間歇過程點對點迭代學習控制的初始狀態誤差分析

洪英東，熊智華，江永亨，葉昊

（清華大學自動化系，北京 100084）

間歇過程點對點迭代學習控制的初始狀態誤差分析

洪英東，熊智華，江永亨，葉昊

（清華大學自動化系，北京 100084）

針對間歇過程點對點跟蹤控制問題，在軌跡更新的迭代學習控制算法框架下，針對非理想初始狀態情況下3種不同的初始誤差，通過2D Roesser模型對其進行描述并分析其收斂性。給出了不同的情況下系統相對參考軌跡的零誤差跟蹤或者收斂到特定鄰域的條件，在零誤差跟蹤不能實現的情況下給出了鄰域的范圍。通過數值模型仿真驗證了給出的收斂條件和收斂邊界，并分析了不同因素對收斂邊界的影響。

初始狀態；迭代學習控制；2D系統理論；點對點跟蹤

引 言

由于多樣化和精細化工的需求，間歇過程在工業生產中的比例越來越高[1]。由于間歇過程具有重復運行等特性，迭代學習控制（ILC）方法得到了廣泛的研究[2-3]。ILC方法通常是跟蹤一條預設的完整軌跡，但是在很多應用中，比如快速熱處理過程[4]、發酵過程[5]等，都只要求跟蹤整條軌跡中若干特定時間點的輸出。因此，點對點ILC控制成為了目前的一個研究熱點[6-7]。間歇過程的ILC方法通常假設每個批次的初始狀態滿足理想條件，即系統在每個批次的初始狀態誤差均為零。但是在間歇式反應生產過程中，由于每個批次的反應物初始濃度等條件往往會產生一定的偏差，因此通常難以滿足該初始狀態理想條件。

有很多的學者討論過，在初始條件非理想的情況下，迭代學習控制算法可能發散的問題[8]。針對全軌跡跟蹤問題中初始狀態非理想的情況，Park等[9]分析了P型和PID型迭代學習控制算法的跟蹤誤差和初始狀態誤差邊界的關系。孫明軒[10]提出了帶初始誤差校正的迭代學習控制算法，Chi等[11]提出了一種針對隨機初始狀態的自適應迭代學習控制算法，這些算法都解決了一些特定初始誤差情況下的跟蹤誤差問題。同時，因為批次過程既有時間方向的特性，又有批次方向的特性，2D模型也常常被引入對迭代學習控制算法進行分析[12-13]。Fang等[14]采用2D理論對不同初始狀態下的迭代學習控制方法進行了收斂性分析，其收斂性條件中要求批次和時間都趨于無窮，但是在重復運行的過程中，時間通常是有限的，這一點一般不能夠得到滿足。Guan等[15]針對連續系統，通過采樣的2D離散模型分析了初始狀態誤差模和有界的PD型迭代學習算法的收斂情況。對于線性時變的2D系統的一般性收斂條件分析，Li等[16]、Meng等[17]分析了在初始誤差有界的情況下，在2D Roesser模型下的傳遞函數矩陣模的上確界存在且小于 1，系統的誤差有界。之后Meng等[18]進一步分析了初始誤差趨于0時系統跟蹤誤差的收斂情況。不過他們的分析結果都僅考慮了初始誤差有界和誤差趨于零的情況，也沒有給出明確的收斂界。而且均沒有針對點對點跟蹤問題進行分析。

目前的點對點跟蹤問題研究，主要集中于利用非跟蹤點自由度來加快收斂速度[19-20]，而缺少對初始狀態誤差的分析。對于這一問題，針對線性時不變系統，采用2D模型理論分析了不同初始條件下，針對系統相對于更新的參考軌跡的所有時間點的誤差，算法的收斂判定條件和收斂界，并進一步通過數值仿真驗證了本文的理論。

