時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器動力學分析

程 春， 李舜酩， 王 勇， 江星星

(南京航空航天大學 能源與動力學院，南京 210016)

時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器動力學分析

程 春， 李舜酩， 王 勇， 江星星

(南京航空航天大學 能源與動力學院，南京 210016)

為了克服增加線性阻尼能夠抑制共振但會導致隔振系統高頻性能變差的矛盾，提出時滯立方位移反饋控制策略。建立反饋控制的高靜低動剛度隔振器動力學方程，采用多尺度法得到控制系統的穩態響應。分析反饋增益與滯后時間對控制系統動態特性的影響，并分析不同滯后時間下穩態響應的穩定性。定義控制系統的位移傳遞率，分析反饋參數對系統位移傳遞率的影響并和被動隔振系統的性能進行比較。結果表明：合適的反饋參數能夠有效減小隔振系統共振區的位移傳遞率，卻不影響高頻區域的隔振性能；該控制策略對改善高靜低動剛度隔振器的隔振性能具有理論指導意義。

隔振器；高靜低動剛度；時滯反饋；多尺度法

高靜低動剛度(High-Static-Low-Dynamic Stiffness,HSLDS)隔振器由于具有較高的靜剛度和較低的動剛度，適合于低頻隔振且一直以來成為國內外學者研究的熱點。高靜低動剛度隔振器一般由正剛度彈性元件和負剛度調節機構并聯組成。正剛度彈性元件主要用于承受載荷，負剛度調節機構則用于抵消正剛度彈性元件的剛度，可以使隔振器在靜平衡位置的剛度任意低，從而實現高靜低動剛度特性。彭獻等[1]利用連桿作為負剛度調節機構，研究了準零剛度隔振器的設計方法。Platus等[2-3]利用軸向載荷作用下的壓桿作為負剛度調節機構設計了超低頻隔振器。Ibrahim[4]針對高靜低動剛度隔振器總結出一系列實現方法。Carrella等[5]分析了由一個豎直彈簧和兩個斜置彈簧組成的高靜低動剛度隔振器的隔振性能。Le等[6]使用兩個對稱的負剛度調節結構實現了高靜低動剛度隔振器，并將其用于汽車座椅隔振。劉興天等[7]利用歐拉屈曲梁作為負剛度調節機構，實現了高靜低動剛度隔振器并分析了動態特性和隔振性能。彭超等[8]利用三個特定形狀的片彈簧組成高靜低動剛度隔振器，實現了低頻隔振。孟令帥等[9]利用碟形彈簧作為負剛度調節機構，實現了準零剛度隔振器并分析了其隔振性能。Zhou等[10-11]分析了以凸輪滾輪彈簧裝置作為負剛度調節機構的高靜低動剛度隔振器的動態特性和隔振性能。最近，Zheng等[12]利用一對同軸的環形磁鐵作為負剛度調節機構，實現了高靜低動剛度隔振器。以上文獻表明,當激勵幅值較小時，高靜低動剛度隔振器的性能優于相應的線性隔振器。

但是由于立方剛度項的存在，激勵幅值的增加會導致隔振系統共振頻率和共振峰值增加。眾所周知，增加線性阻尼雖然能夠有效地抑制共振，但是會導致有效隔振頻帶處的傳遞率增加。因此許多文獻提出了一系列控制策略。Hu等[13]分析了時滯線性反饋控制的達芬系統的主共振與1/3亞諧共振響應。結果表明位移反饋與速度反饋的結合能夠有效地抑制共振。Sun等[14]將時滯位移反饋應用到高靜低動剛度隔振器中，結果表明該反饋控制能夠提高系統的魯棒性和隔振性能。Gao等[15-16]將時滯立方速度反饋引入到分段非光滑系統中。結果表明該反饋控制能夠有效抑制共振卻不影響高頻隔振性能，但是時滯效應會削弱該反饋控制的效率，且時滯效應在實際控制中無法避免。

本文的目的是結合立方位移反饋與時滯效應來提高高靜低動剛度隔振器的性能。本文首先建立時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器模型，應用多尺度法求解系統在基礎激勵下的響應；然后分析反饋參數對系統動態特性的影響規律；最后分析反饋控制的高靜低動剛度隔振器的位移傳遞率，并與被動隔振器進行比較。

