淺談導數在不等式證明中的相關應用

彭江敏+徐立新

摘 要：不等式的證明，中學往往只能用基本不等式，一些不等式的證明比較難，有時要用到一些技巧。但若利用高等數學中的導數，問題就變得簡單了。

關鍵詞：不等式；導數；應用

一、高等數學中的拉格朗日中值定理

定理1：若函數f（x）滿足：①在閉區間上[a，b]上連續；②在開區間上（a，b）內可導則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f?（ξ）（b-a）.

利用上述定理，我們不難證明如下結論：

定理2：若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則有

（1）當對任意的x∈（a，b），恒有f（x）>0，則f（x）在區間[a，b]上是增函數.

（2）當對任意的x∈（a，b），恒有f?（x）<0，則f（x）在區間[a，b]上是減函數.

證明：，不妨設x1

f（x2）-f（x1）=f?（ξ）（x2-x1），因此，若在（a，b）內恒有f?（x）>0，則上式中f?（ξ）>0且（x2-x1）>0，從而，f（x2）>f（x1）即f（x）在區間[a，b]上是增函數。

反之，若在（a，b）內恒有f?（x）<0，則上式中f?（ξ）<0且（x2-x1）>0，從而，f（x2）

上述定理告訴我們，函數單調增加的區間必有導數為正，而函數單調減少的區間必有導數為負。

利用上述定理2，我們容易證明一些不等式。

二、應用舉例

例1：證明：當x>1時，

證明：令，

則

由于f（x）在[1，+∞）上連續，在（1，+∞）內f?（x）>0，因此，在[1，+∞）上f（x）單調增加，故當x>1時，f（x）>f（1）=0。

即所以（x>1）

例2：證明：（x>0）

證明：令

因為f??（x）=x-sinx，f???（x）=1-cosx，于是當x>0時，f???（x）=1-cosx≥0，因此，在（0，+∞）內，f??（x）是增函數。

所以，當x>0時，f??（x）>f??（0）=0。

此即在（0，+∞）內f??（x）≥0，所以f?（x）在（0，+∞）內是增函數，所以，當x>0時，f?（x）>f?（0）=0。

此即在（0，+∞）內f?（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）內是增函數。

所以，當x>0時，f（x）>f（0）=0，從而有，當x>0時，即（x>0）。

三、總結

從上面兩個例子，我們看到，利用導數來證明不等式有較好的作用，若用中學的原始方法，像這一類不等式的證明，有時是較難的，有時甚至是不可能的.所以，利用導數證明不等式，是一種好的方法.

參考文獻：

[1]高等數學（上冊）.湯四平、趙雨清、陳國華主編[M]北京：北京理工大學出版社，2009.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.