1 點對點迭代學習控制

1.1 系統描述

考慮如下線性時不變間歇過程的一般狀態空間模型

其中，t和k分別代表采樣時間和運行批次，t∈[0, N]，N為采樣點數，x∈RN、u∈R、y∈R分別為系統的狀態、輸入和輸出，A、B、C分別為相應的系統參數矩陣，d代表過程干擾和測量噪聲。

對于點對點ILC問題，其控制目標為在特定的時間點集M={t1,t2,…,tM}，M ≤ N，要求輸出跟蹤給定值ydM=[yd(t1),…,yd(tM)]T。

針對上述點對點ILC問題，選取的方法是設計一條經過這些目標點的軌跡并在批次間對其進行更新。軌跡更新的基本思想是在關鍵時間點軌跡不變，而在非關鍵點上根據上一個批次的輸出信息進行調整，采用如下的插值算法來更新軌跡[21]

其中，rk=[r(1,k),…,r(N,k)]T為第 k批次在所有時間點上的參考軌跡，Λk=diag{λk(1), λk(2),…, λk(N)}，λk(t)為各采樣時刻的軌跡更新系數，且λk(t)在 t∈M時取0，其他時間點上選取合適的值，使其滿足[22]

其中yk=[y(1,k),…,y(N,k)]T為第k批次在所有時間點上的輸出。

在批次間，選取常用的P型迭代學習控制算法

其中uk=[u(0,k),…,u(N-1,k)]T，ek=rk-yk，且ek=[e(1,k),…,e(N,k)]T為全軌跡的跟蹤誤差，L為學習率。

在點對點ILC問題中，只需要關心特定點集M上的跟蹤誤差ekM，可知ekM是ek一個子集，記為

其中

所以點對點問題的跟蹤誤差可以寫成

1.2 2D模型描述

根據系統的狀態方程式(1)和跟蹤誤差關系式(6)，并結合P-ILC的學習律式(4)，可以把上述系統模型描述成一個2D Roesser模型[21]

其中

通過上述變換表述的2D Roesser模型，由于式(2)中更新軌跡參數λk(t)的引入，而且λk(t) 隨著時間t變化，因此與一般的基于2D理論的迭代學習控制模型不同之處是參數為時變的，因此其狀態轉移矩陣特性也有相應的變化。

1.3 初始狀態描述

假設理想初始狀態為xr(0)，則記第k批次的初始狀態誤差為Δx(0,k)=x(0,k)-xr(0)。Xu等[23]在分析初始狀態問題時，給出了理想初始狀態、和有界、固定偏差、隨機有界偏差、隊列偏差5種不同的情況。對于以上5種初始狀態情況，在2D模型中重新對其進行描述，可以分為4類情況。

（a）批次間狀態誤差為0，即η(0,k)=0。該情況既包括初始狀態理想，也包括初始狀態非理想，但每次偏差均相同的情況。

（b）批次間誤差模有界，即||η(0,k)||≤C。如發酵過程設定的初始溫度，總是在期望溫度的附近波動，則其誤差的模有界[24]。

（d）隊列偏差，即 x(0,k)=x(N,k-1)，是指當前批次的初始狀態為上一批次的結束狀態[26]。

因為在化工生產間歇過程中，通常會在新批次開始時重置初始條件，不滿足隊列偏差的條件，因此下文主要討論前3種初始誤差情況。

2 收斂條件分析

在證明收斂條件以前，首先證明時變2D系統的一些性質。為方便起見，記

定義2D模型(8)中狀態轉移矩陣為

并定義如下狀態轉移矩陣

由2D理論可知[21]

并根據文獻[27]的2D Roesser模型理論可以得到系統的全響應為

同時，根據之前的工作，還得到了如下時變2D系統狀態轉移矩陣的性質[28]。

根據以上的3個時變2D系統的性質，可以分析得到在2D系統下3種初始狀態存在誤差的收斂條件和收斂邊界。在分析初始誤差的影響情況下，假設過程干擾Δd(t,k) 都為0。

