高考導數知識點的命題情況分析與復習建議

盧偉坤

【摘 要】本文分析高考試題中有關導數的命題問題，提出突出基礎知識點復習，注重學好綜合知識應用等復習策略，為高考復習提供參考。

【關鍵詞】導數 試題分析 高考復習

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0147-04

導數是高中數學中的重要內容，從 2006 年到 2016 年大部分省、區、市的高考試題中可以看出，導數成為每年高考的必考內容之一。導數已經由原來的基礎知識點簡單層面上的考查上升為知識網絡交匯處的深層次考查。導數知識點在每年高考中占有較大的分值比重。由于導數本身具有強大的工具作用，以導數為載體的綜合題已經成為高考命題的風向標。運用導數的有關知識，研究函數的單調性、極值和最值是高考的熱點問題。導數在高考中考查形式多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考查導數的基本概念、運算及應用，也經常以解答題形式與其他數學知識交匯起來，綜合命題。本文主要綜合分析研究導數在近幾年高考題知識點的情況變化，為今后備戰高考把握方向。

一、導數的重要基礎知識點的介紹

（一）導數的概念

如果函數 y=f（x）在 x0 處的增量 ?y 與自變量的增量 ?x 的比值，當 ?x→0時極限 存在，則稱 f（x）在 x0 處可導，并稱此極限值為函數 y=f（x）在點 x0 處的導數，記為 或 。

（二）導函數

函數 y=f（x）在區間（a，b）內每一點的導數都存在，就說 f（x）在區間（a，b）內可導，其導數也是（a，b）內的函數，又叫做 f（x）的導函數，記作 或 ，函數 f（x）的導函數在 x=x0 時的函數值 就是在 x0 處的導數。

（三）導數的幾何意義

1.設函數 y=f（x）在點 x0 處可導，那么它在該點的導數等于函數所表示曲線在相應點 M（x0，y0）處的切線斜率。

2.設 s=s（t）是位移函數，則 表示物體在 t=t0 時刻的瞬時速度。

3.設 v=v（t）是速度函數，則 表示物體在 t 時刻的加速度。

（四）函數的單調性

一般地，函數 y=f（x）在某個區間內可導，如果，則 f（x）為增函數；如果，則 f（x）為減函數。

如果在某個區間內恒有，則 f（x）為常函數。

（五）可導函數的極值

設函數 f（x）在點 x0 附近有定義，如果對附近所有的點都有 f（x） f（x0）），我們就說 f（x0）是函數 f（x）的一個極大值（或極小值）。

（六）函數的最大值最小值

最值是一個整體性概念，是指函數在給定區間（或定義域）內所有函數值中最大值與最小值。

二、題型結構層次舉例分析

（一）導數的運算、導數的幾何意義

這類題目體現的主要知識點是導數幾何意義，次要的知識點是導數的運算，但是主次知識點同等重要。主次知識點結合在一起考體現在題型的結構上。

例 1（2008 年江蘇卷文，8）設直線 是曲線 的一條切線，則實數 b 的值為

【命題的動向】本題考查了利用導數的幾何意義、切線的求法來求解。

例 2（2010年遼寧卷文，12）已知點 P 在曲線 上， 為曲線在點 P 處的傾斜角，則 的取值范圍是（選項略）

【命題的動向】本題考查了函數的導數求解、導數的幾何意義、基本不等式、直線傾斜角與斜率的關系以及三角函數值等問題。

（二）函數的單調性

例 1（2010 年北京卷理，18）已知函數。

（I）當 k=2 時，求曲線 y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（II）求 f（x）的單調區間。

例 2（2010 年卷天津文，20 ）已知函數，其中 a>0。

（I）若 a=1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）若在區間上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查曲線的切線方程、利用導數研究函數的單調性與極值、解不等式等，考查運算能力及分類的思想方法。

例 3（2010 年山東卷文，21）已知函數。

（I）當 a=-1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）當時，討論 f（x）的單調性。

【命題的動向】本題考查了導數的運算、導數的幾何意義、直線方程的求解以及利用導數討論函數的單調性，考查了學生利用導數知識解決函數問題的能力以及分類討論能力。

（三）極值問題

例 1（2007 年山東卷文，21）設函數，其中 。

證明：當 ab>0 時，函數 f（x）沒有極值點；當 ab<0時，函數 f（x）有且只有一個極限點，并求出極值。

例 2（2010 年重慶卷理，18）已知函數，其中實數 。

（I）若 a=2 ，求曲線 y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（II）若 f（x）在 x=1 處取得極值，試討論 f（x）的單調性。

