一種計算三芯電力電纜表面磁場的解析方法

李世松，袁燕嶺，董 杰，甘景福，黃松嶺，趙 偉

（1.清華大學電機系，北京 100084；2.國網唐山供電公司，河北 唐山 063000）

一種計算三芯電力電纜表面磁場的解析方法

李世松1，袁燕嶺2，董 杰2，甘景福2，黃松嶺1，趙 偉1

（1.清華大學電機系，北京 100084；2.國網唐山供電公司，河北 唐山 063000）

因三芯電力電纜穩態運行時傳輸的三相電流之和為0，以傳統的電流互感器無法測量出其中各芯線即各相電流，該文從表征通流狀態下三芯電力電纜中各處電磁特性的電磁場方程出發，提出一種三芯電力電纜表面磁場的解析計算方法，其不僅適用于對稱三芯電纜，還適用于其他電纜三芯任意分布的情形。基于該解析算法，通過測量三芯電纜表面的磁場，就可以較準確地實現對三芯電力電纜各芯線電流的測量。以該解析模型進行計算和采用有限元仿真模型計算的結果均表明，所提出解析算法具有較好的準確性，對構建新型電纜在線監測系統具有理論指導價值。

電力電纜；磁場計算；解析模型；電流測量

0 引 言

近年來，隨著電纜制作工藝的不斷進步，電纜輸配電工程獲得了長足發展[1]。一般地，35 kV以上的三相電力系統電纜輸配電工程多采用單芯電纜，而35kV以下的三相電力系統電纜輸配電工程則多采用三芯電纜[2]。由于電纜運行環境復雜，發生故障后很難及時排查和檢修，因此，電力電纜運行的安全性越來越受到重視[3]。

為確保電力電纜供電的可靠性，十分需要對電力電纜的運行狀態實施在線監測。但目前國內外已有的電力電纜在線監測方法，大多是通過測量間接反映電纜運行特性的相關參數實現的，例如對電纜溫度、老化等參數進行在線測量等[4-11]。間接測量往往存在較大延遲，且大多數間接測量方法不能確診電纜運行故障的位置和類型，存在較大局限性。

為了更直接地實現對三芯電力電纜運行狀態的監測，一種較為可靠的方法，是對實際運行中電纜各芯線的電流即三相系統的各相電流進行測量。對單芯電纜，相電流測量原理與一般的穿心電流互感器無異。但對于三芯電纜而言，其在穩態運行時，三相電流之和為零，因而穿過電纜表面任意橫截面的總磁通也為零，故不能用傳統感應式方法測量相電流。

為了解決以傳統感應式電流測量裝置無法測量出三芯電力電纜各相電流的難題，文獻[12]提出了一種基于磁傳感器測量對稱三芯電纜相電流的新方法，即通過測量三芯電力電纜表面周向磁場的變化來實現對對稱三芯電力電纜中各相電流的有效測量。但文獻[12]僅給出了電纜中三根芯線對稱的情形，而實際輸電工程應用中的三芯電纜，三芯分布受電纜類型、電纜加工工藝水平等影響，未必滿足三芯對稱的條件。電纜三芯非對稱情況若仍采用文獻[12]中的模型，勢必會造成測量結果的不準確。鑒于此，本文試提出一種更為普遍的三芯電力電纜表面磁場解析模型及其計算方法，旨在將文獻[12]中論及的電纜三芯對稱的情形推廣至三芯任意分布的情形。如此，可更普遍地指導基于磁傳感器的三芯電力電纜相電流的測量。

1 三芯電纜表面磁場計算解析模型

建立解析模型所使用的三芯電纜的結構見圖1，其中，電纜中心為O，A、B、C分別是電纜各芯線的位置，電纜中心到A、B、C芯線的距離分別為r1、r2和r3。不失一般性，可設y軸與OA重合，則A點的坐標為（0，r1）。 電纜中心到 B、C兩芯線的矢量，即OB、OC與x軸的夾角分別為α、β，故B點的坐標為（r2cosα，r2sinα），C 點的坐標為（r3cosβ，r3sinβ）。

