考慮數值噪聲的熱-電耦合系統分析

張 卓， 于 飛， 王秋瀅， 杜石鵬

(1. 哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001； 2. 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱 150001)

考慮數值噪聲的熱-電耦合系統分析

張 卓1， 于 飛1， 王秋瀅2， 杜石鵬1

(1. 哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001； 2. 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱 150001)

由于仿真計算中數值噪聲的影響，優化的設計函數常常是不光滑或不連續的，為多學科之間的解耦和優化計算帶來較大困難。為此，借鑒全局優化的相關理論，提出了考慮數值噪聲的熱-電耦合系統分析方法。在解耦方法上，根據“同時分析和設計”(SAND)思想，將解耦問題轉化為一個優化問題，在學科層引入Kriging替代模型以便過濾數值噪聲，并采用極大似然估計法確定新增樣本點的位置，較大程度上減少了解耦分析所需的重分析次數，通過一個典型的熱-電耦合算例驗證了模型和方法的有效性。

多學科耦合系統分析；數值噪聲；同時分析和設計；Kriging模型

隨著電子技術的高速發展，電子設備中的耦合問題日益顯得突出，所謂耦合問題是指兩個或是多個學科之間存在相互作用的狀態變量，它們相互作用、相互影響。多學科耦合系統分析(Multi Disciplinary Analysis，MDA)必須保證耦合變量的兼容性，即耦合變量需滿足一組由各學科控制方程組成的聯立非線性方程組。然而耦合的存在使得一次完整的系統分析需要在各子系統(子學科)之間反復計算多次，才能得到一組多學科間相互兼容的狀態變量。如何快速求得耦合系統的兼容解，減少計算量、提高計算效率，無疑是一個十分關鍵的問題，也是多學科優化領域的前沿課題之一。

同時對于電子機箱設備來說，各學科仿真結果往往含有較大的數值噪聲[1-2]，數值噪聲的存在往往導致目前常用的系統分析方法(如定點迭代法)難以收斂，甚至完全不收斂。同時，數值噪聲也導致系統優化問題的設計函數非光滑或不連續，給優化計算帶來較大困難。

為了提高計算效率，減少各子學科間重分析的次數，并過濾數值噪聲，減小其對解耦帶來的負面影響，常采用各種近似模型來替代費時的仿真分析[3-8]。本文在此基礎上，根據SAND (Simul-taneous Analysis and Design)思想[9-10]，將求解耦合解的過程，轉換為尋找滿足耦合兼容條件下耦合變量最優值的優化過程，進而建立多學科優化模型。求解該優化問題需要解決以下兩個難點：①在實際工程中，單個學科的仿真時間一般較長(數十分鐘甚至數小時)，為了建立近似模型，需要先得到一定數量的樣本點，然而能負擔得起的往往只能是較為稀疏的樣本點，稀疏樣本顯然不足以得到足夠的近似精度；②對于非線性程度較高的系統，并同時具有數值噪聲的情況下，在耦合系統分析中優化問題的目標函數有時是多峰的，存在多個局部極小點，然而只有全局最優點才對應一組耦合變量的兼容解。常用的基于梯度的優化算法往往陷于局部極值點而得不到兼容解。如何利用學科級的稀疏樣本信息來預測系統級響應，這一問題尚未得到充分研究。

為此，針對以上難點，本文對一典型的熱-電耦合系統，借鑒了全局優化領域的相關理論和算法，研究了考慮數值噪聲的耦合系統分析問題，提出一種基于子系統Kriging模型的耦合系統分析方法，該方法可以有效地消除數值噪聲對優化計算所帶來的不利影響，較大程度上提高了解耦效率。

1 熱-電耦合問題描述

熱-電耦合問題是電子設備中常見的典型耦合問題之一。電子設備中溫度場的分布會影響一些熱敏器件的物性參數進而影響整個設備的性能指標[11]，反過來，電路電性能改變引起的敏感器件發熱功率變化也會影響電子設備內溫度場的分布。