【命題的動向】本題考查了單調區間性質和求解切線方程的方法。

（四）最大值與最小值問題

例 1（2010 年江蘇卷文，14）將邊長為 1 的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則 S 的最小值是

【命題的動向】本題考查了用導數研究函數的最值問題，函數的實際應用能力。

例 2（2010 年陜西卷文，21）已知函數

（I）若曲線 y=f（x）與曲線 y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求 a 的取值及切線的方程；

（II）設函數 h（x）=f（x）-g（x），當 h（x）存在最小值時，求其最小值 的解析式。

（III）對（II）中的，證明：當時，。

【命題的動向】本題考查了切線的求法、單調區間的判斷及最值等求解，考查考生綜合運用所學知識解決問題的能力。

例 3（2010 年江西卷理，19）設函數 。

（I）當 a=1 時，求 f（x）的單調區間；

（II）若 f（x）在（0，1]上的最大值為，求 a 的值。

（五）函數的單調性與不等式問題

1.直接證明不等式

例 1（2010 年遼寧卷文，21）已知函數。

（I）討論函數 f（x）的單調性；

（II）設函數 ，證明：對于任意。

【命題的動向】本題考查了導數及其應用，判斷函數的單調性以及利用函數的導數性質證明相應的不等式等。

例 2（2010 年全國卷文，21）設函數。

（I）若求 f（x）的單調區間；

（II）若當 時，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查利用導數求解函數的單調性、不等式等。

2.求參數的取值范圍

例 1（2011 年北京卷文，18）設函數，且方程的兩個根分別為 1，4。

（I）當 a=3 且曲線 y=f（x）過原點時，求 f（x）的解析式；

（II）若 f（x）在內無極點值，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查了導數及其應用，利用導數解決函數的圖象、函數的極值等相關問題，考查邏輯推理能力、運算能力等。

（六）利用導數解應用題

例 1（2013 年江蘇卷文，17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD 的兩個頂點 A、B 及 CD 的中點 P 處，已知AB=20 km，CB=10 km，為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形ABCD 的區域上（含邊界），且與 A、B 等距離的一點 O 處建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道 AO、BO、OP，設排污管道的總長為 y km。

（1）按下列要求寫出函數關系式：

設 ∠BAO=θ（rad），將 y 表示成 θ 的函數關系式；

設 OP=x（km），將 y 表示成 x 的函數關系式。

（2）請你選用（1）中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。

【命題的動向】本題考查了函數最值求法及導數在函數求解中的應用以及運用數學知識解決實際問題的能力。解題關鍵是建立好目標函數，并且要注意所得結果符合問題的實際意義。

例 2（2013 年山東卷文，21）兩縣城 A 和 B 相距 20 km，現計劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧 AB 上選擇一點 C 建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城 A 和城 B 的總影響度為城 A 與城 B 的影響度之和，記 C 點到城 A 的距離為 x km，建在 C 處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度為 y，統計調查表明：垃圾處理廠對城 A 的影響度與所選地點到城 A 的距離的平方成反比，比例系數為 4；對城 B 的影響度與所選地點到城 B 的距離的平方成反比，比例系數為 k，當垃圾處理廠建在弧 AB 的中點時，對城 A 和城 B 的總影響度為 0.065。

（1）將 y 表示成 x 的函數；

（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧 AB 上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度最小？若存在，求出該點到城 A 的距離；若不存在，說明理由。

【命題的動向】本題主要考查了函數在實際問題中的應用，運用待定系數法求解函數解析式的能力和運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題。

（七）導數的綜合應用

例 1（2013年廣東卷文，21）已知曲線 Cn：y=nx2，Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲線 Cn 上的點。

