基于差商法的嵌入式角位移傳感器自標定

孫世政， 何澤銀， 董紹江

(1.重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074；2. 江蘇昆山留學人員創業園 博士后科研工作站，江蘇 昆山 215300；3. 重慶交通大學 交通運輸工程博士后科研流動站，重慶 400074)

基于差商法的嵌入式角位移傳感器自標定

孫世政1,2,3， 何澤銀1， 董紹江1

(1.重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074；2. 江蘇昆山留學人員創業園 博士后科研工作站，江蘇 昆山 215300；3. 重慶交通大學 交通運輸工程博士后科研流動站，重慶 400074)

為了擺脫對高精度基準器具的依賴實現對嵌入式角位移傳感器的現場標定，結合傳感器的結構特點提出了一種利用單個讀數頭測量值差商的方法實現自我標定。該方法利用傅里葉逼近模型將讀數頭的誤差分離為多次諧波的疊加，采用測量值向前差商的方法獲取標定模型的中間變量，運用泰勒展開對差商方法進行了誤差估計，并通過提高差商階數降低模型誤差，為了保證標定精度，結合最小二乘算法對標定參數進行了尋優。運用自標定方法對兩臺不同對極數的嵌入式角位移傳感器進行了標定實驗，并與傳感器常用的比較標定方法進行了對比實驗。實驗結果表明，兩臺傳感器的誤差分別從標定前的±30″和±25″，降低至±2.6″和±2.2″，精度得到了大幅度提高，最終的標定參數與傳感器實際的誤差成分相吻合，標定精度與比較標定的精度基本相同，能夠滿足嵌入式角位移傳感器的高精度、高效率標定要求。

嵌入式角位移傳感器；單讀數頭；差商法；自標定；標定精度

隨著傳感器技術的迅速發展，位移傳感器在精密機械系統中得到了廣泛使用，而如何實現對位移傳感器的標定仍是值得研究的問題。傳感器的標定過程即為誤差校準的過程，誤差校準的方法有兩類：比較校準和自動校準。比較校準是用高精度的標準儀器與待測儀器進行比較測量實現校準，這種方法被廣泛地用于提高儀器和傳感器精度。自動校準是利用傳感器自身特性來實現對誤差的分離，進而實現自我標定。

嵌入式角位移傳感器是一種基于電磁感應原理，將被測對象與傳感器融合為一體，主要針對機械傳動部件的位置檢測所研制的新型傳感器，由于采用了通過高倍細分和誤差修正技術[1-3]，很好地避開了同類傳感器精密刻劃線的問題，目前該傳感器已成功應用于大型車床、銑床等機械主軸回轉的位置檢測。一般傳感器所用的標定方法為比較標定，但在嵌入式角位移傳感器的實際應用過程中這種比較標定的方法存在著兩個主要問題：①如何不依賴母儀而研制高精度的嵌入式角位移傳感器。隨著傳感器分辨率和原始精度的提高，對校準該傳感器的基準儀器的精度要求也相應提高，這就直接制約了高精度角位移傳感器的研制；②如何實現傳感器的現場直接自動校準。由于受到工作環境、機械參數和電氣參數變化的影響，經過標定后的傳感器隨著時間地推移會出現精度損失的現象，而比較標定的方法難以實現對傳感器的現場標定。在這種情況下，迫切需要一種能夠實現在現場自我標定的技術[4]。

針對傳感器的自標定，國內外的很多學者通過對傳感器結構的特殊設計，利用傳感器自身的特性來實現對誤差的分離和自檢，達到自標定的目的。德國物理研究院(Physikalisch Technische Bundesanstalt, PTB)的Probst等[5]研制了一種基于光柵測角儀的高精度轉臺用于校準角度基準，通過傅里葉分析的方法消除諧波誤差，雖然最終精度很高，但儀器結構復雜成本也較高。Masud等[6]開發了一種角度編碼器的自動校準系統，通過在主刻度標尺同一圓周不同空間間距設置多個讀數頭的方法，實現了對角度編碼器的自檢，這種在整周分布多個讀數頭的方法對各個讀數頭的一致 性要求極高，讀數頭制造和安裝的不一致性將直接影響標定的精度。Orton等[7]采用在空氣軸承、自由狀態下讀數頭的精確速度來進行自動校準。Lu等[8-9]提出了一種利用光柵脈沖的測量值和精密軸系的動態特性，實現了在單讀數頭條件下對光柵的分度誤差進行自標定的方法。這兩種方式的自標定雖然不存在多讀數頭安裝一致性的問題，但標定對精密軸系的動態響應特性有極高的要求。本文結合嵌入式角位移傳感器的特點，提出了一種利用單個讀數頭的誤差傅里葉逼近結合測量值差商的標定方法，實現了對嵌入式角位移傳感器的誤差自標定。實驗對比自標定方法與通常的比較標定方法表明，本文構建的自標定系統能夠很好地實現對嵌入式角位移傳感器高精度、高效率標定。

