一種負泊松比正弦曲線蜂窩結構的面內沖擊動力學分析

鄧小林， 劉旺玉

(華南理工大學 機械與汽車工程學院,廣州 510640)

一種負泊松比正弦曲線蜂窩結構的面內沖擊動力學分析

鄧小林， 劉旺玉

(華南理工大學 機械與汽車工程學院,廣州 510640)

研究了一種全參數化的正弦曲線蜂窩結構，通過Pro/Engineer構建了其參數化模型，采用ABAQUS建立了正弦曲線蜂窩結構的有限元模型。研究了不同振幅、不同胞壁厚度的正弦曲線蜂窩結構在不同沖擊速度下的面內動力學響應。研究表明，正弦曲線蜂窩結構的反作用力波動情況與其振幅以及沖擊速度直接相關。振幅越小、蜂窩結構胞壁越厚，其反作用力波動越明顯。速度越高，蜂窩結構的反作用力波動越明顯。而振幅較大的正弦曲線蜂窩結構，在不同的速度下，其反作用力表現出了較好的穩定性。正弦曲線蜂窩結構固定端的平臺應力主要與其厚度有直接關系，與沖擊速度無關。通過對正弦曲線蜂窩結構的能量吸收情況分析表明，隨著振幅的增加，其能量吸收能力相對下降，隨著速度的提高，蜂窩結構能量吸收能力趨向于一致。結果表明，正弦曲線蜂窩結構的輕微拉脹效應可增強其平面內能量吸收能力，相對普通的常規正六邊形蜂窩結構，具有更好的能量吸收效果。

負泊松比；正弦曲線；蜂窩結構；面內沖擊

汽車被動安全性當中的碰撞安全已成為目前國內外研究的熱點，對以耗散碰撞動能的能量吸收結構和材料的相關研究越來越受到重視[1]。蜂窩結構，在能量耗散過程中具有行程長、質量輕，能夠在保持穩定平臺應力水平下吸收大量沖擊動能的特點，具有十分廣闊的應用前景[2-3]。針對蜂窩結構的沖擊響應的相關分析已經很多，包括面內沖擊[4-6]、面外沖擊[7-8]、非規則的蜂窩結構沖擊[9-11]、蜂窩結構參數優化[12-13]等等，但現有的研究主要集中在常規的正泊松比蜂窩結構的研究和分析方面。

負泊松比材料，也稱之為拉脹材料(Auxetic Materials)，與普通正泊松比材料在拉伸時垂直于拉伸方向變窄，壓縮時垂直于壓縮方向變寬的原理恰恰相反，指的是當材料拉伸時，垂直于拉伸方向變寬，而壓縮時垂直于壓縮方向變窄。1944年Love[14]在其專著當中對負泊松比進行了描述，這是有記錄可查的最早對負泊松比進行描述的論著。雖然自然界早就存在著天然的拉脹材料，但并沒有引起太多的關注，直到Lakes[15]在1987年通過用常規的開孔泡沫材料制造出了一種各向同性的負泊松比泡沫材料。自此以后，針對拉脹材料相關研究開始快速發展起來，各種各樣不同形式的拉脹結構被不斷的設計和研究出來[16-17]。但現有的針對拉脹材料的研究工作主要集中在拉脹材料的拓撲結構以及力學性能和負泊松比變形機制的相關研究上，而引入負泊松比的吸能結構的相關研究，才剛剛開展[18-21]。與正泊松比結構不同的是，負泊松比結構在受到單向沖擊壓縮時，橫向會產生收縮變形，相對傳統正泊松比結構，負泊松比結構將具有更好的抗壓效果與能量吸收性能。如：楊德慶等[22]利用有限元計算對金屬鋁拉脹網格蜂窩芯層合板與普通鋁蜂窩芯層合板進行了平面內子彈撞擊試驗仿真，結果顯示拉脹蜂窩芯層合板具有更好的平面內抗侵徹性能，這種優勢性能被歸結于侵徹體前段的拉脹網格受壓致密化現象，而這種現象正是直接由其負泊松比特性決定。Schultz等[23]以平面內沖擊能量為優化目標，對多孔蜂窩結構的結構參數進行了優化，優化結果表明輕微的拉脹結構與傾斜的蜂窩壁可以獲得最大的平面內能量吸收。因此，針對負泊松比材料與能量吸收相關的研究，具有重要的現實意義和研究價值。