2.1 批次間無初始狀態誤差

證明：根據全響應公式(13)，可得

定理1說明，在批次間無初始狀態誤差的情況下，只要轉移矩陣在任意 t時刻都成立，則均可以實現零誤差跟蹤。

2.2 批次間初始狀態誤差有界

證明：同樣根據全響應公式(13)，可得

又因為||η(0,k)|| ≤C，則可得

進一步可得

定理2說明，在批次間初始狀態誤差有界的情況下，只要轉移矩陣||||＜1在任意 t時刻成立，系統跟蹤誤差會收斂到零附近的一個較小鄰域內，且該鄰域的范圍大小由||Γ0,1||、|||和C 3個因素決定。

2.3 批次間誤差模和有界

證明：根據定理2的證明可知

取 n3=2max(n1,n2)，則當 n＞n3時

即?ε，?n3，滿足當 n＞n3時，

根據極限性質可得

定理3說明，在批次間初始誤差的模和有界的情況下，只要轉移矩陣|||＜1在任意t時刻成立，系統可以實現零誤差跟蹤。

根據全響應公式[式(13)]，再根據線性系統的疊加性原理，可以知道，對于存在批次間干擾的情況，分析仍然適用，只需要再單獨考慮過程干擾的影響即可。

3 數值仿真

一些典型的間歇反應過程，如以溫度為調節量、產物為被控量的間歇反應過程[29-30]，通過對其幾個批次的輸入輸出數據進行系統辨識，可以將其描述成二階線性狀態空間模型。

選取如下的二階線性非時變系統作為數值仿真實例[21]

初始的輸入為u(t,1)=0,?t。仿真時間為5 s，采樣時間為0.125 s，則采樣點N為40。過程干擾取為[-0.01, 0.01]之間的平均分布。

選取的跟蹤時間點集為M={1,10,15,25,31,40}，圖1給出了關鍵點跟蹤目標和初始軌跡，跟蹤目標為一個上升、保持、下降的過程，在熱處理過程等間歇過程中較為典型。

圖1 跟蹤目標和初始軌跡Fig1 Key points and initial trajectory

采用如下的跟蹤誤差平方值來判斷方法的性能

首先，把初始誤差理想條件（包括初始狀態為理想值和初始狀態始終為同一偏差值）與初始狀態誤差有界的情況進行了仿真對比。

在誤差界Bd為0時，即為初始誤差理想情況。另外則為初始誤差隨機，但其模分別小于誤差界Bd為 0.03和 0.06的兩種情況（圖 2）。控制律L=3,λ(t)=-0.65，此時的收斂條件為||||=0.9571＜1。

圖2 批次間誤差有界和誤差為0的比較Fig.2 Comparison of bounded initial errors

可以看到，在初始狀態誤差有界的情況下，在軌跡更新的一般迭代學習控制律算法下，點對點ILC問題雖然不能實現零誤差跟蹤，但是其誤差在與初始狀態誤差邊界有關的一個小鄰域內。

而在初始狀態誤差恒定，即批次間的初始狀態變化為0的情況下，跟蹤誤差收斂到0。

通過對初始狀態誤差有界情況的分析可知，在同樣的誤差邊界的情況下，收斂界的大小和||||的大小有關。|||的大小可以通過算法的學習律和軌跡更新參數來調整。因為||||代表了所有t時刻中單步轉移矩陣模的最大值，因此如果要使得||||變小，首先要調節迭代學習控制律，使得其在關鍵點變小，再調節軌跡更新參數λ(t)即可。