1 嵌入式角位移傳感器

嵌入式位置檢測定義為：區別于傳統獨立傳感器的，將傳感器嵌入到被測機械系統中，與被測單元融為一體的一種位置檢測方式。嵌入式位置檢測技術的一個顯著優點就是機械系統能夠實時檢測其自身的工作性能，且信噪比高，結構緊湊。

嵌入式角位移傳感器是針對較大尺寸機械傳動部件的位置檢測所研制的一種新型傳感器，其將原有角位移傳感器整周封閉的線圈離散成為若干個獨立讀數頭，分布于被測傳動部件(尤其適用齒輪、蝸輪)周圍，利用被測部件的固有分度來獲取運動信息(回轉角度)。圖1(a)為傳統的機械傳動部件的位移測量示意圖，與這種方法相比，嵌入式角位移傳感器采用徑向、非接觸安裝讀數頭的方式，除了省掉精密傳感器和聯軸節外，更重要的是它與被測部件融為一體，具有體積小、重量輕、密封好的特點，因此不怕振動、沖擊、油污等極端惡劣工況，且更不容易受到空間狹窄、中空和限重等特殊條件的限制，其結構如圖1(b)所示。

(a)傳統位置檢測方法(b)嵌入式位置檢測方法

圖1 嵌入式角位移傳感器位置檢測與傳統位置檢測對比

Fig.1 Comparison of embedded angle displacement sensor position detection and traditional position detection

該傳感器的工作原理如圖2所示，讀數頭上有兩層繞組，分別為激勵繞組和感應繞組。當激勵繞組通以正弦激勵，根據電磁感應原理，感應繞組上會產生同頻率的交流信號，當被測部件(轉子)相對讀數頭轉動時，空間氣隙磁導發生變化，感應信號幅值的大小隨著氣隙磁導的變化而變化，每轉過一個轉子齒距，氣隙磁導變化一個周期，轉過一周，則變化轉子齒數個周期，所以轉子齒數即為嵌入式角位移傳感器的極對數，由于單組感應繞組上產生的信號為駐波信號，故采用兩組駐波信號疊加合成的方式形成最終測量用的感應信號，將感應信號與激勵信號進行動態鑒相，就可以得到被測部件轉動的角位移。

圖2 嵌入式角位移傳感器工作原理

2 自標定模型

根據誤差的定義即誤差是測量值和真值之差，可將嵌入式角位移傳感器的誤差函數可描述為

δ(θ)=f(θ)-θ

(1)

式中：δ(θ)為嵌入式角位移傳感器讀數頭的誤差函數；f(θ)為讀數頭對回轉對象的測量值；θ為回轉對象角位移的真值。由于真值是無法獲知的，雖然這個誤差函數是客觀存在的，但是無法通過式(1)直接求出。

2.1 傅里葉逼近

嵌入式角位移傳感器的測量符合圓周內誤差封閉的原則，故可以將誤差函數看做以2π為周期的周期函數。根據傅里葉的思想，可以將式(1)中誤差函數δ(θ)視為n次誤差諧波的疊加，則可表示為[10-12]

(2)

2.2 向前差商法

將式(2)代入式(1)中，兩邊對測量角度θ求導可得

(3)

f(θn+1)=f(θn)+hf′(θn)+T

(4)

式中：f(θn+1)和f(θn)為相鄰的兩個測量值；h為標定步長；T為局部截斷誤差，由此即可使用差商近似導數

(5)

所以，式(3)可表達為

(6)

根據式(6)獲得測量值序列{f(θn+1)-f(θn)}的幅度譜{Bn}和相位譜{φn}，則可以得到傅里葉模型中各次諧波的幅值和初相角

(7)

2.3 差商法誤差估計與優化

該方法與歐拉法求解一階常微分方程初值問題的方法不同，差商法中所用的{f(θn+1)-f(θn)}序列為實際測量數據，差商的相鄰兩值為實際值而非近似值，這就不會產生累積誤差。由于利用向前差商的方法代替微分會產生截斷誤差，將測量值函數Taylor展開

(8)

(9)

(10)