2007年Doll等[24]提出了一種正弦曲線凹角結構，提出了這種結構具有負泊松比效應，將該結構旋轉成圓柱狀用于藥物洗脫支架的設計上，與常規的菱形圓柱支架進行了對比，得出了比常規菱形支架更高的周向強度。但將該結構設計成一平面正弦曲線蜂窩結構，及對結構的面內沖擊下的力學性能的相關研究并沒有涉及。正弦曲線蜂窩結構是一種具有負泊松比效應的結構，其相對常規的負泊松比結構而言，具有結構參數少，各結構參數之間具有關聯性等特點，容易通過參數關系來實現整個蜂窩結構模型的全參數化控制和不同結構的蜂窩結構自動化生成等優點。因此，有必要對正弦曲線蜂窩結構進行系統研究和分析。然而，除了Doll等之外，目前沒有發現有針對正弦曲線蜂窩結構的相關研究和報道。基于上述原因，本論文擬對正弦曲線蜂窩結構的幾何結構以及面內沖擊下的不同胞壁厚度、不同沖擊速度和不同振幅下的動力學響應進行系統研究，為正弦曲線蜂窩結構的后續研究提供基礎。

1 分析模型

1.1 正弦曲線蜂窩的幾何結構

圖1 正弦曲線蜂窩幾何結構圖

為了對比分析不同拉脹程度的蜂窩結構面內沖擊效應，這里將振幅A設為變量，通過采用Pro/Engineer軟件建立了該正弦曲線蜂窩結構的全參數化模型，輸入不同的振幅和曲線的陣列數量，即可全自動的生成新的正弦曲線蜂窩結構。

1.2 相對密度

蜂窩材料和泡沫材料的性能主要取決于它們的相對密度，根據相對密度的定義，正弦曲線蜂窩結構的相對密度可表示為

(1)

式中：ρ*為蜂窩結構的表觀密度；ρs為構成蜂窩結構的材料的密度；N為正弦曲線的數量；li為第i根曲線的長度；ti為第i根曲線的厚度；L1，L2為整個蜂窩結構的長度和寬度。

通過數值方法計算出單根曲線的長度后，即可通過式(1)求得不同振幅和壁厚的蜂窩結構的相對密度。本論文主要研究不同振幅的正弦曲線蜂窩結構，通過改變正弦曲線的振幅，可得到不同的負泊松比。這里，主要對A分別取0.5 mm、1 mm、1.25 mm、1.5 mm四種不同拉脹效應的蜂窩結構進行對比分析，求得的相對密度如表1所示。

1.3 有限元模型

論文主要采用ABAQUS軟件來進行動力學模型分析。圖2所示即為常規正六邊形蜂窩結構和正弦曲線蜂窩結構沖擊模型示意圖。考慮到正弦曲線在ABAQUS里建模困難，這里利用Pro/Engineer軟件強大的三維參數化建模能力，先在Pro/Engineer軟件里對蜂窩結構的三維模型進行構建，然后通過STP中間格式文件導入ABAQUS軟件進行模擬仿真。蜂窩結構的面外厚度統一為1.5 mm。材料采用金屬鋁，并假設其為理想彈塑性模型，密度ρ=2 700 kg/m3、楊氏模量E=69 Gpa、泊松比u=0.3、屈服應力σy=76 Mpa。模型采用四節點減縮積分殼單元進行模擬，單元平均長度為0.5 mm，為了保證收斂，沿厚度方向采用5個積分點。上下剛體均采用解析剛體，邊界條件與文獻[4,20-21]一致，即固定端剛體與蜂窩結構采用綁定約束，并將固定端剛體固定，沖擊端剛體與蜂窩結構采用面面接觸，摩擦系數取0.2。為防止壓縮后的蜂窩結構穿透剛體，模型施加單面自動接觸算法。約束蜂窩結構的所有面外位移以確保結構在沖擊過程中不發生面外彎曲。沖擊端剛體以恒定沖擊速度對蜂窩結構進行沖擊，沖擊壓縮距離為初始長度的80%。為了對比分析不同速度下蜂窩結構的響應，采用了不同的幾組速度分別對其進行了仿真模擬。

