扭擺法和振簧法測量內耗振幅效應的修正公式

方前鋒， 王 輝， 王先平，王 理，莊 重

（1.中國科學院固體物理研究所內耗與固體缺陷實驗室，安徽 合肥 230031；2.中國核動力研究設計院反應堆燃料與材料重點實驗室，四川 成都 610041；3.蘇州丹平格儀器有限公司，江蘇 蘇州 215000）

扭擺法和振簧法測量內耗振幅效應的修正公式

方前鋒1，3， 王 輝2， 王先平1，3，王 理2，莊 重1，3

（1.中國科學院固體物理研究所內耗與固體缺陷實驗室，安徽 合肥 230031；2.中國核動力研究設計院反應堆燃料與材料重點實驗室，四川 成都 610041；3.蘇州丹平格儀器有限公司，江蘇 蘇州 215000）

傳統的內耗測量規范多采用扭擺法和振簧法，并沒有涉及內耗隨應變振幅變化的情況。為更加準確測量材料在不同應變振幅下的內耗和模量值，該文根據不同內耗測量方法中試樣的應力分布情況，從內耗基本定義出發，考慮內耗隨應變振幅變化的情況，重新推演扭擺法和振簧法測量內耗和模量的基本方程，獲得采用扭擺法和振簧法測量內耗（模量）-振幅曲線的修正公式，為準確測量大應變振幅激發情形下高阻尼材料的內耗和模量提供參考。

內耗測量技術；葛氏擺；振簧法；內耗振幅效應

0 引 言

內耗技術可以應用于凝聚態物理和材料科學的相關研究中，提供其他實驗手段不易得到的有用信息[1]。目前應用最廣泛的內耗測量技術當屬扭擺-葛氏擺，經歷了從正擺到倒擺，再到自動化和高分辨率的發展歷程。聲頻內耗測量技術（包括懸臂梁法和振簧法）也應用廣泛，特別適合于彈性模量的精確測量。但是，傳統的內耗測量規范沒有涉及內耗隨應變振幅變化的情況。在某些情況下（如大應變振幅激發以及高阻尼材料），內耗和模量值往往強烈依賴于試樣振動的應變（或應力）振幅，此時必須對傳統內耗（模量）測量規范進行修正。本文根據扭擺法和振簧法中試樣的應力分布情況，推導出了測量內耗（模量）-振幅曲線的修正公式，為精確測量不同應變振幅下的內耗和模量提供了新的規范。

1 低頻扭擺——葛氏擺

葛氏擺基本原理[2-3]是，令一根連接扭轉桿的金屬絲狀試樣作自由扭轉振動，分別測量振幅對數減縮量和振動頻率就可以測出它的內耗和切變模量。所采用的內耗量度Q-1是振幅對數減縮量的1/π；而切變模量G與振動頻率f的平方成正比。由于待測試樣在空間分布上位于激發裝置和動擺桿的正上方，所以稱為正擺。利用該裝置可以方便地測量試樣的內耗和動態切變模量隨溫度的變化、在恒應力下的蠕變（包括彈性后效）和在恒應變下的應力弛豫等滯彈性行為。

為了解決正擺不方便實現真空和低溫條件，以及在高溫下試樣因受到動擺桿的重力作用而容易發生蠕變等問題，研究者將試樣放在最下面（即把正擺倒置），同時配置砝碼以平衡動擺桿的重力，而設計出“倒扭擺”裝置。倒扭擺具有比正擺更高的穩定性和可操作性，經過不斷完善最終發展為現代多功能內耗儀[4-5]。

如圖1所示，測量內耗時，由計算機17發生一個正弦波激發信號，經過放大后送至激發線圈9，產生一個交變的電磁力矩，作用于擺桿上方的永磁鐵10。該力矩通過擺桿5使得試樣4按正弦波規律發生扭轉運動。反射鏡6將該扭轉振動信號通過光源1發出的激光傳送給光電位移轉換器14，光信號被轉換為電信號。在用強迫振動模式測量內耗時，擺桿扭轉的正弦信號與信號發生器產生的激發正弦信號進行比較，可以得到這兩個信號的相角差θ。如果周期性外力的頻率f遠小于系統的共振頻率fr，則試樣的內耗值近似等于tanθ。在自由衰減模式下，由計算機17發出命令，使樣品扭轉至設定的最大振幅處，然后由樣品作自由衰減運動。此時，內耗Q-1=δ/π，其中δ是振幅對數減縮量。自由衰減模式一般用于測量較小的內耗值。

圖1 多功能內耗儀原理圖和試樣振動時的應變分布示意圖

應該指出的是，上述內耗測量規范中，并沒有考慮內耗的振幅效應，即試樣的內耗大小與測量內耗所用交變應力（或應變）振幅有關。在有些情況下（如大應變振幅激發[6]以及高阻尼材料[7]），內耗往往是依賴于試樣振動的應變（或應力）振幅的。此時傳統的內耗測量規范將帶來很大的誤差，必須進行修正。

