鋼板彈簧瞬態動力學特性建模

張邦基, 鄧 亢, 謝慶喜,2, 張 農,3

(1.湖南大學 汽車車身先進制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.東風商用車技術中心，武漢 430058；3. 合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009)

鋼板彈簧瞬態動力學特性建模

張邦基1, 鄧 亢1, 謝慶喜1,2, 張 農1,3

(1.湖南大學 汽車車身先進制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.東風商用車技術中心，武漢 430058；3. 合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009)

為準確模擬鋼板彈簧的遲滯非線性，以便開展精確的車輛動力學建模，提出一種鋼板彈簧瞬態模型。模型用組合摩擦元對鋼板彈簧遲滯機理進行了模擬，并結合動態試驗運用自適應模擬退火優化方法對模型參數進行了辨識。最后用識別的參數，對其它試驗曲線進行了擬合，結果表明所建模型能夠較好表征鋼板彈簧的動態特性，是一種合適的鋼板彈簧瞬態模型。

鋼板彈簧；瞬態模型；參數識別；遲滯特性

人們對于車輛平順等性能要求的提高使得新型懸架形式不斷涌現[1-3]，然而傳統的鋼板彈簧懸架以其結構簡單、成本低廉、承載力強和可靠性高等優點在當前和未來一段時間仍將占有較大的市場份額，特別是在商用車等載重車輛領域。準確的鋼板彈簧模型是此類車輛動力學建模的基礎，也是建模工作的難點之一。

國內外學者對鋼板彈簧的研究工作大致可分為四個方面：基于材料力學的傳統計算方法[4]、長于總成特性研究的有限元模型[5]、重在系統特性描述的多體動力學模型[6]、以及主要表述垂向特性的彈簧數值模型[7-11]。

傳統計算方法在鋼板彈簧的前期設計應用較多。有限元方法通過對結構的空間離散、材料以及簧片間接觸特性的準確表達，能夠對鋼板彈簧的載荷-變形關系、應力狀態等進行精確分析。文獻[12]建立了多片鋼板彈簧的有限元模型，在考慮簧片間摩擦因素的基礎上對鋼板彈簧的應力狀態和靜剛度進行了分析。文獻[13]對某客車前鋼板彈簧進行了遲滯特性分析，并分析了片間摩擦系數對遲滯特性的影響趨勢，但研究以靜態加載工況為主。文獻[14]用有限元方法考察了動態加載工況下鋼板彈簧的遲滯特性，得出加載幅值對鋼板彈簧的遲滯等效阻尼影響較大的結論。可以看出有限元方法多用于對鋼板彈簧總成特性進行研究，鮮有將其應用于整車動力學分析。這是因為有限元模型自由度多、接觸特性復雜，導致計算時間過程長，不適于長歷程的車輛動力學計算。這就需要開發用于車輛動力學計算的鋼板彈簧模型。

在鋼板彈簧動力學模型方面應用較廣的方法包括離散梁法[15]、中性文件法[16-17]和SAE三連桿法[18]。文獻[19]從復雜程度、計算效率和參數化，以及車輛對平順性、操穩性能的仿真能力等方面對螺旋彈簧、beam梁模型、有限元模型和三連桿模型進行了對比分析，認為三連桿模型擁有最優的綜合性能。文獻[20]針對SAE三連桿模型遲滯特性描述的不足，在三連桿模型中引入干摩擦特性的力元，較好地模擬了鋼板彈簧的遲滯特性。三連桿模型中間一段剛性體用來等效鋼板彈簧U型螺栓夾持部分不變形的“無效長度”。對于多片簧，“無效長度”的假定是合理的，但對于少片簧卻不成立。為此，文獻[21]在傳統三連桿模型基礎上引入梁單元，將三連桿中間段的兩端“柔性化”得到了對少片簧的較好模擬效果。

車輛的設計前期，車輛結構并不完備，為了滿足計算效率和參數化等方面的需求，研究者傾向于應用簡單的車輛模型進行車輛各項性能分析。此時簡單的彈簧數值模型大有用武之地。Fancher等正是在分析了大量的試驗數據的基礎上提出用特征方程描述鋼板彈簧遲滯非線性的半經驗模型——Fancher模型。但該模型的不足在于，它只能表達鋼板彈簧非線性特性的穩態模型，對于車輛瞬態工況無能為力。