表1 不同蜂窩壁厚度t與振幅A的相對密度表

(a)

(b)

1.4 平臺應力及能量吸收相關概念

名義應力的基本計算公式如下

(2)

式中：σ為名義應力；F為固定端剛體與蜂窩結構之間的接觸力；L為蜂窩結構水平面長度；b為面外方向的厚度。通過式(2)可知，名義應力即為蜂窩結構所受到的沖擊除以蜂窩結構與底面剛體的接觸面積。

蜂窩結構的平臺應力可表示為

(3)

式中：ε0為對應于初始峰值應力的名義應變；εd為鎖定應變，為蜂窩結構密實化階段的所對應的應變。

εd一般由式(4)確定

(4)

2 數值模擬結果及討論

2.1 正弦曲線蜂窩結構變形模式

正弦曲線蜂窩結構面內沖擊下的變形模式如圖3所示。其中模型參數為：A=1.5 mm、t=0.2 mm、υ=10 m/s。通過圖3可知，在沖擊的起始階段，隨著壓縮的進行，沖擊端的蜂窩由于結構本身的負泊松比效應，整個結構發生了橫向收縮。當名義壓縮應變增加到ε=0.2時，固定端開始出現變形，橫向收縮現象更為明顯。隨著壓縮的不斷增加，變形由沖擊端不斷向固定端傳播開來，固定端的中間部分也開始由下往上開始變形，整個正弦曲線蜂窩結構開始變成較為規則的菱形形狀。當名義壓縮應變達到ε=0.53時，菱形的蜂窩結構也開始逐漸被壓潰，壓潰的部分形成了一種倒“X”形狀。當壓縮到ε=0.67時，整個形狀被壓縮成“一”字形形狀，中間部分被全部壓潰。從ε=0.67到ε=0.8階段，沖擊端到中間部分被一層一層的全部壓潰，而固定端部分并沒有被完全壓實，這主要是因為在有限元模型構建的時候，將固定端的蜂窩結構與固定剛體綁定了起來，導致整個固定端的蜂窩結構整體抗沖擊能力增加所致。若固定端的蜂窩結構與固定剛體不綁定，變形將稍有不同，考慮到主要采用橫向對比，這里邊界條件采用了與文獻[4,20-21]一致的設置。

(a) ε=0.08

(b) ε=0.2

(c) ε=0.4

(d) ε=0.53

(e) ε=0.67

(f) ε=0.8

2.2 正弦曲線蜂窩結構在不同速度沖擊下的變形模式

蜂窩結構在不同速度的沖擊下，其變形模式具有較大的差別。這里分別取A為0.5 mm、1 mm、1.5 mm，υ為3 m/s、10 m/s、20 m/s、50 m/s進行對比分析。所有結構的t=0.2 mm，取變形量為ε=0.4時的變形模式如圖4所示。

(a1) υ=3 m/s；A=0.5 mm

(a2) υ=3 m/s；A=1 mm

(a3) υ=3 m/s；A=1.5 mm

(b1) υ=10 m/s；A=0.5 mm

(b2) υ=10 m/s；A=1 mm

(b3) υ=10 m/s；A=1.5 mm

(c1) υ=20 m/s；A=0.5 mm

(c2) υ=20 m/s；A=1 mm

(c3) υ=20 m/s；A=1.5 mm

(d1) υ=50 m/s；A=0.5 mm

(d2) υ=50 m/s；A=1 mm

(d3) υ=50 m/s；A=1.5 mm

當υ=3 m/s，因為速度相對較小，整個變形模式首先從沖擊端開始。壓縮量達到ε=0.4時，A的取值不同，其變形模式有很大區別。A=0.5 mm的蜂窩結構，其沖擊端和固定端往上的幾層蜂窩都已經被壓潰，而中間部分并沒有發生明顯的變化。A=1.5 mm的蜂窩結構，整個蜂窩結構能看到明顯的橫向收縮現象，并且整個蜂窩結構被壓成了近乎均勻的菱形形狀。A=1 mm的蜂窩結構變形則介于A=0.5 mm和A=1.5 mm這兩種蜂窩結構之間，沖擊端的蜂窩結構由菱形形狀和壓潰的菱形混合組成。固定端靠近底部出現了壓潰現象，底部往上中間部分變成了菱形形狀，蜂窩結構的中間部分沒有發生明顯的變形。說明A=1.5 mm的蜂窩結構其變形比較均勻，A=0.5 mm的蜂窩結構其沖擊波動較大。