（1） 試寫出曲線 Cn 在 Pn 處的切線 ln 的方程并求出 ln 與 y 軸的交點 Qn 的坐標；

（2）若原點 O（0，0）到 ln 的距離 PnQn 線段的長度之比取得最大值，試求點 Pn 的坐標（xn，yn）。

【命題的動向】本題是在函數與不等式的交匯處命題，考查利用導數求曲線的切線方程、求點的坐標等問題，考查了同學們利用所學知識綜合解決問題的能力。

例 2（2013 年浙江卷文，21）已知函數 f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a

（I）當 a=1，b=2 時，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）設 x1，x2 是 f（x）的兩個極值點，x3 是 f（x）的一個零點，且 x3≠x1，x3≠x2。證明：存在實數 x4，使得 x1，x2，x3，x4 按某種順序排列后構成等差數列，并求 x4。

【命題的動向】本題考查了函數的極值概念、導數的四則運算法則、切線方程的求解，導數的應用及等差數列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理分析能力和創新能力。

三、考情深入分析與復習建議

（一）考情深入分析

結合近年各省市高考對導數知識點的考查及題型結構，可以看出對導數基礎知識點的考查，一般是顯性出現在題目中的，而且這些提示的關鍵詞比較固定，讓我們一看就知道用導數的知識來解決，比如切線、單調區間、極值等。對于帶有以上關鍵詞的題目，一般都是對導數基礎知識的考查，這就要求我們對導數四則運算、函數的求導要熟練和對相關的概念要理解好，才能做好解題的第一步。而對導數的應用的考查題型也比較穩定，一般命題的出發點是以函數為載體，用導數來研究函數的變化率。函數的變化率實際上體現的是函數的性質，而函數的性質必須通過導函數來探討。因此，熟練求出導函數是解決問題的前提。但是考查深度不止停留在函數性質概念層面上，還會繼續對函數性質應用的考查。函數性質的運用又可以同其他知識點來考查。這就使不同知識點的聯系更緊密。比如，從題型來看，導數知識點的綜合題目主要是圍繞函數的單調性這一性質來考查。通過函數的單調性可以探求極值點、最值、零點和解不等式等，而最值可以以實際問題優化來命題，零點可以同方程的根來考查。這些都體現導數知識點的交匯的隱性考查，從而使一些題型難度增大。從題型數量難度和分值比重來看，導數知識點的難度題一般是在解答題的第二小問，分值比重在 6 分左右；而對導數基礎知識的考查一般在選擇題、填空題和其所在解答題的第一小問出現現占的分值比重較大。

（二）復習建議

從以上的分析可以看出，萬變不離其宗，對導數基礎知識的考查始終是命題的重點，而對函數的性質的掌握也十分重要。對此筆者提出以下兩方面的復習建議：

1.突出基礎知識點的復習?；谛☆}對導數的幾何意義、切線、單調區間等基礎知識點考查的頻率較高，復習一定要注重基礎知識的落實，如導函數的求法，導數的運算。

2.注重導數綜合知識的應用。導數綜合知識的應用主要是在解答題中出現。從考題知，考查的主干知識點集中于函數單調性的應用。因此復習時注意基本題型的掌握，如運用函數單調性求單調區間、極值點、最值、證明不等式、求參數的取值范圍、判斷方程根的個數等。對此類題型的復習，要在基礎知識掌握上，增加聯系與綜合，特別是對知識點交匯處要重點把握，提高綜合運用知識解決問題的能力。同時，加強數學思想方法的提煉和運用，如函數與方程的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想等。

本文主要從導數在高考題中的知識點視角出發，借助收集掌握的文獻資料，其中通過收集 2006 年至 2016 年全國部分省市的高考試題，歸類并綜合深入分析導數知識點的考點分布。結合具體例子來分析知識點結構難度 ，最后對考情深入分析，即抓住了導數知識點考查的本質，為高考復習化繁為簡，把握重點，指明方向。本文優點在于論據充分，真實可靠，有一定說服力；確定的研究指標合理正確，能服務總目標；研究方法選擇恰當。本文不足之處有：研究視角有待進一步增加；研究指標分析上需進一步加深；研究手段有待進一步完善。擬采用增加的研究指標：基于為教師提供更清晰的教學思路，增加導數在高考數學考綱這一論據。由于導數在不同省市高考考綱可能有所不同，因此擬采用的方法為統計方法。選擇這一方法的目的是為了找出導數在考綱的要求的相同點，明確（下轉第157頁）（上接第149頁）導數在考綱的重難點，為教師制訂更具有針對性的教學計劃提供依據。

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（責編 盧建龍）