計算時，A、B、C 三相電流分別為 IA、IB和 IC。SA、SB、SC分別為OA、OB、OC延長線與電纜表面的交點，亦即磁傳感器的安裝位置。SA、SB、SC到電纜中心的半徑為R。根據安培環路定理，A相電流IA在SA處產生的磁感應強度為

其中μ0為真空磁導率。

圖1 三芯電力電纜結構及各相電流的測量原理示意

方便起見，定義磁傳感器沿圓周方向為n，沿徑向方向為r，如圖1所示。顯然，式（1）中的磁場方向全部為n分量。類似地，B相電流IB在SA處產生的磁感應強度為

式（2）所示的磁感應強度BSA-B的方向為

故BSA-B沿n方向和r方向的分量分別為

同理，C相電流IC在SA處產生的磁感應強度為

BSA-C沿n方向和r方向的分量分別為

聯立式（1）、式（4）和式（7），可得 SA 處磁感應強度沿n方向的分量為

聯立式（5）和式（8），可得SA處磁感應強度沿r方向的分量為

在求解SB、SC處的磁感應強度時，可將x和y坐標軸進行旋轉。例如求解SB處的磁感應強度時，將y軸旋轉至與OB重合。此情況下，OC、OA與x軸的夾角分別為 β-α+90°、180°-α。用 β-α+90°、180°-α分別替代式（9）和式（10）中的α和β，并輪換相應的相電流和 ri（i=1，2，3），可得到 SB 處的磁感應強度沿n方向和r方向的分量分別為

同理，計算SC處的磁感應強度時，將y軸旋轉至與OC重合，OA、OB與x軸的夾角分別為180°-β、α-β+90°。 用 180°-β、α-β+90°分別替代式（9）和式（10）中的 α 和 β，并輪換相應的相電流和 ri（i=1，2，3），可得SC處磁感應強度沿n方向和r方向的分量分別為

2 模型仿真驗證

圖2 計算實例1中A、B、C三相電流的波形

圖3 計算實例1中SA、SB、SC處以解析模型計算出的磁感應強度與有限元仿真計算結果的對比

圖4 計算實例1中SA、SB、SC處以解析模型計算出的磁感應強度沿電纜表面切向分量與有限元仿真計算結果的對比

為驗證所構建解析模型的正確性，采用兩個計算實例，并將所建立的解析模型與有限元仿真計算結果進行比對。計算實例1為對稱模型，參數設置如下：R=45 mm，r1=r2=r3=20 mm，IA=IB=IC=100 A，α=210°，β=330°；A、B、C 三相芯線的半徑均為 12.5mm。

圖2為A、B、C三相工頻正弦電流的波形；圖3為SA、SB、SC 3個磁場極值點處的磁感應強度解析模型與有限元仿真計算的結果對比；圖4為SA、SB、SC 3個磁場極值點處的磁感應強度沿電纜表面切向即n方向分量的解析模型與有限元仿真計算的結果對比；圖5為SA、SB、SC 3個磁場極值點處的磁感應強度沿電纜表面垂直方向即r方向分量的解析模型與有限元仿真計算的結果對比。

從圖3～圖5不難看出，計算實例1中，解析模型與有限元仿真的計算結果非常一致，很好地驗證了所構建的解析模型在電力電纜三芯對稱情況下的準確性。

為定量說明計算實例1中解析算法的準確性，表1給出本文解析算法與有限元仿真模型的計算結果（SA、SB、SC處磁感應強度及其沿電纜表面的切向和垂直分量）之間最大差量的絕對值。可見，采用本文提出的解析計算模型與有限元仿真模型計算所得三芯電纜表面磁場最大差量的絕對值均小于0.03mT，完全滿足三芯電纜在線監測的準確性要求。