當υ=10 m/s時，由于慣性效應，A=0.5 mm的蜂窩結構開始從沖擊端逐層壓潰，固定端沒有發生任何變形和壓潰的現象。A=1 mm的蜂窩結構也從沖擊端往下壓潰，整個蜂窩結構的橫向收縮較為明顯，而固定端并沒有發生變形。A=1.5 mm的蜂窩結構仍然表現出較好的均勻性，整個蜂窩結構被壓成了較為均勻的菱形形狀。

隨著速度的增加，慣性效應增強，當速度達到υ=50 m/s，A=0.5 mm的蜂窩結構變形表現為從沖擊端逐層壓潰，顯示出了與常規蜂窩結構材料相一致的變形模式。A=1.5 mm的蜂窩結構雖然還能看到結構由于負泊松比效應所產生的橫向收縮現象，但固定端已經沒有變形。

從上述分析可知，正弦蜂窩結構的變形模式與沖擊速度和振幅A值有很大的關系。負泊松比越明顯的蜂窩結構，其變形相對均勻，波動較小，變形較為平穩。

2.3 不同振幅正弦曲線蜂窩結構的動力響應曲線

圖5和圖6是胞壁厚度t=0.2 mm，不同振幅的正弦曲線蜂窩結構分別在υ=10 m/s和υ=20 m/s沖擊時，固定端和沖擊端的響應曲線。

圖5(a)為不同振幅正弦曲線蜂窩結構在υ=10 m/s時固定端的反作用力和位移曲線。通過該圖可知，A=0.5 mm的正弦曲線蜂窩結構，其固定端的反作用力波動非常明顯，從到達初始蜂值應力開始，一直到壓縮距離達到66 mm左右，即ε=0.4時，反作用力才逐漸趨于穩定，具有較大的波動。A=1 mm的正弦曲線蜂窩結構，與普通的多胞材料一樣，沖擊力到達平均沖擊力附近時上下波動，直到最后進入密實化階段，其變形機制與普通的蜂窩結構材料基本一致。

A=1.25 mm和A=1.5 mm的正弦曲線蜂窩結構，固定反作用力都有一個明顯的提高階段，這主要是因為它們的變形模式引起。平臺區的前半部分的變形主要是由正弦曲線被壓成菱形狀，其作用力相對較小。隨著壓縮的進行，當ε=0.4，即壓縮距離達到66 mm左右時，蜂窩結構開始由菱形逐漸被壓潰，平臺應力開始有較大提高。A=1.5 mm的正弦曲線蜂窩結構變化相對平穩。A=1.25 mm的正弦曲線蜂窩結構在后半部分有一個突然提高，這主要是因為A=1.25 mm的正弦曲線蜂窩結構在被完全壓縮成菱形結構前，靠近沖擊端的蜂窩開始被壓潰所致。

圖5(b)為υ=20 m/s時的響應曲線，其固定端反作用力和位移曲線與υ=10 m/s時的蜂窩相比，由于慣性效應的增強，各種不同振幅的正弦曲線蜂窩結構反作用力的波動都有所提高，其中A=0.5 mm的蜂窩結構的波動最為激烈。A=1.25 mm的蜂窩結構由于沖擊速度的增加，其第一個平臺區出現了增長，在壓縮距離達到92 mm時，平臺應力出現了大幅度的增加，快速進入了壓實階段。盡管速度增加，但A=1.5 mm的蜂窩結構相對υ=10 m/s速度，平臺應力并沒有出現很大的波動，只有在蜂窩結構由菱形逐漸被壓潰時，其反作用力波動較大，主要是因為速度的增加，菱形結構被壓潰和坍塌所致。