1 時滯立方位移反饋控制建模

時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器示意圖如圖1所示。豎直彈簧的剛度為Kv，主要用于支撐載荷M；凸輪滾輪彈簧裝置由半圓形凸輪、滾輪及水平彈簧組成，滾輪與凸輪的半徑分別為r1和r2，水平彈簧的剛度為Kh；X為載荷從靜平衡位置開始的位移；隔振系統的阻尼為線性黏性阻尼，阻尼系數為C。

控制單元由位移傳感器、控制器和執行器組成，其中執行器主要由伺服電機來實現。傳感器采集到的位移信號通過控制器轉變為電壓信號。而伺服電機則可以將電壓信號轉化為轉矩和轉速，通過閥桿驅動閥門，從而得到作用于隔振器上的控制力。通過控制輸出的電壓信號大小，即可得到相應的立方位移控制力，從而實現反饋控制。

圖1 時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器示意圖

Fig.1 Schematic diagram of the HSLDS vibration isolator with time-delay cubic displacement feedback

當高靜低動剛度隔振器工作時，滾輪沿著凸輪表面上下滾動，水平彈簧則沿著水平方向運動，并為隔振器在豎直方向提供負剛度。當滾輪脫離凸輪時，水平彈簧則無法為豎直方向提供負剛度，故該隔振器的剛度表現出分段特性。

高靜低動剛度隔振系統的恢復力與位移之間的關系為

(1)

式中：L為水平彈簧的預壓縮量；Xc為對應于分段點處的臨界位移。

將式(1)寫成無量綱形式

(2)

式中：f=F/(Kv(r1+r2))；l=L/(r1+r2)；β=Kh/Kv；x=X/(r1+r2)；xc=Xc/(r1+r2)。

(3)

將x=0代入式(3)中可以得到靜平衡位置的無量綱剛度

ks=1-2βl

(4)

若統在靜平衡位置的剛度為0，則可以實現準零剛度特性。令ks=0可以得到準零剛度條件

(5)

系統在xc=0.6，β=1時無量綱恢復力—位移、剛度—位移曲線隨l的變化規律如圖2所示。可以看出：隨著l的增加，靜平衡位置的剛度逐漸變小；當l=lqzs(lqzs=0.5)時，靜平衡位置的剛度為0，系統實現準零剛度特性。若l繼續增加，靜平衡位置附近的剛度將小于零，系統變得不穩定。為了避免系統不穩定，l不應大于lqzs。本文中選擇l

(a) 無量綱恢復力-位移曲線

(b) 無量綱剛度-位移曲線

(6)

式中：α=1-2βl；γ=β(1-l)。

圖3 無量綱恢復力精確表達式與近似表達式對比曲線(β=1，xc=0.6，l=0.4)

Fig.3 Comparison of the exact and approximate non-dimensional restoring force curves (β=1,xc=0.6,l=0.4)

2 動力學分析

2.1 多尺度分析

系統受到垂向基礎激勵Z=Zecosωt，其中Ze和ω分別為激勵幅值和頻率。令Y=X-Z，于是含時滯立方位移反饋控制的運動方程為

(7)

式中：f(Y)見式(1)；U為反饋增益；δ為滯后時間；符號‘.’為關于時間t的導數。用式(6)代替上式中的精確恢復力表達式，并將式(7)寫成無量綱形式

(8)

為了便于使用多尺度法得到控制系統的幅頻響應，這里假設

ζ=εζ；u=εu1；1-α=εα1；

γ=εγ1；ze=εz1；Ω2=1+εσ

(9)

式中：ε為小參數；σ為調諧參數。將式(9)代入式(8)中，可以得到

(10)

其中,

(11)

設式(10)一次近似解的形式為

y(T,ε)=y0(T0,T1)+εy1(T0,T1)

(12)

式中：T0=T為快變時間尺度；T1=εT為慢變時間尺度。引入微分算子D0=?/?T0和D1=?/?T1，可以得到

(13)

將式(12)和式(13)代入式(10)中，并令ε的同次冪系數為0可得

y0(T0,T1)+Ω2y0(T0,T1)=0

(14)

Ω2z1cos(ΩT0)+g(y0(T0,T1))

(15)

式(14)解的形式為

y0(T0,T1)=A(T1)cos(ΩT0+θ(T1))

(16)