鋼板彈簧數值建模的實質是如何精確描述鋼板彈簧的遲滯特性。遲滯現象的研究是眾多學科的共性問題，如磁性材料、鐵電材料的磁化(極化)效應相對于輸入的滯后、金屬橡膠的非線性遲滯特性[22]等。文獻[23]用Standard Triboelastic Solid(STS)模型對炭黑填充型橡膠材料的動力學遲滯特性進行了描述，類似的遲滯特性描述方法還有Rate-dependent Triboelastic(RT)模型[24]、Generalized Maxwell模型[25]、Maxwell-slip模型[26]等。這些模型都是通過不同摩擦單元與彈簧元的串、并聯組合來實現遲滯特性復現。

本文結合鋼板彈簧遲滯特性產生的機理，在Maxwell-slip模型的基礎上構建了鋼板彈簧的瞬態動力學模型，并利用優化方法識別出模型各參數。仿真與試驗數據的對比顯示模型具有較好的逼近精度。

1 鋼板彈簧遲滯特性

對某型鋼板彈簧進行動態試驗，圖1是試驗示意圖。加載分為靜態預載和動態激勵兩步：液壓作動器首先對放置于導向滑車上的鋼板彈簧總成施加預載；以平衡位置為中心進行定頻的正弦位移輸入。整個加載控制和數據采集通過計算機來完成。當作動器下壓，鋼板彈簧逐漸由弓形到平展狀態，鋼板彈簧左右兩端水平距離變長，鋼板彈簧推動滑車分別向左右移動。在這一過程中鋼板彈簧各簧片均發生不同程度伸展，由于簧片緊密貼合，緊鄰簧片發生相互錯動，這種摩擦錯動是形成鋼板彈簧遲滯環的主要原因。為研究頻變和幅變因素對鋼板彈簧特性的影響，動態加載又分為等幅變頻和等頻變幅兩種方式。前者的加載幅值不變，改變加載頻率；后者是保持加載頻率不變，改變加載幅值。頻變加載包含0.5 Hz、1 Hz、2 Hz、3 Hz和5 Hz五個頻率點。所涉鋼板彈簧為重型卡車后簧，預載噸位大，這對試驗裝備的加載能力提出了較高的要求。鑒于裝備實際加載能力，動態加載采用小幅振蕩，幅值上限取20 mm。

圖1 鋼板彈簧動態加載示意圖

圖2對比顯示了鋼板彈簧滿載狀態下2 Hz等頻變幅加載工況遲滯曲線。圖3是鋼板彈簧在滿載狀態下5 mm等幅變頻加載工況。可以看出各遲滯環的加載段斜率略大于卸載段斜率；遲滯現象隨加載幅值的變大而愈發明顯，遲滯環向兩端有較大延伸；遲滯環的頻變效應并不明顯，只是加載頻率增加后，遲滯環稍稍外展。

圖2 滿載狀態2 Hz等頻變幅工況遲滯曲線

Fig.2 Hysteresis curves of full load condition with the same 2 Hz frequency and different amplitudes

圖3 滿載工況5 mm等幅變頻工況遲滯曲線

Fig.3 Hysteresis curves of full load condition with the same 5 mm amplitude and different frequencies

2 Maxwell-slip模型

為描述各種遲滯現象，研究人員開發了眾多的數學模型，Maxwell-slip模型便是一種。圖4(a)是Maxwell-slip模型的構造原理。模型的基本單元是摩擦元與彈簧的串聯結構，若干個基本單元并聯最終構成Maxwell-slip模型。模型力學原理可表述為：對某一基本單元，對彈簧施以右向位移，摩擦塊在地面摩擦力的作用下靜止不動，彈簧逐漸伸長，單元抗力等于線彈簧彈性力；隨著載荷增大，當彈簧拉力達到摩擦塊的最大靜摩擦力，滑塊開始移動，此時彈簧拉力始終等于滑塊靜摩擦力，彈簧不再伸長，單元抗力也等于滑塊靜摩擦力。卸載過程的系統響應正好與之相反：外力逐漸減小到滑塊最大靜摩擦力，滑塊達到靜平衡，停止滑動，單元抗力由最大靜摩擦力變為彈簧拉力，并隨彈簧長度的減小，逐漸減小直至為0；若繼續壓縮則形成反向加載。圖4(b)顯示了Maxwell-slip模型基本單元的力學特性。模型的整體力輸出是所有基本單元抗力之和，即