如圖1所示為某機箱在熱仿真分析軟件IcePak中的模型圖，該機箱采用強迫風冷方式散熱，沿X軸、Y軸、Z軸的長度分別為100 mm、250 mm和356 mm，環境溫度為20 ℃，機箱分為上下兩層，中間由一塊厚度為6 mm的背板將機箱分為兩個區域：設備一面和翅片一面。在設備一面放置兩個高功率元器件，器件密閉在一個腔體內，腔體壁與外界的傳熱系數為15 W/(m2·K)。在翅片一面有10個散熱翅片，右側為3個風扇，每個風扇的質量流量為0.01 kg/s，左側與外界連通。

該機箱設備的系統分析包含熱分析和電路分析兩個耦合的子系統。其中熱分析采用IcePak商業熱仿真軟件，輸入參數為散熱片的尺寸變量(長、寬、高)和元器件的功耗(P1、P2)，其中元器件功耗由電路分析提供；電路分析的輸入參數為相應的電路參數(元器件阻抗、溫度熱敏系數等)及元器件的溫度(T1、T2)，其中元器件溫度則由熱分析提供。由以上敘述可知該系統的耦合變量為元器件的溫度T=[T1T2]和功耗P=[P1P2]。

圖1 熱-電耦合模型

該問題中兩個元件均為NTC熱敏電阻，電阻的溫度特性如式(1)表示

(1)

式中：T0=298.15 K(25 °C)；R0為該溫度下的電阻；RT是溫度為T(單位為K)時的電阻；B為熱敏電阻的溫度敏感系數。將兩個元器件并聯到30 V的固定電壓下。

(2)

圖2 熱-電耦合分析模型

式中：CAT為熱分析；CAP為電路分析。值得注意的是在此熱電耦合模型中，系統分析的輸出變量和系統內部的耦合變量是相同的，即元件的溫度T和功耗P。因此可以認為該系統的一次系統分析就是在確定輸入X=[X1X2]T的情況下求解式(2)得到Y=[TP]的過程。

2 數值噪聲問題描述

在使用仿真軟件對單學科進行分析時，數值計算結果往往存在明顯的“數值噪聲”。尤其在對上一節提到的熱-電耦合機箱設備進行仿真分析時，通過固定其它變量，觀察單一輸入和單一輸出之間的函數關系，我們可以清楚的看到數值噪聲的情況。

(1) 考察散熱片齒高與機箱內溫度的關系，固定以下參數(如表1所示)。

如圖3所示，X軸為散熱片齒高，從10～70 mm，Y軸為齒高對應的機箱內部5個關鍵點(關鍵點的位置分布如圖4所示，位于相鄰散熱片之間靠近機箱中部的位置)的溫度值。

表1 固定參數1

圖3 機箱中散熱片高度與機箱內溫度的關系曲線

圖4 機箱溫度云圖及關鍵溫度點示意

(2) 考察以功率P作為輸入變量，通過熱分析計算對應的溫度T，固定以下參數(如表2所示)。為計算方便和觀察直觀，在計算過程中兩器件取相同功率。

如圖5所示，X軸為器件功率，從10～100 W，Y軸為功率對應的機箱內部5個關鍵點的溫度值。

表2 固定參數2

圖5 機箱中功率和溫度的關系曲線

從曲線(圖3、圖5)可知，學科分析輸入與輸出的狀態函數整體趨勢是一致的，但是也存在著明顯的不光滑性和小幅度的“波動”，在對機箱優化設計時，這種不光滑性的存在會給耦合系統解耦和優化帶來影響和困難。

(1) 數值噪聲對解耦的影響：

在耦合系統中，則需要尋找一組兼容解，同時滿足前后兩個學科的狀態方程。一次系統分析的過程可以看作求解非線性方程組式(2)的過程，隨機數值噪聲的引入必然會增加方程組的非線性程度，使求解過程更加困難。特別是在使用定點迭代法求解耦合問題時，根據壓縮算子的不動點理論，算子的不動點就為非線性方程組的一個解。迭代法就是求不動點常用的逐次逼近法，它的思想是：按照一定格式構造一個收斂的迭代序列，而迭代序列的極限就是不動點，也就是此非線性方程組的解。數值噪聲的小幅“波動”效果會給迭代序列引入不確定因素，影響迭代法的收斂速度，甚至改變其收斂性，使迭代過程發散，進而求解失敗。