式中,A=A(T1)與θ=θ(T1)分別為響應幅值和相位，且為T1的函數。

將式(16)代入式(15)中，為避免久期項，令sinφ與cosφ前面的系數為0，可以得到

式中：φ=ΩT1+θ(T)；G1、G2分別為函數g(y0(T0,T1))一階諧波項的傅里葉系數，表達式為

(19)

(20)

由于g(y0(T0,T1))是分段函數，故式(19)和式(20)需要在區間：[-φ0,φ0]，[φ0,π-φ0]，[π-φ0,π+φ0]，[π+φ0,2π-φ0]內分段積分，其中：φ0=arccos(yc/A)對應于一個周期內分段點處的相位。積分可以得到

G1=0

(21)

(22)

其中,

由D1A=D1θ=0可以得到穩態響應，于是由式(17)和式(18)可以得到系統的幅頻特性關系

(23)

本文中選定高靜低動剛度隔振器的系統參數β=1，l=0.4，yc=0.6，ζ=0.02。反饋增益u取不同值時由多尺度法和數值解法得到的幅頻特性曲線如圖4所示，其中u=0表示隔振系統未加反饋控制。可以看出：隨著u的增加，幅頻曲線的峰值逐漸減小，共振頻率向低頻移動；u=0.1時幅頻曲線的峰值小于yc，隔振系統表現為連續性；多尺度法與數值解法得到的結果吻合較好，表明了多尺度法求解的有效性。

滯后時間τ取不同值時隔振系統的幅頻特性曲線如圖5所示。可以看出：τ=0時，即反饋控制沒有時間滯后，隔振系統的性能無明顯改善；τ=π/4和τ=3π/4時，幅頻曲線的共振區得到明顯的改善，共振頻率減小；而τ=5π/4和τ=7π/4時，幅頻曲線的共振區響應變差，共振頻率增加。

(a) u=0

(b) u=0.05

(c) u=0.1

圖5 不同滯后時間下的幅頻特性曲線(u=0.1，ze=0.05)

Fig.5 Amplitude-frequency curves with various time delays (u=0.1,ze=0.05)

2.2 穩定性分析

為了分析穩態響應的穩定性，將式(17)和式(18)分別對幅值A和相位θ線性化，可以得到

D1ΔA=S1ΔA+S2Δθ

(24)

D1Δθ=S3ΔA+S4Δθ

(25)

其中,

根據Routh-Hurwitz判據，當且只有以下兩個條件同時滿足時，穩態響應才是穩定的

Σ1=S1+S4<0

(26)

Σ2=S1S4-S2S3>0

(27)

滯后時間τ取不同值時隔振系統穩態響應的穩定性如圖6所示。R1、R2和R3均為不穩定區域，其中：R1與R2由Σ2<0確定，R3由Σ1>0確定。可以看出：當τ=π/4時，僅有R1與R2存在，表明當響應出現三個穩態解時，其中一個是不穩定的；當τ=3π/4時，不穩定區域R1、R2和R3均存在，且R2與R3有部分區域相互重合，特別是當響應處于R3所在頻率范圍內時，三個穩態解中僅有最小的解是穩定的。實際上，Σ1=0為兩根實部為0的臨界狀態，實部由負值變為正值意味著霍普分岔的存在；Σ2=0則意味著鞍結分叉的出現，響應會出現幅值跳躍的現象。

(a) τ=π/4

(b) τ=3π/4

Fig.6 Stability of steady-state response with different time delays (u=0.1,ze=0.05)

2.3 反饋增益與滯后時間對幅值和穩定性的影響

反饋增益u的變化對Ω=0.9處的幅值和穩定性的影響如圖7所示，其中R3表示由Σ1>0確定的不穩定區域，R2為由Σ2<0確定的不穩定區域。可以得出：τ=π/4時，當u<0.059，響應存在三個解，且大部分解是不穩定的。當u>0.059，則響應只有一個穩定解；τ=π/2時，當-0.0230.043，響應只有一個穩定解。

滯后時間τ的變化對Ω=0.9處的幅值和穩定性的影響如圖8所示。對于u=0.1，解中出現兩個閉合環。當2.87<τ<6.58時，響應存在三個解，且大部分解是不穩定的。當6.58<τ<6.92時，響應具有五個解，且最多只有三個解是穩定的。當0.34<τ<2.87以及τ>6.92時，響應只存在一個穩定解；對于u=0.2，此時解中只有一個閉合環。當3.14<τ<6.96時，響應存在三個解，且大部分解是不穩定的。當τ取其他值時，響應只有一個穩定解。