(1)

Maxwell-slip模型的實質是若干個類似于圖4(b)的平行四邊形小遲滯環的疊加，而各小遲滯環的最大靜摩擦力fsi之和等于Maxwell-slip模型輸出力的振幅(如圖4(c)所示)；各遲滯環的加、卸載斜率ki不同，疊加效應使得模型總遲滯環在加、卸載的過渡段出現圓滑過渡。

圖5顯示的是Maxwell-slip模型的頻變、幅變性質，可以看出模型的遲滯曲線與加載頻率無關；而隨著加載幅值的增大，遲滯環向外擴展。該現象可以解釋為：幅值越大，滑塊與地面摩擦距離越長，耗能越多，遲滯環面積越大。對比圖5與圖2、圖3，可以看出Maxwell-slip模型的動力學特性與鋼板彈簧的遲滯曲線在頻變、幅變方面有相似之處。

(a) Maxwell-slip模型構造原理

(b) Maxwell-slip模型基本單元力學特性曲線

(c) 若干個Maxwell-slip模型基本單元疊加的力學特性曲線

(a) 5 mm等幅變頻遲滯曲線

(b) 3 Hz等頻變幅遲滯曲線

圖5 Maxwell-slip模型的頻變、幅變性質

Fig.5 Frequency-dependent and amplitude-dependent characteristics of Maxwell-slip model

3 鋼板彈簧動力學模型建模

3.1 鋼板彈簧動力學模型

鋼板彈簧的遲滯現象主要是由于片間摩擦引起，Maxwell-slip模型能夠通過多個滑塊的組合對摩擦現象進行再現。結合圖2、圖3顯示的鋼板彈簧遲滯特性，對Maxwell-slip模型進行改進，將其與一個線彈性彈簧(主彈簧)和一個廣義阻尼器并聯，以此引入曲線斜率和頻變成分，構造出適于描述鋼板彈簧遲滯特性的新模型。模型如圖6所示，模型的總輸出力變為

Fhys_out=Fmaxwell_out+Fk0(k0)+Fc(C,α)

(2)

需要指出的是阻尼指數α的取值范圍為0～1，它具有調節阻尼力類型的作用：當α=0時，廣義阻尼器退化為干摩擦阻尼器，阻尼力與速度大小無關；當α=1時，廣義阻尼器退化為黏性阻尼器，阻尼力與速度大小成正比；當0<α<1時，模型處于黏性阻尼和干摩擦阻尼之間的中間狀態；α越接近0，干摩擦阻尼成分比重越大；α越接近1，黏性阻尼成分比重越大。

如果鋼板彈簧力學模型包含n個Maxwell-slip基本單元，即“滑塊-彈簧”單元，則鋼板彈簧模型共需要2n+4(滑塊單元個數n、各滑塊的臨界摩擦力fsi、各滑塊單元的彈簧線剛度ki，模型主剛度k0，廣義阻尼器參數C、α)個參數。顯然模型基本單元數越多，需要確定的參數越多。待定參數過多會給模型的確定帶來困難。為減少模型待定參數，對模型做出以下假定：