圖3給出了當誤差界為Bd=0.06時，在滿足收斂性條件的情況下，不同的|||對應的跟蹤誤差ekM收斂曲線。

圖 3 ||||對收斂界的影響Fig.3 Effects of ||| on convergence

對于誤差模和有界的情況，取初始狀態誤差的形式為以下3種：

圖4給出了上述3種情況下的仿真結果。

圖4 誤差和有界仿真Fig.4 Sequence of initial errors belong to l2

由圖 4結果可以看出，在情況(iii)中，系統的跟蹤誤差收斂到0。而在(i)和(ii)的情況下，跟蹤誤差不為0，而是在0的一個鄰域內。

說明當初始狀態誤差趨于零時，不能保證跟蹤誤差收斂到 0，只能保證誤差收斂到一個有界的鄰域內，而在誤差模和有界的情況下，才能夠保證誤差收斂到0。

4 結 論

針對間歇過程點對點ILC問題，在軌跡更新的迭代學習控制算法下，基于二維線性系統理論，分析了3種初始條件情況下的收斂條件。

在批次間初始狀態誤差為零、誤差和有界的情況下，可以通過算法參數設置使得跟蹤誤差收斂到零。在初始狀態誤差有界的情況下，證明了算法能夠收斂到一個零附近的鄰域的條件。

分析了如果不能夠實現零誤差跟蹤，其收斂界的影響因素，也為針對初始誤差情況下迭代學習控制算法的參數設計提供了準則。

[1] 宋建成. 間歇過程計算機集成控制系統. 北京： 化學工業出版社,1999.SONG J C. Computer Integrated Control System for Batch Process[M].Beijing： Chemical Industry Press, 1999.

[2] LEE J H, LEE K S. Iterative learning control applied to batch processes： an overview[J]. Control Engineering Practice, 2007,15(10)： 1306-1318.

[3] 賈立, 施繼平, 邱銘森. 一種間歇過程產品質量迭代學習控制策略[J]. 化工學報, 2009, 60(8)： 2017-2023.JIA L, SHI J P, QIU M S. A novel iterative learning control for product quality control in batch process[J]. CIESC Journal, 2009,60(8)： 2017-2023.

[4] CHI R, WANG D, HOU Z, et al. Data-driven optimal terminal iterative learning control[J]. Journal of Process Control, 2012, 22(10)：2026-2037.

[5] 王志文, 劉毅, 高增梁. 時變間歇過程的 2D-PID 自適應控制方法[J]. 化工學報, 2016, 67(3)： 991-997.WANG Z W, LIU Y, GAO Z L. 2D-PID adaptive control method for time-varying batch processes[J]. CIESC Journal, 2016, 67(3)：991-997.

[6] ALHAZZA K A, HASAN A M, ALGHANIM K A, et al. An iterative learning control technique for point-to-point maneuvers applied on an overhead crane[J]. Shock and Vibration, 2014, (1)： 261-509

[7] FREEMAN C T. Constrained point-to-point iterative learning control with experimental verification[J]. Control Engineering Practice, 2012,20(5)： 489-498.

[8] LEE K H, BIEN Z. Initial condition problem of learning control[J].IEE Proceedings D-Control Theory and Applications, 1991, 138(6)：525-528.

[9] PARK K H, BIEN Z. A generalized iterative learning controller against initial state error[J]. International Journal of Control, 2000,73(10)： 871-881.

[10] 孫明軒. 初態學習下的迭代學習控制[J]. 控制與決策, 2007, 22(8)：848-852.SUN M X. Iterative learning control with Initial state learning[J].Control and Decision. 2007, 22(8)： 848-852.

[11] CHI R, HOU Z, XU J. Adaptive ILC for a class of discrete-time systems with iteration-varying trajectory and random initial condition[J]. Automatica, 2008, 44(8)： 2207-2213.

[12] KUREK J E, ZAREMBA M B. Iterative learning control systhesis based on 2-D system theory[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, 38(1)： 121-125.

[13] GENG Z, JAMSHIDI M. Learning control system analysis and design based on 2-D system theory[J]. Journal of Intelligent &Robotic Systems, 1990, 3(1)： 17-26.

[14] FANG Y, CHOW T W S. 2-D analysis for iterative learning controller for discrete-time systems with variable initial conditions[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I： Fundamental Theory and Applications, 2003, 50(5)： 722-727.

[15] GUAN W, ZHU Q, WANG X D, et al. Iterative learning control of linear continuous systems with variable initial states based on 2-D system theory[C]//Control Conference (CCC), IEEE, 2014：8812-8815.