圖6為胞壁厚度t=0.2 mm，不同振幅的蜂窩結構分別在υ=10 m/s和υ=20 m/s沖擊時，沖擊端的響應曲線。通過對比分析圖5和圖6可知，沖擊端的反作用力與固定端的反作用力具有基本一致的趨勢，但沖擊端波動相對于固定端的反作用力更為明顯，尤其在沖擊開始的一瞬間，具有一個很大的沖擊反力。振幅越小的蜂窩結構，波動情況越明顯。

(a) υ=10 m/s

(b) υ=20 m/s

圖5 不同振幅蜂窩結構固定端在υ=10 m/s和υ=20 m/s沖擊時力和位移曲線(t=0.2 mm)

Fig.5 Dynamic force-displacement curves of honeycombs with different amplitude under 10 m/s andυ=20 m/s impact velocities at the supporting end

(a) υ=10 m/s

(b) υ=20 m/s

圖6 不同振幅蜂窩結構沖擊端在υ=10 m/s和υ=20 m/s沖擊時力和位移曲線(t=0.2 mm)

Fig.6 Dynamic force-displacement curves of honeycombs with different amplitude under 10 m/s andυ=20 m/s impact velocities at the impacting end

為了對比分析不同厚度的正弦曲線蜂窩結構在不同速度沖擊下的固定端的響應情況，這里對振幅A=1 mm和A=1.25 mm的正弦曲線蜂窩結構分別在t=0.1 mm、t=0.2 mm、t=0.3 mm、t=0.4 mm、t=0.5 mm五種不同厚度，υ=3 m/s、υ=10 m/s、υ=20 m/s三種不同速度下的沖擊響應情況進行了分析，分析結果如圖7所示。通過分析圖7可知，平臺應力主要與蜂窩結構的厚度直接有關，隨著厚度的增加，平臺應力明顯增加，但隨著速度的增加，固定端的平臺應力基本保持不變，其結果與文獻[21]所分析的結果一致。

(a) A=1 mm

(b) A=1.5 mm

2.4 正弦曲線蜂窩結構的能量吸收特征

評價結構能量吸收的最重要指標為材料單位質量吸能的能量，其表達式可表示為[25]

(5)

式中：Eint為結構的能量吸收；m為結構的質量。

而結構的能量吸收Eint又可表示為

(6)

根據式(2)中Δρ=ρ*/ρs得

m=ρ*v=Δρ×ρs×(L×L×b)

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5)可得

(8)

這里，將常規正六邊形蜂窩與具有負泊松比效應的正弦曲線蜂窩結構進行對比分析，研究正弦曲線蜂窩結構的能量吸收特征。蜂窩結構的最重要參數為其相對密度，而四種不同振幅的正弦曲線蜂窩結構的相對密度分別為：0.033 897 475、0.035 512 121、0.036 658 081、0.037 994 697。取其平均值0.036作為對比分析的正六邊形蜂窩結構的相對密度。根據正六邊形蜂窩結構的相對密度方程

(9)

(10)

根據式(10)即可求得所設計的正六邊蜂窩結構的邊長為3.2mm。其結構如圖2所示。采用與正弦曲線完全相同的數值分析和設置條件對其進行仿真對比分析。圖8所示即為胞元壁厚為0.1mm時，常規正六邊形蜂窩結構和不同振幅的正弦曲線蜂窩結構在不同沖擊速度下的單位質量能量吸收情況。