(a) 各滑塊具有相同的臨界摩擦力fs；

(b) 各滑塊所連接的線彈簧，其剛度值呈等差數列。也就是第一個滑塊所連彈簧的剛度為kb，其它依次在前一剛度基礎上增加dk，即ki=kb+(i-1)dk；

這樣無論構造多么復雜的模型，只需確定七個待定參數：n、k0、fs、kb、dk、C、α。

3.2 參數研究

準確理解模型參數對遲滯環的影響，是確定模型參數的基礎。通過修改單一變量的方法，探討各參數對遲滯環的影響趨勢。

圖6 鋼板彈簧動力學模型

圖7顯示的是各參數對遲滯曲線的影響趨勢。從圖7(a)可以看出阻尼指數α值越大，即模型中黏性阻尼力所占的成分越大，模型的遲滯曲線越接近橢圓。圖7(b)中顯示阻尼系數C值越大，遲滯環越寬，包絡面積越大，遲滯效應越明顯。從圖7(c)可以看到基礎剛度kb對曲線的轉折點影響較大，kb越大，遲滯環尖角越分明，使曲線越趨于平行四邊形。而圖7(d)顯示隨著滑塊臨界摩擦力增大，遲滯環面積逐漸變寬，同時適乘剛度有增大的趨勢。圖7(e)表明主剛度k0對遲滯環的斜率起主導作用，主剛度越大，遲滯環包絡線斜率越大。圖7(f)表明其它參數相同的情況下，模型中包含的Maxwell-slip模型基本單元越多(n值越大)，遲滯環面積越大，遲滯環加、卸載過渡過程越圓滑。綜合來看主剛度k0是改變模型整體剛度的關鍵因素，而要調節遲滯環寬度臨界摩擦力fs是重要參考量；阻尼器阻尼系數C、指數項α能夠調節遲滯環的基本形狀，以及模型的頻變程度；并聯的基礎單元數量n能夠對遲滯環的光滑程度做出改善。

(a) α對模型遲滯曲線的影響

(b) C對模型遲滯曲線的影響

(c) kb對模型遲滯曲線的影響

(d) fs對模型遲滯曲線的影響

(e) k0對模型遲滯曲線的影響

(f) n對模型遲滯曲線的影響

4 鋼板彈簧模型參數的識別

通過對圖2、圖3的觀察不難發現滿載工況下鋼板彈簧遲滯曲線的上下包絡線斜率并不相同。在改進Maxwell-slip模型中遲滯曲線的斜率主要由模型主剛度k0決定，因此設置單一定值的k0難以表達加載段和卸載段斜率的差別。針對這一情況，模型在加載和卸載段分別取不同的主剛度k0。最終鋼板彈簧等效模型的恢復力表示為

(3)

式中：k0l為加載段主剛度；k0u為卸載段主剛度。

對于模型參數的反求辨識，可描述為以下步驟。

因此上述尋找合適模型參數的辨識過程，可歸結為尋找最優參數使目標函數最小的優化過程。這一過程的數學表達為

(4)

式中：num為實測載荷序列ft的元素個數；q為等效模型的一系列待定參數；qmax為待定參數的上邊界；qmin為待定參數的下邊界。

模型參數的識別過程是通過Isight調用Matlab來完成。在識別過程中需要選定優化方法，Isight內置優化算法分為三大類：數值優化法、直接搜索法和全局探索法。

數值優化法包括：(Large Scale Generalized Reduced Gradient，LSGRG)廣義下降梯度法、(Sequential Quadratic Programming Method，NLPQL)序列二次規劃法等，其優點是收斂快，甚至特定條件下，能從數學上加以證明目標函數的收斂性。其缺點是對優化初始值極度依賴，并且需要目標函數有具體的解析式和完全的連續性。

直接搜索法包括：(Hooke-Jeeves Direct Search Method，HJ)霍克-吉維斯直接搜索法和(Downhill Simplex，DS)下山單純形法。這兩種方法在優化過程中不需求解函數梯度，能直接搜索到最優解。但其也比較依賴優化初始值，并且不適合長歷程優化，比較容易收斂于局部最優解。一般多用于化學工程與流體力學等領域。

全局探索法包括：(Adaptive Simulated Annealing，ASA)自適應模擬退火算法、Pointer(自動優化專家算法)和Evol (進化算法)等。全局探索法適合用于目標函數具有多峰值、非線性、不連續、不可微和設計變量連續或者離散的優化問題。其中ASA具有最優的穩定性，適用于高度非線性的問題，并且能有效的探索全局最優解[27]。綜上所述，本文在優化過程中，選擇ASA作為優化算法。