(2) 數值噪聲對優化的影響

在優化過程中，數值噪聲帶來狀態函數的不光滑性主要影響梯度計算的準確性。在使用梯度算法(如序列二次規劃算法)時，梯度信息使用有限差分法來計算。而對于存在數值噪聲的狀態函數，噪聲引起的響應值誤差會影響到有限差分步長引起的響應值改變量，一般的有限差分梯度不可用于優化計算。否則由此獲得的梯度信息是不準確的，導致優化過程不收斂或者得到不理想的優化結果。而不使用梯度信息的遺傳算法、模擬退火算法等全局優化算法，則由于迭代步數太多，不適合多學科優化這種大型復雜問題。

由于數值噪聲的廣泛存在和對仿真設計的不利影響，越來越多的設計人員開始研究在噪聲情況下的優化設計問題，有提出使用連續靈敏度方程的方法計算梯度信息[12]，也有用響應面法對數值噪聲進行過濾[13]的一些方法和思路，本文從第二種方法出發，在同時考慮數值噪聲和學科耦合問題的情況下，提出一種解耦和優化同時進行的優化策略。

3 熱-電耦合系統分析方法

耦合系統分析必須保證耦合變量的兼容性，即耦合變量需滿足一組由各學科控制方程組成的聯立非線性方程組。最常用的方法為定點迭代法來求解該聯立方程組。根據定點迭代法的基本思想為，針對上面提出的熱-電耦合模型，如圖6所示，在固定系統輸入變量X=[X1X2]T的情況下，首先假設一組初始的功率P，在初始功率下進行熱仿真計算得到溫度T*，根據得到的溫度進行電路分析計算得到一組新的功率P*，并把新的功率再作為熱仿真的輸入進行計算，依次迭代計算直到仿真計算得到的功率P和溫度T不在發生變化時，我們則認為當前的P和T即為此熱-電耦合問題的兼容解。

圖6 定點迭代法求解熱-電耦合問題

使用定點迭代法求解耦合系統是一種實現容易且具有較好收斂性的方法，但這種方法存在如下缺點：

(1) 從數值分析的角度出發，定點迭代法可以認為是依靠不動點理論求解非線性方程組中迭代解法的一種，而根據不動點理論，使用迭代算法求解方程時必須滿足一些前提條件(如迭代公式的算子必須是壓縮算子，耦合變量必須是完備的距離空間等)。在使用商用仿真軟件進行迭代計算時我們幾乎不可能知道迭代過程是否滿足這些性質，因此定點迭代法并不適用于一切的耦合問題。

表3 模型參數1

圖7 模型參數如表3的迭代過程

(2) 定點迭代法的另外一個不足是計算效果和初始點的選取有很大關系，如果初始點選取不得當，則收斂速度很慢，甚至出現發散、不收斂的情況[2]。例如，選取輸入參數和初始迭代功率如表4所示，會得到如圖8的迭代過程，出現了不收斂的現象。然而定點迭代法初始點的選取目前還沒有非常完善的準則，另外不同耦合問題其初始點的選擇更是無法確定的，這也限制了定點迭代法的使用。

考慮到定點迭代法的上述不足之處，我們根據“同時分析和設計”SAND思想[14-16]，將耦合系統分析問題轉化為一個優化問題。具體方法為將求解耦合狀態方程組式(2)的過程，轉換為如式(3)所示的優化問題。該優化模型是在給定的一組設計參數X=[X1,X2]情況下，尋找一組耦合變量的兼容解Y=[TdPd]，使得耦合變量與此耦合變量對應的科仿真分析后的耦合變量值盡可能一致(目標函數)，這樣就可以認為是整個耦合系統已經找到了兼容解，約束條件是耦合變量必須滿足耦合系統的狀態方程。