從式(10)可以明顯的看出，在標定步長h較小的情況下，一階差商、二階差商和三階差商產生的截斷誤差相差并不大；在步長h較大的情況下，提高差商階數可以有效地降低截斷誤差。對于提高階數后的標定，以二階差商法為例，依次解算出序列{f(θn+1)-f(θn)-hf′(θn)/2}的值。之后便同原理模型中的處理方法一樣，利用快速傅里葉獲得其幅度譜{Bn}和相位譜{Pn}，進而獲得標定所需的參數。三階差商的方法與二階相同。

2.4 自標定參數選擇

δ(θ)=AL+Δδ(θ)

(11)

式(11)為以幅值和初相位為未知量的方程組，式中n值為諧波次數其值遠小于采樣點數k，故該方程組為超定方程組，由于測量數據中不可避免地包含有測量誤差，待求的參數也必然包含一定的誤差，為了提高所得結果的精度，能夠抵償性地減少隨機誤差的影響，運用最小二乘原理，對方程組進行參數尋優，從低次開始，逐漸增加諧波的次數，以殘差平方和為目標，當殘差平方和的減少不顯著時，解算出n值，同時選取矩陣L和A中對殘差影響較大的參數。

3 實驗與結果

本文提出的利用單讀數頭誤差的傅里葉逼近結合測量值差商的自標定方法，在嵌入式角位移傳感器的標定系統上進行了實驗驗證。標定系統以精密的分度轉臺作為測量對象，對比實驗中的基準器具采用是德國海德漢高精度光柵，通過彈性聯軸結將嵌入式角位移傳感器和光柵安裝在分度轉臺的主軸上，控制系統通過驅動電機帶動轉臺做勻速轉動的同時，光柵和角位移傳感器對分度轉臺轉過的角度進行同步測量。誤差數據的采集是動態過程，其對速度的變化比較敏感，為了得到相對恒定的轉速，本系統利用光柵將位置信息反饋給運動控制卡形成閉環的控制方式，達到了較高的控制精度。圖3為嵌入式角位移傳感器自標定實驗系統框圖。

3.1 模型參數尋優

以24對極的嵌入式角位移傳感器為例，分析模型參數的尋優過程。角位移傳感器常用的標定速度為0.1 r/min和0.5 r/min，系統的采樣頻率為400 Hz，在0.1 r/min和0.5 r/min的情況下的標定步長分別為5″和25″。在標定步長一定的情況下，不同階數差商的截斷誤差如下圖4和圖5所示。

圖4中在標定速度相對較低步長較小的情況下，一階、二階和三階差商的截斷誤差較小，誤差在0.005″以內，一階差商的截斷誤差為0.004 6″，二階為0.003 5″，三階為0.003″，各階之間相差不大；圖5中在標定步長較大的情況下，一階差商的截斷誤差為0.45″，二階為0.046″，三階為0.04″，二階和三階差商的截斷誤差差異不大，但明顯比一階差商誤差小；由于傳感器的原始誤差較大，最終的標定精度數量級通常為0.1″，故兩種標定步長下二階和三階差商的截斷誤差對標定精度影響不大，但考慮到標定效率的問題，采用步長為25″，差商階數為二階，能更為有效地提高標定效率。

圖3 嵌入式角位移傳感器自標定實驗系統

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

為了保證標定精度，利用最小二乘算法對標定參數進行尋優，根據式(11)，從低次開始，逐漸增加諧波的次數，直到殘差平方和的減少不顯著，解算出矩陣A中的諧波次數、相位角和矩陣X。標定參數尋優效果圖如下圖6所示，表1為尋優后得到的標定參數。

圖6 標定參數尋優

表1 自標定參數表

從圖6中可以看到，當n=78 時殘差平方和的減少不再顯著。從標定參數表1中可以看出，諧波幅值較大的為48次和24次，這種短周期的誤差主要是由激勵正交性和繞線一致性不好引起的，由于轉子加工所導致的個別齒有瑕疵，將會產生短周期附帶誤差，即表中的51次、69次等，傳感器使用過程中的安裝偏心將會引起長周期1次和2次誤差，由此可見，最終的參數尋優結果與傳感器實際的誤差成分相符合。

根據傅里葉逼近模型，各次諧波的幅值越大表明其在誤差中的比重越大，在標定時需要把這些幅值較大的誤差諧波補償到測量值中。對于幅值較小的誤差諧波，通常認為幅值小于0.5的誤差諧波較小，可以在標定中進行忽略。通過參數尋優后得到了各次主要誤差諧波的諧波次數、幅值和初相位，依據傅里葉逼近模型，將這些參數代入到式(2)中，就可以實現對誤差函數的重構，在傳感器標定過程中，通過誤差函數可以得到誤差值，將測量值和誤差值相加就實現了對傳感器的標定。