考慮到模型仍然多達7個待定參數，合理設置參數初始值有利于加快尋優過程的快速收斂。考慮到鋼板彈簧遲滯曲線的斜率主要取決于模型的主剛度k0，可首先根據遲滯曲線上下包絡線的斜率，利用最小二乘法分別估算出模型加載和卸載段的主剛度k0l、k0u。其值如表1所示。通過多次試算，認為基本單元的個數n取8較為合適，能夠基本表達曲線的基本形狀。確定單元數之后，再由加載力和卸載力間的差值除以基本單元數的兩倍(2n)，大致估算出滑塊臨界摩擦力fs。最終參數識別的結果如表2所示。

表1 估算出的模型加載、卸載段主剛度

表2 參數識別的結果

所有參數的識別工作，通過對5 mm試驗工況的仿真擬合完成(見圖8)。經驗證，識別出的這組參數也同樣適用于其他加載工況。圖9對比顯示了等效模型對多工況試驗的逼近效果。根據模型仿真曲線與鋼板彈簧的驗曲線的對比結果來看，模型效果是令人滿的。遲滯環的總包絡面積代表在這些試驗循環中由鋼板彈簧摩擦遲滯而耗散掉的總能量，表3從能量耗散的角度對比顯示了等效模型的仿真精度(仿真曲線遲滯環面積/試驗曲線遲滯環面積)。

表3 仿真與試驗能量耗散對比

任意響應可看作眾多正弦響應的線性疊加。等效模型應用摩擦單元與剛度、阻尼的聯合，反映出鋼板彈簧遲滯特性產生的機理。它可以用一組相同參數較好的完成鋼板彈簧等幅頻變和等頻幅變等正弦工況試驗的逼近，因此根據疊加原理，模型能夠勝任任意瞬態工況的模擬。

(a) 5 mm 0.5 Hz擬合結果圖

(b) 5 mm 1 Hz擬合結果圖

(c) 5 mm 2 Hz擬合結果圖

(d) 5 mm 3 Hz擬合結果圖

(e) 5 mm 5 Hz擬合結果圖

(a) 3 mm 0.5 Hz擬合結果圖

(b) 10 mm 0.5 Hz擬合結果圖

5 結 論

以Maxwell-slip模型為基礎，建立鋼板彈簧等效數學模型，并對模型待定參數加以限定從而減小參數識別難度。在鋼板彈簧多工況試驗的基礎上，運用優化算法，以減小等效模型與鋼板彈簧實測遲滯曲線之間的誤差為目標，識別出一組模型參數。模型通過摩擦元與彈簧、阻尼單元的組合，對鋼板彈簧遲滯特性產生的機理進行了很好的描述，以該套參數為基礎的等效模型能夠對試驗結果進行良好逼近，顯示出較好的仿真精度。模型適于鋼板彈簧穩態和瞬態工況的模擬。

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Transient dynamic modeling for leaf springs

ZHANG Bangji1, DENG Kang1, XIE Qingxi1,2, ZHANG Nong1,3

(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Dongfeng Commercial Vehicle Technology Center, Wuhan 430058, China;3. School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In order to simulate the hysteresis nonlinearity of leaf springs correctly to build an accurate vehicle’s dynamic model, a transient dynamic model for leaf springs was established. The hysteresis mechanism of leaf springs was simulated with combined friction elements. The parameters of the model were identified with the adaptive simulated annealing optimization algorithm (ASA) combined with dynamic tests. Finally, employing the proposed model and its identified parameters, a set of simulations under other test conditions were conducted. The good match between other test curves and simulation ones showed that the proposed model can effectively predict dynamic characteristics of leaf springs, so it is an appropriate one for leaf springs.

leaf spring; transient model; parametric identification; hysteresis

國家自然科學基金(51675152)；汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主課題(71575005)

2016-02-24 修改稿收到日期：2016-04-21

張邦基 男，博士，教授，博士生導師，1967年11月生

謝慶喜 男，博士生，高級工程師，1979年11月生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.038