設試樣表面應變振幅為ε0時所測量的內耗為（ε0），切變模量為 Gm（ε0），它們應該是試樣本征內耗和模量 Q-1（ε）和 G（ε）在應變振幅為 0～ε0時的加權平均值。為了求出此平均值，可以從內耗的基本定義式出發：

式中ΔW和W分別是試樣在一個振動周期內（相位角2π）所消耗的能量和最大彈性儲能，先求出ΔW和W的平均值，然后根據式（1）以及下式求出Q-1（ε）和G（ε）：

其中V為試樣體積，V=Lπa2。

式中G（ε）為切變模量（或儲能模量）。

因此，試樣的總儲能為

在傳統內耗測量規范的情況下，假設切變模量與振幅無關，把此時的切變模量記為Gm（ε0），即是所測量的試樣切變模量。代入式（4），可得：

比較式（4）和式（5），可以得到所測量的試樣切變模量與試樣本征切變模量之間的關系為

兩邊對 ε0求導，并乘以 ε0/4，有：

將式（6）代入式（7）式，整理可得：

另一方面，這部分試樣的能量損耗dΔW為

其中第一個等號是根據內耗的基本定義得到的。

設 G′（ε）=G（ε）Q-1（ε），它也被稱為損耗模量。

那么，試樣的總能量損耗為

與儲能模量的情況類似，可以得到所測量的試樣損耗模量與試樣本征損耗模量之間的關系為

2 聲頻測量技術

聲頻內耗測量技術，主要包括懸臂梁法和振簧法，在低頻扭擺技術應用于內耗測量前是主要的內耗測量技術，目前仍在廣泛使用，特別適合于彈性模量的精確測量。一般來說，懸臂梁法的工作頻率在1kHz范圍，而振簧法在100Hz范圍。其工作原理是利用靜電或電磁激發方式使試樣在共振頻率下振動起來，然后撤去激發力使試樣做自由衰減振動。下面以中國科學院固體物理研究所研制的薄膜內耗儀為例說明振簧法測量內耗的基本原理（如圖2所示）。

該儀器的原理如下：片狀試樣（厚度：0.1～0.3mm；寬：4～6mm；長：15～50mm）的一端自由，另一端固定在夾頭上。試樣的起振采用靜電激發，在試樣上施加較大偏壓的同時，施加交變激勵電壓激發樣品振動。施加偏壓不僅使信號頻率與作用在試樣上的激發力的頻率保持一致，而且可以提高激發力。在試樣振動過程中，采用電容法（通過測量樣品和接收電極之間的電容）來檢測樣品的位移量。當樣品同接收電極之間的距離改變時，電容就會發生改變，流過電容的電流正比于電容大小，經過接收電路放大后，就產生位移信號。該信號經放大后，再加到激發電極上，形成正反饋，使樣品產生自激振蕩，振動頻率就是樣品的共振頻率。由自動振幅控制電路控制正反饋量，使樣品按設定的振幅進行等幅振動。當進入測量狀態時，由計算機發出命令，撤除激發電壓，樣品振動開始自由衰減，由振幅衰減曲線可以測量試樣的共振頻率（楊氏模量）和內耗。

圖2 薄膜內耗儀原理圖和試樣振動時的應變分布示意圖

薄膜內耗儀不僅可以測量薄片狀試樣的內耗和楊氏模量，還可以測量附著于薄片襯底之上的薄膜試樣的內耗和楊氏模量[8-10]。此外，在聲頻測量技術的基礎上，通過建立合適的模型，也可以準確地測量出附著于襯底之上的液體材料的內耗和模量[11-12]。

對離開試樣中心線y的薄層dy，該部分試樣的體積是dV=Lbdy（其中L和b分別是試樣的長度和寬度），其耗能和儲能分別為

其中z=y/d。

按照與試樣扭轉振動時類似的分析方法和步驟，設試樣表面應變振幅為ε0時所測量的內耗和楊氏模量為（ε0）和 Em（ε0），它們與試樣本征內耗和楊氏模量 Q-1（ε0）和 E（ε0）之間的關系為

3 有振幅效應時內耗和模量的新測量規范

在實際被測樣品中，應力（或應變）都有一定的分布，因此測量到的內耗值只能近似看作為某一振幅范圍內的平均值。導致測量的內耗-應變振幅曲線與試樣本征值出現較大差異。從式（13）、式（14）和式（18）、式（19）可見，該差異與應變振幅和內耗對應變振幅的導數之積成正比。

下面通過2個具體的例子來說明有振幅效應時內耗和模量的新測量規范。第1個例子是采用多功能內耗儀在室溫測量鎂的內耗振幅曲線，測量模式為強迫振動模式，結果如圖3所示。可見，隨著測量應變振幅的增加，內耗單調上升，相對模量單調下降。根據式（12）～式（14）對數據進行處理，得到試樣本征內耗和相對切變模量。可見，試樣本征內耗明顯高于測量內耗，而且隨著應變振幅增加，該差異值增大，在應變振幅為10-3時，試樣本征內耗高出測量內耗達20%。同樣地，試樣本征模量低于測量值，而且隨著應變振幅增加，該差異增大，但不超過1%。