[16] LI X D, HO J K L, CHOW T W S. Iterative learning control for linear time-variant discrete systems based on 2-D system theory[J].IEE Proceedings-Control Theory and Applications, 2005, 152(1)：13-18.

[17] MENG D, JIA Y, DU J, et al. Necessary and sufficient stability condition of LTV iterative learning control systems using a 2-D approach[J]. Asian Journal of Control, 2011, 13(1)： 25-37.

[18] MENG D, JIA Y, DU J. Stability of varying two-dimensional Roesser systems and its application to iterative learning control convergence analysis[J]. IET Control Theory & Applications, 2015, 9(8)：1221-1228

[19] OWENS D H, FREEMAN C T, CHU B. Generalized norm optimal iterative learning control with intermediate point and sub-interval tracking[J]. International Journal of Automation and Computing, 2015,12(3)： 243-253.

[20] CHU B, FREEMAN C T, OWENS D H. A novel design framework for point-to-point ILC using successive projection[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2015, 23(3)：1156-1163.

[21] 洪英東, 熊智華, 邱偉偉, 等. 基于 2D理論的點對點軌跡更新綜合預測迭代學習控制[C]//第 27屆中國過程控制會議(CPCC2016),2016.HONG Y D, XIONG Z H, QIU W W, et al. Two-dimensional based point-to-point reference trajectory updating integrated predictive iterative learning control for batch process[C]//Chinese Process Control Conference 2016, 2016.

[22] AN T J. Closed loop iterative learning control for point to point tracking problem with desired trajectory updating[J]. Information Technology Journal, 2014, 13(5)： 859-863.

[23] XU J X, YAN R. On initial conditions in iterative learning control[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 50(9)： 1349-1354.

[24] 張華. 迭代學習控制問題初態研究[D].無錫： 江南大學, 2014.ZHANG H. Research of initial state for iterative learning control[D].Wuxi： Jiangnan University, 2014.

[25] SUN M X. Robustness of higher-order p-type learning control[J]. IET Control Theory & Applications, 1997, 14(1)： 12-18.

[26] YANG, Z, CHAN C W. Conditional iterative learning control for non-linear systems with non-parametric uncertainties under alignment condition[J]. IET Control Theory & Applications, 2009, 3(11)：1521-1527.

[27] ROESSER R. A discrete state-space model for linear image processing[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1975, 20(1)：1-10.

[28] CHEN C, XIONG Z, ZHONG Y. Design and analysis of integrated predictive iterative learning control for batch process based on two-dimensional system theory[J]. Chinese Journal of Chemical Engineering, 2014, 22(7)： 762-768.

[29] RAY W H. Advanced Process Control[M]. New York： McGraw-Hill,1981.

[30] LOGSDON J S, BIEGLER L T. Accurate solution of differential-algebraic optimization problems[J]. Ind. Eng. Chem. Res.,1989, 28(11)： 1628-1639.

Analyze initial state errors of point-to-point iterative learning control for batch process

HONG Yingdong, XIONG Zhihua, JIANG Yongheng, YE Hao
(Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

To address problems of point-to-point tracking control for batch processes, three different initial errors of non-ideal initial states were analyzed and studied for convergence by 2 D Roesser model within the framework of tracking control algorithm. Conditions were provided to achieve zero or a neighborhood of zero tracking control errors between system and reference trajectory at various scenarios. For these unable to achieve zero tracking errors, boundaries of final tracking errors were given. Numerical simulation validated these convergence conditions and boundaries, and assessed effect of control parameters on these boundaries.

initial condition; iterative learning control; two-dimensional system theory; point-to-point tracking control

date:2017-01-22.

Prof. XIONG Zhihua, zhxiong@tsinghua.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (61473162).

TP 13

A

0438—1157（2017）07—2826—07

10.11949/j.issn.0438-1157.20170106

2017-01-22收到初稿，2017-04-06收到修改稿。

聯系人：熊智華。

洪英東（1990—），男，博士研究生。

國家自然科學基金項目（61473162）。