表4 模型參數 2

圖8 模型參數如表4的迭代過程

(3)

該問題的最優目標值應等于0，即T=Td且P=Pd。也就是說只有在J=0時，變量Y=[TdPd]才是系統的兼容解。在實際情況中目標函數J往往比較復雜，可能具有多個局部極小值點，如果直接對式(3)進行優化往往會得到局部極小值點，并沒有找到真正的兼容解。再加上數值噪聲對目標函數的影響，更加增加了問題的復雜程度，不但會增加仿真分析的次數，而且使優化過程也很難收斂。為了減少仿真分析次數和較好地過濾數值噪聲，我們分別建立各子系統的近似模型[17-19]，將上式目標函數中的T、P用近似模型代替(本文采用Kriging模型)，進而把式(3)轉化為式(4)。

(4)

本文采用Kriging近似模型來建立目標函數T、P的近似模型，Kriging近似模型是一種基于統計理論的近似技術[20-22]，它是由一個參數模型和一個非參數隨機過程聯合構成的，是一種半參數化的插值技術，其目的就是通過部分己知的信息去模擬某一點的未知信息。傳統的擬合或者插值技術大都為參數化的模型(如響應面法)，首先必須選擇一個參數化的非線性的數學模型(如二次多項式)，進而在模型確立之后必須確定其待定系數。而半參數化的Kriging近似模型并不需要建立一個特定的數學模型，相對于參數化模型而言，Kriging模型的應用就更加的靈活和方便，它比單個的參數化模型更具有靈活性，同時又克服了非參數化模型處理高維數據時存在的局限性，比單個的參數化模型具有更強的預測能力。Kriging模型由回歸部分和非參數部分兩部分組成

y(x)=μ+Z(x)

(5)

式中：x為設計變量；y(x)為待擬合的響應函數；μ為常值；Z(x)是均值為0、方差為s2的高斯分布，表示對全局模擬的估計誤差，其協方差可以表示為

(6)

式中：x(i),x(j)為訓練樣本中的任意兩個取樣點；Rij(θ,x(i),x(j))為帶有參數θ的相關函數，表示訓練樣本點之間的空間相關性。所以，Kriging近似模型將任意響應值都視為服從高斯分布的一個隨機變量，使模型不限定于某種特殊的形式，而具有更強的靈活性。至于Kriging近似模型的具體建立方法可參考文獻[23]。

目前，Kriging近似模型主要有兩種，一種是插值Kriging模型，另一種是回歸Kriging模型。對于插值Kriging模型，其相關矩陣是由元素Rij(θ,x(i),x(j))組成的矩陣R。回歸Kriging模型與插值Kriging模型的不同點是他的相關矩陣是在R的對角元素上加上一個回歸常數項λ，即R+λI,其中I為單位對角矩陣。即當λ為0或接近于0時，Kriging模型為插值Kriging模型，但λ>0時，可認為此時的Kriging模型為回歸Kriging模型。為了更直觀的理解兩種Kriging模型，我們針對圖3所示的算例，分別用兩種Kriging模型進行了近似，所得曲線如圖9所示。圖9中，圓圈代表取樣點，實線曲線代表利用回歸Kriging模型對未知函數的近似，實線圓點曲線代表利用插值Kriging模型對未知函數的近似。可看出，數值仿真程序模擬的關鍵點5的溫度關于散熱齒高度的函數是不光滑的，存在極大的數值噪聲。當使用插值Kriging模型對未知函數進行近似時，由于插值必須經過每個取樣點，因此，該近似函數存在很大的非線性。而使用回歸Kriging模型對未知函數進行近似時，所得到的近似函數是光滑的，很好的預測了未知函數的真正趨勢，所以，在解決數值噪聲問題的能力方面，回歸Kriging模型相對于插值Kriging模型具有一定的優勢，本文選擇回歸Kriging模型對具有數值噪聲的仿真分析進行近似。

其次由于Kriging模型具有局部和全局的統計特性，使得它具有可以分析已知信息的趨勢和動態的特性，這一特性為后面進一步完善樣本填充準則奠定了理論基礎。有關回歸Kriging近似模型的具體建立方法可參考[24-25]。