(a) υ=10 m/s

(b) υ=20 m/s

(c) υ=50 m/s

(d) υ=120 m/s

通過圖8可知，當υ=10 m/s時，在壓縮應變ε=0.2之前，常規正六邊形蜂窩結構的能量吸收好于正弦曲線蜂窩結構的能量吸收。但隨著壓縮的進行，正弦曲線蜂窩結構的負泊松比效應導致的橫向收縮，使得振幅A=0.5 mm的正弦曲線蜂窩結構的單位能量吸收性能逐漸超過常規正六邊形蜂窩結構。而A=1 mm和A=1.5 mm兩種正弦曲線蜂窩結構由于在壓縮初始階段變為菱形階段能量吸收相對較少，再加上A=1 mm和A=1.5 mm兩種正弦曲線蜂窩結構本身質量相對較大，導致其整體單位能量吸收情況較低。該結論也與Schultz等的輕微拉脹結構與傾斜的蜂窩壁可以獲得最大的平面內能量吸收的結論相一致。υ=20 m/s時的能量吸收情況總體上與υ=10 m/s保持一致。但隨著速度的增加，其變形模式逐漸演成為由沖擊端向固定端孔壁的逐層坍塌，在υ=120 m/s時，常規六邊形蜂窩結構的能量吸收已經始終高于正弦曲線蜂窩結構。這也主要是由于正弦曲線的蜂窩結構在沒有完全橫向收縮之前即已經從沖擊端被逐層壓潰。值得指出的是，振幅較小的蜂窩結構，其能量吸收曲線呈現波浪形上升，而振幅較大的蜂窩結構，其能量吸收曲線幾乎是以直線的形式上升，也說明了振幅較小的蜂窩結構波動較為劇烈。振幅較小的蜂窩結構其單位能量吸收性能相對振幅較大的蜂窩結構要好。速度越大，其能量吸收越多，并且隨著速度的增加，慣性效應增強，不同蜂窩結構的單位質量能量吸收逐漸趨向于一致。通過上述分析可看出，蜂窩結構的輕微拉脹效應可增強其平面內能量吸收能力，相對普通的常規蜂窩結構，具有更好的能量吸收效果。

3 結 論

論文對不同振幅、不同厚度的正弦曲線蜂窩結構在不同速度沖擊下的面內動態沖擊特性進行了分析和研究。研究結果表明，不同振幅的正弦曲線蜂窩結構，變形模式有較大差異，振幅越少、速度越高，固定端的反作用波動較大。振幅較大的蜂窩結構，其平臺應力在初始階段較低，在壓縮的后半程階段出現了一個較大的提高，隨著速度的增加，其平臺應力并沒有出現較大的波動情況，表現出了較好的穩定性。論文對不同厚度的蜂窩結構在不同速度沖擊下的響應情況進行了分析，蜂窩結構固定端的平臺應力主要與其厚度有直接關系，與其沖擊速度無關。通過對蜂窩結構的能量吸收情況分析表明，隨著振幅的增加，其能量吸收能力相對下降，高速沖擊時，不同的正弦曲線蜂窩結構在不同壓縮階段能量吸收能力趨向于一致，而輕微拉脹效應的正弦曲線蜂窩結構比常規蜂窩結構能量吸收能力更好。

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In-plane impact dynamic analysis for a sinusoidal curved honeycomb structure with negative poisson’s ratio

DENG Xiaolin， LIU Wangyu

(School of Mechanical & Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China)

A fully parameterized sinusoidal curved honeycomb structure was studied, the software Pro/Engineer was used to build the parameterized model of the honeycomb structure. The finite element model for the honeycomb structure was established using the software ABAQUS. Its in-plane dynamic responses with different amplitudes and cell wall thicknesses under different impact velocities were studied. The results showed that the reaction forces of the honeycomb structure is directly related to its amplitudes and impact velocities; the smaller the amplitudes and the thicker the cell wall thickness, the more obvious the fluctuations of reaction forces; the higher the impact velocities，the more obvious the fluctuations of reaction forces; if the honeycomb structure has larger amplitudes, its reaction forces have a good stability under different impact velocities; the honeycomb structure fixed end’s platform stress mainly depends on the cell wall thickness, but independent on impact velocities; with increase in amplitudes, the structure’s energy absorption capacity drops; with increase in impact velocities, the structure’s energy absorption ability tends to be consistent; its slight dilatancy effect can enhance its energy absorption capacity in plane; compared with the energy absorption ability of a regular hexagonal honeycomb structure, that of a sinusoidal curved honeycomb structure is better.

negative poisson’s ratio； sinusoidal curve； honeycomb structure; in-plane impact

廣東省自然科學基金(2014A030313251)；廣西自然科學基金(2014JJBA60066；2016JJA110045)；廣西高校中青年教師基礎能力提升項目(KY2016YB437)

2015-12-28 修改稿收到日期：2016-04-21

鄧小林 男，博士,1984年生

劉旺玉 女，博士，教授，博士生導師，1966年生 E-mail:mewyliu@scut.edu.cn

O343

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10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.016