(a) τ=π/4

(b) τ=π/2

Fig.7 Amplitude and stability for various feedback gains (Ω= 0.9,ze=0.05)

(a) u=0.1

(b) u=0.2

Fig.8 Amplitude and stability for various time delays (Ω=0.9,ze=0.05)

以上分析表明反饋增益和滯后時間對系統響應和穩定性有著重要的影響。根據給定的反饋增益u即可確定保證系統穩定的滯后時間τ的范圍。

3 反饋參數對傳遞率的影響

由基礎傳遞到載荷上的位移為

(28)

于是載荷振動的絕對位移幅值為

(29)

故絕對位移傳遞率可以寫成分貝的形式

(30)

(31)

式中,Tr=A/ze為相對位移傳遞率。

反饋增益u取不同值時隔振系統的絕對位移傳遞率如圖9所示。可以看出：隨著u的增加，位移傳遞率的峰值逐漸較小，共振頻率向低頻移動；反饋增益的增加不會導致高頻區域傳遞率的增加。因此，選擇合適的反饋增益能夠改善高靜低動剛度隔振器共振區的傳遞特性，卻不影響其高頻區域的隔振性能。

圖9 不同反饋增益時隔振系統的絕對位移傳遞率(τ=π/4，ze=0.05)

Fig.9 Absolute displacement transmissibility of vibration isolation system with various feedback gains (τ=π/4,ze=0.05)

滯后時間τ取不同值時隔振系統的絕對位移傳遞率如圖10所示。可以看出：當反饋控制無時間滯后，即τ=0時，隔振系統共振區傳遞特性無明顯改善；滯后時間τ在0～π/2增加時，共振區內的傳遞率變小；滯后時間的改變不會影響隔振系統高頻區域的傳遞率。因此，選擇合適的滯后時間能夠提高立方位移反饋控制的效果，改善高靜低動剛度隔振器的隔振性能。

4 結 論

(1) 提出時滯立方位移反饋控制，選擇合適的反饋增益和滯后時間能夠有效降低高靜低動剛度隔振器共振區相對位移的幅值；

圖10 不同滯后時間時隔振系統的絕對位移傳遞率(u=0.1，ze=0.05)

Fig.10 Absolute displacement transmissibility of vibration isolation system with various time delays (u=0.1,ze=0.05)

(2) 選擇合適的滯后時間能夠避免霍普分岔的發生，使控制系統更加穩定；

(3) 選擇合適的反饋增益和滯后時間能夠有效降低高靜低動剛度隔振器共振區的絕對位移傳遞率，減小系統的共振頻率，卻不影響高頻區域的隔振性能。

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Dynamic analysis of a high-static-low-dynamic stiffness vibration isolator with time-delay cubic displacement feedback control

CHENG Chun, LI Shunming, WANG Yong, JIANG Xingxing

(College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In order to overcome a contradiction that increasing linear damping can suppress a dynamic system’s resonance but cause its high frequency vibration isolation performance to be weakened, the time delay cubic displacement feedback control strategy was proposed here. Firstly, the dynamic equation of a high-static-low-dynamic stiffness (HSLDS) vibration isolator with the proposed feedback control was built. The steady-state response of the controlled system was obtained using the multi-scale method. Then, the effects of feedback gain and time delay on the dynamic characteristics of the controlled system were analyzed. The stability of steady-state responses was also analyzed under different time delays. Finally, the displacement transmissibility of the controlled HSLDS vibration isolator was defined, the effects of feedback parameters on the displacement transmissibility of the controlled system were analyzed, and the performances of the controlled system were compared with those of a passive vibration isolation system. The results showed that appropriately chosen feedback parameters can effectively reduce the displacement transmissibility of the controlled system within its resonant region, while the vibration isolation performance of the system in high frequency range is not affected, so such a control strategy provides a theoretical guide for improving the vibration isolation performance of a HSLDS vibration isolator.

vibration isolator; high-static-low-dynamic stiffness; time-delay feedback; multi-scale method

機械結構強度與振動國家重點實驗室開放課題(SV2015-KF-01)；中央高校基礎研究基金(XZA15003)；江蘇省研究生培養創新工程(KYLX15_0256)

2016-03-14 修改稿收到日期：2016-05-17

程春 男，博士生，1991年生

李舜酩 男，博士，教授，1962年生

TH113.1；TB535；O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.017