續(xù)地提供生產(chǎn)煤炭的場(chǎng)地。為了將煤從地下采出，需從地表開(kāi)始，開(kāi)鑿一系列的井筒、硐室及巷道以便到達(dá)煤層，這便是礦山基本建設(shè)的主體工程。其中涉及到大量的巷道斷面的設(shè)計(jì)，包括巷道尺寸和橫截面積的計(jì)算。設(shè)計(jì)的巷道斷面直接作為井下巷道施工的依據(jù)，也是進(jìn)行巷道工程概預(yù)算的依據(jù)。我國(guó)煤礦井下使用的巷道斷面形狀，按其構(gòu)成的輪廓線可分為圓形類、拱形類、矩形類和梯形類共四大類，在此選擇底板水平、兩幫垂直、頂板為弧形的半圓拱斷面進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并求其橫截面積。

1 問(wèn)題分析及模型

礦井巷道分為梯形巷道，三心拱巷道，半圓拱巷道等，本案例選擇半圓拱巷道模型并求解其面積。

但實(shí)際使用這種方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，此時(shí)Newton-Leibniz公式不能直接運(yùn)用，需要用其他有效的數(shù)值積分方法求解。在此，運(yùn)用數(shù)值積分方法中的復(fù)化梯形求積公式進(jìn)行求解。

2 復(fù)化梯形求積公式原理

在使用牛頓-柯特斯公式時(shí)，通過(guò)提高階的途徑并不總能取得滿意的效果，為了改善求積公式的精度，一種行之有效的方法是復(fù)化求積。將積分區(qū)間分割為n等份，步長(zhǎng)，各節(jié)點(diǎn)為。所謂復(fù)化求積公式，就是先用低階的求積公式求得每個(gè)子段上的積分值，然后用作為積的近似值。在子區(qū)間上使用Newton-Cotes公式，將分割為等份，步長(zhǎng)為，節(jié)點(diǎn)為記為 ，在上作的階Newton-Cotes求積公式

3 算法的Matlab實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

半圓拱巷道截面積求法可用數(shù)值積分中復(fù)化梯形求積公式

求得。用上述的的公式來(lái)計(jì)算半圓拱巷道截面積，（其中，矩形長(zhǎng)，矩形寬）；同時(shí)公式（1）中的積分區(qū)間，然后將積分區(qū)間進(jìn)行等分，用表示二分次數(shù)，即區(qū)間等分?jǐn)?shù)，得到個(gè)小區(qū)間，，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，其中。并且按

進(jìn)行計(jì)算。

3.2 Matlab程序代碼

function FHQJ

k=2；

m=4；

a=0； % a，b 為區(qū)間

b=2；

epsilon=1e-3； % 精確度

fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；

n =1；

h=（b-a）/2；

y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；

yiter=y0；

while 1

step =2^（n-1）；

f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；

y=y0/2+h*f；

if abs（y-y0）<3*epsilon

break；

end

h=h/2；

y0=y；

yiter=[yiter，y0]；

n=n+1；

end

yiter

disp（y）；

Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%與真值誤差

disp（Error）；

4 計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 計(jì)算結(jié)果

本案例設(shè)定誤差不超過(guò)10-3，在Matlab下運(yùn)行程序后的結(jié)果如下（k表示二分次數(shù)）：

當(dāng)運(yùn)行到k=8， 即時(shí)就能滿足與真實(shí)值誤差不超過(guò)10-3，此時(shí)誤差為0.0011。

4.2 結(jié)果分析

復(fù)化梯形求積公式能夠較準(zhǔn)確的得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果yiter=9.5696，用在較少的計(jì)算量便能夠達(dá)到預(yù)定精度，得到準(zhǔn)確值與近似值的絕對(duì)誤差Error=0.0011，較好的完成了巷道面積的計(jì)算問(wèn)題。

5 總 結(jié)

本文建立了礦井巷道截面積的計(jì)算模型，根據(jù)半圓拱形截面積函數(shù)，運(yùn)用復(fù)化梯形求積公式進(jìn)行計(jì)算，并編制基于Matlab的計(jì)算程序。根據(jù)復(fù)化梯形求積公式的原理將所求函數(shù)的積分區(qū)間分為若干個(gè)小的積分區(qū)間，先求出每個(gè)小積分區(qū)間上的積分近似值，然后再將這些近似值加起來(lái)就是我們所要求的橫截面積的近似值，函數(shù)區(qū)間所分的小區(qū)間的個(gè)數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果就越精確，其原因就是所分的區(qū)間數(shù)越多，計(jì)算時(shí)每個(gè)小區(qū)所帶來(lái)的誤差就越小，對(duì)其求和所帶來(lái)的總的誤差也就越小，所以最后的結(jié)果精度就越高。本文算例結(jié)果表明該方法具有較高精度、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，且便于程序化。

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作者簡(jiǎn)介：班濤（1982-），男，河南焦作人，講師。