圖9 插值和回歸Kriging模型比較

由于使用的近似模型代替原有仿真計算過程，式(4)的優化問題的計算量很小，其最優值可以作為式(3)的近似解。顯然，近似解的近似程度與近似模型的精度密切相關。為獲得滿意的近似解，需要較高的模型精度，這就要求在建立近似模型時需要相對密集的樣本點，然而增加樣本點的密度又會增加仿真分析的計算量。一個解決方法是把式(4)產生的新點加入到樣本集合中，更新近似模型，然后重新求解式(4)，直到滿足一定的收斂精度，如式(7)

(7)

該方法的計算過程如圖10所示。首先在樣本空間中生成較為稀疏的樣本點，計算樣本點的響應值，再根據樣本點和其響應值分別建立熱分析和電路分析的近似模型，利用近似模型求解是式(4)(本文中使用遺傳算法對近似模型求解)，然后調用仿真軟件并檢查是否收斂，如果滿足條件則認為找到耦合問題的兼容解，如果不滿足條件則將得到的當前最優點加入樣本集合并更新近似模型，繼續迭代計算直到滿足收斂條件為止。本文稱這一方法為“簡單替代法”，該方法在許多情況下是有效的，但它通常只能找到式(3)的局部最優解，為了得到該問題的全局最優解，還需要研究新的采樣和搜索策略[26-28]。

圖10 基于近似模型的耦合系統兼容解求解思路

因此，在追求LE的同時，還需要適當提高模型的整體精度。新樣本的產生應能照顧到樣點較為稀疏的區域，這一過程在全局優化文獻中常稱為“全局探索”(Global Exploration，GE)。

根據Kriging模型理論，使用近似模型進行近似計算時，不僅可以提供預測值還可以提供預測方差。預測值反映了響應的均值，而方差則可以反映預測誤差的大小，從圖11可知，在AB段樣本較多，近似模型在這一部分較為準確，則預測值接近真實值的可能性較大，也就是預測準確的概率較大，預測的誤差較小，因而預測方差也較小。在BC段樣本點較少，近似模型在這一部分預測較為“粗糙”，則預測值接近真實值的可能性較小，也就是預測準確的概率越小，預測的誤差較大，因而預測方差也較大。我們可以利用預測方差作為衡量采樣區域稀疏程度的一個指標，用于協調LE和GE這一矛盾。

圖11 局部開發與全局探索示意圖

(8)

(9)

由式(8)和式(9)可知，通過近似模型不僅可以得到對應輸入的預測值，還可以得到預測方差值。根據高斯過程模型理論，進一步構造其的似然函數

L(Td,Pd)=L1(Td,Pd)·L2(Td,Pd)=

(10)

式(10)的對數似然函數為

ln(L)=ln(L1)+ln(L2)=

(11)

最大化式(11)就可以同時兼顧LE和GE，在平衡二者的情況下找到一組新的耦合變量樣本點Y=[TdPd]。如果此樣本點不能滿足兼容解收斂條件J≤ξ，就把該樣本點添加到樣本集合中，并對近似模型予以更新，然后重新最大化式(11)，直至J滿足收斂條件。

(12)

利用此方法對熱-電耦合問題進行了計算,并與定點迭代法進行了對比(圖7中所示迭代過程)。首先需要建立熱分析和電路分析兩個學科的近似模型，各學科建模時采樣的上下限如表5、表6所示，使用拉丁方采樣法各生成6個采樣點，仿真計算樣本響應值，建立Kriging近似模型，按照圖10中的計算流程求解此熱-電耦合問題，收斂準則為J≤1×10-4，選擇ε=1×10-8。計算結果列入表7，迭代過程如圖12所示。

表5 熱分析參數采樣上下限

表6 電路分析參數采樣上下限

表7 結果比較

圖12 本文方法收斂過程(不計采樣過程)