第2個例子是采用多功能內耗儀在室溫測量Fe-Cr基高阻尼合金的內耗振幅曲線，測量模式為強迫振動模式，測量得到的內耗和相對切變模量結果如圖4所示。可見，隨著測量應變振幅的增加，內耗先上升后下降，在應變振幅為3.4×10-4時出現內耗峰，峰值高達0.076，而相對模量隨振幅的變化趨勢與內耗的相反，但變化幅度相對較小。根據式（12）～式（14）對數據進行處理，得到試樣本征內耗和相對切變模量。可見，試樣本征內耗在內耗峰的低振幅端明顯高于測量內耗（在應變振幅為10-4時，高出測量內耗50%），而在高振幅端明顯低于測量內耗，導致本征內耗峰位置從測量的3.4×10-4移到較低的應變振幅2.8×10-4，峰值也增加到0.081。試樣本征模量的情況類似，但總體來說，試樣本征模量與測量模量的偏差較小，不高于2%。

圖3 純Mg在室溫、1Hz時測量與本征的內耗、模量-振幅曲線

圖4 Fe-Cr基高阻尼材料在室溫、1Hz時測量與本征的內耗、模量-振幅曲線

4 結束語

根據以上分析，提出內耗和模量振幅曲線的測量規范如下：

1）采用強迫振動模式（多功能內耗儀），用不同的試樣表面應變振幅去激發試樣，獲得一定應變振幅范圍內試樣的內耗和相對切變模量對振幅的曲線Q-1m（ε0）和 Gm（ε0）。

2）或者在小內耗情況下采用自由衰減模式（多功能內耗儀或聲頻內耗儀），將試樣激發到最大應變振幅后，去除外加激發力，得到試樣的應變衰減曲線。取一小段應變衰減曲線（包含2～3個振動周期為宜），按照文獻[5]給出的全譜擬合方法，可以計算出對應于這一小段曲線平均應變振幅的試樣內耗和模量的測量值。逐步移動這一小段曲線的選取位置，就可以獲得試樣內耗和相對切變模量（多功能內耗儀）或楊氏模量（聲頻內耗儀）對振幅的曲線（ε0）和 Gm（ε0）或 Em（ε0）。

3）最后，根據本文中的式（12）～式（14）（多功能內耗儀）或式（17）～式（19）（聲頻內耗儀），計算出試樣本征內耗和相對切變模量（多功能內耗儀）或楊氏模量（聲頻內耗儀）對振幅的曲線 Q-1（ε）和 G（ε）或 E（ε）。

因此，只要按照傳統的內耗測量規范，采用扭擺法得到了試樣的內耗（切變模量）對表面應變振幅的曲線，或者采用振簧法和懸臂粱法得到了試樣的內耗（楊氏模量）對表面應變振幅的曲線，就可以根據修正式（12）～式（14）或式（17）～式（19）分別計算出試樣的本征內耗（切變模量、楊氏模量）-振幅曲線。

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[2]葛庭燧.扭擺的故事[J].物理，2001（21）：9-16.

[3]葛庭燧.扭擺內耗儀的發明和內耗研究的開拓與進展[J].力學進展，1994（22）：336-351.

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（編輯：莫婕）

Modification formulas for strain-amplitude dependent internal friction measurement with torsion pendulum and vibration reed methods

FANG Qianfeng1，3，WANG Hui2，WANG Xianping1，3，WANG Li2，ZHUANG Zhong1，3
（1.Laboratory of Internal Friction&Defects in Solids，Institute of Solid State Physics，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China；2.National Key Laboratory for Nuclear Fuel and Materials，Nuclear Power Institute of China，Chengdu 610041，China；3.Suzhou Damping Instruments Company Limited，Suzhou 215000，China）

To the traditional standard of internal friction measurement，the torsion pendulum and vibration reed were preferentially recommended and the issue of strain amplitude dependence of internal friction was not taken into consideration.To more precisely measure materials’internal friction and modulusatvariousstrain amplitude，thispaperconsidersthe strain amplitude dependence of internal friction and modulus by analyzing the stress distribution in the sample in different internal friction measurement methods.The modification formulas for the measurement of internal friction and modulus versus strain-amplitude are obtained by re-deriving the principle equations for internal friction and modulus measurements by torsion pendulum and vibration reed methods from the basic definition of internal friction.This provides a new standard for precise measurement of internal friction at different strain-amplitude in the cases of high strain-amplitude excitation or high damping materials.

technique of internal friction measurement；Ke’s pendulum；vibration reed；amplitude dependence of internal friction

A

1674-5124（2017）04-0001-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.04.001

2016-06-20；

2016-08-05

國家自然科學基金項目（11274305）

方前鋒（1962-），男，研究員，博導，研究方向為特種金屬材料。