基于連續(xù)混合策略對長期蜈蚣博弈的分析①

韓庭軒

摘 要：蜈蚣博弈給逆向歸納法帶來巨大沖擊，因為參與人在整體環(huán)節(jié)的最優(yōu)選擇，而非每一子環(huán)節(jié)最優(yōu)選擇的集合。該文從理論角度出發(fā)，基于理性人假設(shè)，利用連續(xù)混合策略，通過正向順序計算收益期望，對長期蜈蚣博弈進行分析，并對其中的可能情況進行解釋。

關(guān)鍵詞：蜈蚣博弈 逆向歸納法 理性人假設(shè) 混合策略

中圖分類號：F32 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）06（c）-0214-02

蜈蚣博弈于1981年由Rosenthal提出。博弈中有兩個參與人，策略包括“合作”與“終止”。博弈雙方分先手與后手，輪流進行決策，當一方選擇“終止”時，博弈即停止，否則雙方將持續(xù)合作直到最終環(huán)節(jié)。博弈的總收益會隨著過程的持續(xù)而不斷增大，但是每一參與者在自己本回合選擇“終止”時的自身收益，要小于對方在下一回合選擇“終止”時自己的收益。根據(jù)持續(xù)的回合數(shù)，蜈蚣博弈可以被分為短期蜈蚣博弈、長期蜈蚣博弈和無限期蜈蚣博弈。

在“蜈蚣博弈”出現(xiàn)之前，逆向歸納法一直是博弈論中的一個重要分析方法。逆向歸納法有兩個基本假設(shè)：一是理性人假設(shè)，博弈的參與者都是理性的，會做出使自己收益最大的決策；二是共同知識，博弈方對其他人行為的判斷都是正確的，并且相互知道其他人了解自己的判斷。“蜈蚣博弈悖論”是關(guān)于逆向歸納法的一個重要悖論。根據(jù)逆向歸納法的推理，由于雙方在每個環(huán)節(jié)都會選擇讓自己利益最大化的選擇，最終導(dǎo)致先手方拒絕合作，但這與實際中的選擇明顯不符。

1 文獻綜述

理論探究方面，孫洪罡等[1]基于風(fēng)險偏好分析參與者的支付滿意率。潘天群[2]在逆向歸納法的內(nèi)涵中加入交流理性的概念。何偉等[3]著眼于預(yù)期心理，認為參與者一旦在主動選擇時能獲得與被動選擇最大利益相同的收益，就會產(chǎn)生終止的動機。方志耕等[4]將“灰數(shù)規(guī)整”與順推歸納法結(jié)合，通過計算期望值探究博弈終止時的納什均衡。胡曉娟[5]等利用“顫抖手”方法，詳細論證選擇波動時，參與人合作的條件。

在實踐中，McKelvey和Palfrey[6]讓參與者分別在四階段低收益蜈蚣博弈、四階段高收益蜈蚣博弈和六階段蜈蚣博弈中做出選擇，發(fā)現(xiàn)參與者很少選擇第一輪終止，更多選擇倒數(shù)第二、三輪終止。

2 基于連續(xù)混合策略對長期蜈蚣博弈的分析

2.1 模型構(gòu)架

博弈在時刻t1開始，在時刻t100結(jié)束，時刻用tn表示（1≤n≤100）。參與人1在時刻t1開始做選擇，之后雙方輪流做選擇。參與人1、2都做完一次決策記為一輪，輪次用i表示（1≤i≤50）。若博弈持續(xù)進行，達到最終時刻t100，且選擇人仍選擇C，則雙方收益都為51。若在tn時，某一參與人選擇策略S，則其得到的收益為W（1，n），對方收益為W（2，n）。

蜈蚣博弈模型如圖1所示。

在蜈蚣博弈中，會存在下列假設(shè)，以保證各子博弈中，參與者在進行純策略選擇時，總會選擇S。

2.2 連續(xù)混合策略的應(yīng)用

我們基于理性人假設(shè)和共同知識，采用混合策略的方法分析問題。為便于計算，我們按照輪次對參與人的選擇概率及收益期望進行研究，并作出以下假設(shè)。

假設(shè)2：參與人1、2在第i輪做選擇時，合作的概率分別為、。在tn時刻，參與人1、2的收益期望分別為E（1，n）、E（2，n）。收益期望函數(shù)如下：