3.2 傳感器自標定

為了驗證本文標定方法的有效性和可靠性，共對兩種類型嵌入式角位移傳感器進行了獨立自標定實驗，圖7為24對極嵌入式角位移傳感器的標定結果，圖8為18對極嵌入式角位移傳感器的標定結果。

(a)標定前(b)標定后

圖7 24對極嵌入式角位移傳感器的標定結果

圖8 18對極嵌入式角位移傳感器的標定結果

Fig.8 Result of self-calibration for 18 polars embedded angle displacement sensor

圖7中的傳感器經過自標定后原始誤差從±30″降至±2.6″，圖8中的傳感器經過自標定后原始誤差從±25″降至±2.2″，可以看出該自標定方法可以有效地降低了原始誤差。

3.3 標定對比實驗

為了驗證自標定方法的正確性，與比較標定方法進行了對比實驗，分別用自標定方法和比較標定方法對24對極和18對極嵌入式角位移傳感器進行了標定對比實驗。兩種標定方法最終精度對比結果如圖9和圖10所示。

(a)自標定(b)比較標定

圖9 24對極兩種標定方法最終精度對比

Fig.9 Comparison of self-calibration and standard implement calibration for 24 polars

從圖9和圖10可以看出，兩種標定方法的最終精度范圍基本相同，表明該自標定方法正確有效。與通常的傳感器比較標定的方法相比，該方法能夠在保證標定精度的情況下實現脫離基準器具的現場標定，與多個讀數頭自標定的方法相比，該方法可以避免由于讀數頭不一致所引入的誤差，同時可以實現對多個讀數頭的分別標定。

(a)自標定(b)比較標定

圖10 18對極兩種標定方法最終精度對比

Fig.10 Comparison of self-calibration and standard implement calibration for 18 polars

4 結 論

本文針對嵌入式角位移傳感器提出了一種利用單個讀數頭實現自我標定的標定方法。該方法利用傅里葉逼近模型將誤差分解為多次諧波的疊加，利用測量值的向前差商獲取標定模型的中間變量，通過提高差商階數降低模型誤差，運用最小二乘算法對最終的標定參數進行尋優。運用該標定方法對兩臺嵌入式角位移傳感器進行了標定和對比實驗，結果表明兩臺傳感器的誤差由標定前的±30″左右降至標定后±2.5″左右，精度有了大幅度提高，參數尋優后得到的標定參數與傳感器實際的誤差成分相吻合，標定精度與以往母儀標定的精度基本相同，對嵌入式角位移傳感器脫離基準器具實現現場標定具有較高的指導價值。

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Self-calibration for embedded type angle displacement sensors based on difference quotients

SUN Shizheng1,2,3, HE Zeyin1, DONG Shaojiang1

(1.School of Mechatronics and Vehicle Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China; 2. Post-doctoral Research Station, Kunshan Business Incubator for Overseas Chinese Scholars, Kunshan 215300, China; 3. Traffic and Transportation Post-doctoral Research Station, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China)

In order to get rid of the dependence on high precision reference and realize field calibration of an embedded type angle displacement sensor, a self-calibration method was proposed using difference quotients of measured values obtained with a discrete probe. With the proposed method, the error function of the probe was separated into multiple harmonics with Fourier approaching model. The forward difference quotient of measured values was used to get intermediate variable of the calibration model. Taylor expansion was applied to estimate errors of difference quotients, the calibration model errors were reduced through increasing the order of difference quotient. To ensure the calibration precision, the least squares algorithm was used to optimize calibration parameters. Two embedded type angle displacement sensors with different pairs of poles were calibrated using the proposed method. The results were compared with those using the traditional comparative calibration method. The actual calibration tests showed that the errors of the two sensors are reduced from ±30″ and ±25″, respectively to ±2.6″ and ±2.2″, respectively; the final calibration parameters are consistent with the actual sensors’ error components; the self-calibration precision is almost the same as the accuracy of the comparative calibration, the former can meet embedded type angle displacement sensors’ calibration requirements.

embedded type angle displacement sensor; discrete probe; difference quotient algorithm; self-calibration; calibration precision

國家自然科學基金資助(51405047)；重慶市教委科學技術(KJ1600534；KJ1600503)；重慶市基礎科學與前沿技術研究(CSTC2016JCYJA0514)

2016-05-23 修改稿收到日期：2016-10-27

孫世政 男，博士，講師，1986年生

何澤銀 男，博士，副教授，1985年生

TP212.6

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.039