由本文方法的計算結構可知，熱分析學科有3個設計變量，2個耦合參數，電路分析學科有4個設計變量，2個耦合參數，兩個學科在建立初始近似模型的時候只有6個初始樣本，樣本較稀疏，初始模型的精度并不高，然而依據SAND思想，并使用上文中的樣本填充準則，在進行了4次子系統分析后，即得到耦合系統的兼容解，在計算量方面優于定點迭代法。若加上初始樣本的計算量，子系統分析的總次數為10次，也少于定點迭代法。

可見，首先引入了GE機制，采用SAND思想，將求解耦合解的過程，轉換為尋找滿足耦合兼容條件耦合變量最優值的優化過程，用優化搜索的方法代替原有的定點迭代思路；其次在優化求解過程中，引入Kriging模型替代原有學科的仿真模型，利用Kriging的擬合效果過濾原有仿真計算中的大量數值噪聲，使輸入輸出曲線更加光滑，避免了數值噪聲對優化過程的干擾，由于求解近似模型的時間相比仿真計算可以忽略不計，也極大的提高了求解效率。最后提出一種樣本填充準則，協調LE與GE之間的矛盾，同時兼顧提高提高近似模型精度和求解兼容解兩方面的需求，由于建模的樣本點還可以重復使用，若優化過程中要再次進行系統重分析，這些樣本點還可用于建立初始近似模型，因而重分析所需的子系統分析次數遠少于定點迭代法，并且在優化過程中隨著樣本點的增加也不斷提高了近似模型的精度。通過結果對比可以看出，在相同求解精度的情況下，本文方法與定點迭代法相比有更小的計算量，更高的計算效率。該方法非常適用于求解數值噪聲較大的多學科耦合分析問題。

值得注意的是該方法不僅適用于兩學科的耦合系統，對于具有更多學科的耦合系統只要引入對應學科的近似模型和似然函數，該方法依然適用。另外，下面將在該方法的基礎上，進一步研究全局優化問題。

4 結 論

本文針對一個具有數字噪聲的的熱-電耦合問題，采用近似模型減少多學科耦合系統分析的計算量，在學科層建立近似模型，并利用Kriging替代模型中相關函數的擬合特性，過濾仿真計算中帶來的數值噪聲，通過樣本填充準則產生新的樣本點，進而更新模型直至找到耦合變量的兼容解，較好地協調了近似模型精度與系統狀態兼容性之間的矛盾，并能以較少的樣本點求得輔助優化問題的全局最優解，從而快速確定耦合變量的取值。計算結果表明該方法可以較大程度上減少系統分析的計算量，尤其是在具有數值噪聲和需要進行多次重分析的情況下，本文方法有較大的優勢。下一步的工作應將本文方法與典型的多學科優化方法融合起來，以便進一步研究多學科全局優化問題。

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Thermal-electric coupling systems analysis of electronic cabinets with consideration of numerical noises

ZHANG Zhuo1, YU Fei1, WANG Qiuying2, DU Shipeng1

(1. College of Automation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China；2.College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

One of the difficulties in multidisciplinary design optimization for electronic cabinets is that the design functions are often not smooth or even discontinuous due to numerical noises. In order to solve this problem, a global optimization strategy for multidisciplinary systems was developed. Firstly, the system analysis problem was transformed into an optimization problem according to the idea of SAND(simultaneous analysis and design). Kriging models were introduced as surrogate models for the output variables of each subsystem in order to filter the numerical noises. The initial Kriging models were built by using sparse sample points. The location of next samples was determined by an “infill sampling criterion” which was derived by the maximum likelihood estimation. When the simulation tools exhibit large numerical noises, this method can greatly reduce the number of subsystem simulations needed in system analysis compared with other methods, such as the fixed point iteration method. Lastly, a typical thermal-electric coupling problem was taken as an example for demonstration of the effectiveness of the proposed method.

multidisciplinary analysis; numerical noise; simultaneous analysis and design(SAND); kriging model

國家自然科學基金項目(51509049)

2016-04-07 修改稿收到日期：2016-09-01

張卓 男，博士，1987年生

于飛 男，教授，1974年生

TB21；N945.13

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.034