基于copula相關性的多元質量控制研究

王俊棋，袁龍

（合肥工業大學 機械工程學院，安徽 合肥 230009）

基于copula相關性的多元質量控制研究

王俊棋，袁龍

（合肥工業大學 機械工程學院，安徽 合肥 230009）

在實際生產過程中各質量點之間存在非線性、復雜、耦合相關性，傳統的SPC控制圖并不能系統、全面地進行質量控制。本文構建了基于copula函數的相關性模型的多元質量控制技術，并進行實例驗證。

copula；相關性；多元質量控制

1924年休哈特博士提出了控制圖，這是一種在生產過程中被廣泛運用的質量管理手段。然而，在實際生產中產品的質量并非是多個質量點的簡單累加，往往不同質量點之間存在相互影響、相互作用。所以，考慮質量點之間相關性的質量控制圖對產品質量管理具有實際意義。采用簡單的線性相關模型并無法精確的描述出質量點之間的相關關系。而Copula理論在分析相關性中能夠將各類相關性度量指標進行“歸一”處理，可以很好地用于描述多個質量點之間的相關關系。本文提出了一種基于copula相關性的多元質量控制圖，采用copula函數構建多個質量點相關性模型。對于存在較強相關性的質量點，在采用公差法進行數據標準化后采用SPC控制圖進行質量控制。

1 Copula函數相關性建模

1.1 copula函數的定義

1.2 copula相關性建模

根據copula函數理論，構建基于copula函數的相關性模型的步驟如下。第一，隨機變量分布的確定。當質量點服從的分布已知，使用參數法獲得質量點的邊緣分布函數。當質量點服從的分布未知，采用非參數估計法得到質量點的邊緣分布函數。第二，選擇最優的函數類型。通過質量點的歷史數據分析質量點之間的相關性特點，根據其相關性特點選擇合適的函數。第三，對函數中的參數進行估計。第四，通過函數模型參數描述其相關關系。采用秩相關系數以及尾部相關系數進行模型相關性評價。

以發動機缸蓋線的凸輪軸的某直徑和同軸度質量點為例，采用copula函數相關性模型建模分析其之間的相關性。選取1000臺發動機缸蓋的凸輪軸的直徑以及同軸度數據，數據見表1。

表1 質量數據表

（1）采用非參數化方法確定直徑與同軸度各自的邊緣分布，并通過核分布函數與經驗分布函數重合程度評價估計的準確性。

（2）在得到質量點的邊緣分布函數，繪出二維頻率直方圖，見圖1。

從二元頻數直方圖發現，直徑與同軸度存在尾部相關性較強的特征。根據多種copula函數存在的特點，最合適的函數是t-copula函數。

圖1 二元頻數直方圖

（3）函數類型得到確定以后，對函數的參數進行估計，得到函數表達式，并根據實際質量數據繪出相應的copula函數密度函數圖以及分布函數圖。采用matlab計算t-Copula函數參數

得到t-Copula分布函數、密度函數表達式，根據密度函數、分布函數公式繪出t-Copula密度函數圖、分布函數圖，見圖2、3。

圖2 二元t-Copula密度函數圖

圖3 二元t-Copula分布函數圖

（4）t-Copula函數的Kendall秩相關系數：

選擇t-Copula函數進行相關性分析。t-Copula函數的秩相關系數=0.7451，根據秩相關系數的定義得出結論：在使用建模的質量數據中，直徑與同軸度有74.5%的數據存在波動一致性。t-Copula函數的95%分位數的尾部相關系數為0.634，即當隨機變量直徑取值在0.95分位數時，另一隨機變量同軸度以63.4%的概率也在0.95分位數以上。

綜上分析，二者存在著較強的相關性。

2 基于相關分析的質量控制圖

在質量點之間存在較強相關性的基礎上，對多個質量點的數據進行標準化處理以實現數據整合，實現多元到一元的質量數據處理，再進行一元統計過程控制，實現多元質量控制。

質量點的數據采用公差法進行處理，基于公差實現標準化。相對公差法轉化公式如下 ：

在上文的分析中，發動機缸蓋的凸輪軸的直徑和同軸度存在強相關性，以此為例子，構建基于copula相關性的多元質量控制圖。

凸輪軸直徑的目標值為25.01，上限為25.0235，下限為25.0005；凸輪軸同軸度的目標值為0，上限為0.05，下限為0。對直徑的一個質量數據X1=25.0189和同軸度一個質量數據Y1=0.031使用公差法進行標準化處理，對變量進行控制圖分析。

選取30對直徑和同軸度質量數據，采用公差法進行標準化后，對得到的變量Z采用控制圖進行質量控制，繪制單值控制圖，見圖4。

圖4 單值控制圖

3 結語

本文構建基于Copula相關性模型的多元質量控制技術，并使用發動機缸蓋線的質量點進行實例驗證。相比于傳統的SPC控制圖，考慮了質量點之間的相關性，可以在生產過程中進行更為系統、全面的質量控制。

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