在混合策略中，若要參與人選擇合作，則需其合作的預(yù)期收益不小于終止的預(yù)期收益，并且其下次決策時的收益期望不小于本次決策時的收益期望。以參與人1為例，若其選擇合作，需滿足以下條件：

根據(jù)以上分析結(jié)果，我們可以得到如下推論。

推論1：作為理性經(jīng)濟人，參與人雙方為了使自身在整個系統(tǒng)內(nèi)獲得最大利益，不僅需要在每個子環(huán)節(jié)考慮到預(yù)期收益，同時還要預(yù)測到對方合作的可能性。

逆向歸納法只考慮收益層面，忽略決策概率，并且獨立分析各子環(huán)節(jié)，未充分考慮各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系，僅單純認為整體的最優(yōu)選擇是各子環(huán)節(jié)最優(yōu)選擇的集合。

推論2：當一方認為另一方在下一輪行動中更具有合作傾向時，他在本輪就會合作；否則則會停止。

另需說明，當達到合作概率臨界值時，決策人會概率性地停止合作。這一臨界值又和下一輪的收益期望相關(guān)，即收益期望與合作期望是相互影響的。

依據(jù)以上闡釋理論，我們可以進一步得到如下推論。

推論3：雙方的共同合作，是基于共同知識下對對方的信任；而雙方停止合作，是因為決策方認為對方在下一輪的合作概率將等于或低于臨界值，即個人行為受對客體主觀判斷的影響。

推論4：在達到臨界值之前，博弈一方愿意在自己決策的tn時合作，那么他在之前都會合作，這是基于他對對方的信任；在臨界值之后，博弈一方在自己決策的tn時終止，那么他在之后都會選擇終止，這是基于他認為對方會選擇終止。

推論5：個人的收益期望與對方合作期望是相互影響的，而逆向歸納法在逆向分析對方合作期望時更有實際意義。

雙方的合作期望在整體上會呈現(xiàn)遞減的趨勢，在博弈后期，提升空間有限，決策方會選擇終止攫取最后的利益，這一方式尤其體現(xiàn)于最后四期。

3 結(jié)語

根據(jù)理性人假設(shè)，參與人應(yīng)追求個人在博弈整體的最大利益，而非各子系統(tǒng)最優(yōu)方案的集合；根據(jù)收益情況，繼續(xù)博弈的潛在收益要大于過早結(jié)束的風(fēng)險；根據(jù)共同知識，雙方在知道對方愿意合作的前提下，在一定期間內(nèi)會形成穩(wěn)定的合作關(guān)系。因此，筆者提出，利用連續(xù)混合策略，正向順序計算收益期望，進而分析參與者選擇合作或終止的影響因素。該方法從整體角度對博弈系統(tǒng)進行剖析，將合作意愿這一與收益期望相互影響的要素獨立分析，重新解讀了動態(tài)博弈中對理性人假設(shè)的認識，較好地解釋了蜈蚣博弈悖論。

參考文獻

[1] 孫洪罡，劉亞相，王麗波.支付滿意率——對博弈論理性假設(shè)的新思考[J].青島大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004（9）：78-80.

[2] 潘天群.交流理性與逆向歸納法悖論的消解[J].自然辯證法研究，2005（12）：25-28.

[3] 何偉，徐飛，陳潔.蜈蚣博弈新視角——預(yù)期心理的應(yīng)用[J].上海管理科學(xué)，2006（3）：1-5.

[4] 方志耕，劉思峰，施紅星，等.破解“蜈蚣博弈”悖論：“灰數(shù)規(guī)整”順推歸納法研究[J].中國管理科學(xué)，2008（2）：180-186.

[5] 胡曉娟，秦承忠，Perry Shapiro.“顫抖”蜈蚣博弈[J].產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟評論，2011（6）：29-39.

[6] McKelvey，Palfrey.An Experimental Study of the Centipede Game[J].Econometrica，1992，60（4）：803-836.