表1 計算實例1的解析算法與有限元仿真模型的計算結果之間最大差量的絕對值

計算實例2為非對稱模型，具體參數設置如下：R=45mm，r1=20mm，r2=28.28 mm，r3=25 mm，IA=IB=IC=100A，α=225°，β=323.13°；A、B、C 三相芯線半徑均為12.5mm。

圖6 計算實例2中SA、SB、SC處以解析模型計算出的磁感應強度與有限元仿真計算結果的對比

圖7 計算實例2中SA、SB、SC處以解析模型計算出的磁感應強度沿電纜表面切向分量與有限元仿真計算結果的對比

圖8 計算實例2中SA、SB、SC處以解析模型計算出的磁感應強度沿電纜表面垂直分量與有限元仿真計算結果的對比

計算實例2仍采用圖2所示的三相工頻正弦電流波形；圖6為SA、SB、SC 3個磁場極值點處以解析模型計算出的磁感應強度與有限元仿真計算結果的對比；圖7為SA、SB、SC 3個磁場極值點處以解析模型計算出的磁感應強度沿電纜表面切向即n方向的分量與有限元仿真計算結果的對比；圖8為SA、SB、SC 3個磁場極值點處以解析模型計算出的磁感應強度沿電纜表面垂直方向即r方向的分量與有限元仿真計算結果的對比。

從圖6～圖8可見，計算實例2中，解析模型與有限元仿真的計算結果也非常一致，如此，就驗證了所提出解析模型在電力電纜三芯非對稱情況下的正確性。類似地，表2給出了計算實例2中以本文提出的解析算法進行計算，與利用有限元仿真模型計算結果（SA、SB、SC處磁感應強度及其沿電纜表面的切向和垂直分量）之間最大差量的絕對值。可見，兩模型計算所得三芯電纜表面磁場的最大差量的絕對值均小于0.02mT，完全滿足三芯電纜在線監測的準確性要求。

表2 計算實例2以解析算法與有限元仿真模型計算出結果之間最大差量的絕對值

3 結束語

針對文獻[12]中基于磁傳感器測量三芯電纜相電流法僅適用于電纜三芯對稱的情形，本文提出了一種更為普遍適用的三芯電力電纜表面磁場解析計算方法，其可將電纜三芯對稱推廣至更為普遍的任意分布的情形。通過有限元仿真計算，很好地驗證了所建立解析模型的正確性。

所提出的解析模型，明確了磁傳感器的輸出量與三芯任意分布的電力電纜各芯線電流之間的量值關系，對基于磁傳感器原理、芯線非對稱分布三芯電力電纜的相電流測量和運行狀態監測均具有指導價值。

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（編輯：劉楊）

An analytical method for calculating the surface magnetic field for three-core electrical power cables

LI Shisong1，YUAN Yanling2，DONG Jie2，GAN Jingfu2，HUANG Songling1，ZHAO Wei1
（1.Department of Electrical Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China；2.Tangshan Electrical Power Company，Tangshan 063000，China）

Since the sum currents of three phases in the three-core cable is zero in steady state，traditional inductive current measurement methods， a current transformer， cannot measure the phase current.In order to solve this problem，this paper developed an analytical method for calculating the magnetic field on the surface of a three-core cable based on Maxwell equations which can be used for the generalized core contribution case rather than a symmetrical condition.Based on this analytical method，the phase current of the three-core cable can be represented by measurements of the magnetic field on the cable surface.The finite element simulations show that the presented analytical method has a good accuracy，and can be employed in future to realize an online power cable monitoring system.

electrical power cable；magnetic field calculation；analytical model；current measurement

A

1674-5124（2017）04-0095-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.04.020

2016-10-13；

2016-11-19

李世松（1987-），男，山東昌樂縣人，主要從事現代電磁測量和電磁計量方法研究。