壓縮映像原理在數列極限中的應用

□楊 柳

(陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046)

壓縮映像原理在數列極限中的應用

□楊 柳

(陜西國際商貿學院 陜西 咸陽 712046)

波蘭數學家巴拿赫于1922年提出的壓縮映像原理發展了迭代思想，并給出了Banach不動點定理，這一定理有著及其廣泛的應用，像代數方程近似解、微分方程、積分方程、隱函數理論等中的許多存在性與唯一性問題均可以歸結為此定理的推論，另外，在遞推形式的數列極限問題中也有廣泛的應用。

不動點定理；數列極限；應用

巴拿赫不動點原理——壓縮映像原理，是建立在完備的距離空間上到自身的壓縮映射，存在唯一的不動點。數學分析中很多定理都是建立在壓縮映像原理的基礎上。壓縮映像原理實質上是算子方程Tx=x的求解問題，是關于具體問題解的存在唯一性定理，它提供了線性方程解的最佳逼近，給出了解的構造方式，在數學的眾多領域都有著重要的地位和作用。

對一個方程而言，只要我們找到相應的一個迭代公式，就能夠解出這個方程，當然還會考慮到這個迭代公式的收斂性、收斂速度、解的穩定性等問題。在迭代的過程中需要迭代序列是收斂序列。例如在數值計算中，求解多元方程組，可以構造Jacobi迭代的序列，Gauss-Seide迭代序列等，不同的迭代序列的收斂速度不同，一旦收斂，即可求得在一定誤差范圍內的近似解[1]。

求解方程f(x)的根，可令g(x)=f(x)-x，即把方程問題轉化為求g(x)的不動點問題。

數學分析中隱函數定理，微分方程中Picard定理(微分方程解的存在唯一性定理)都是壓縮映像原理的具體形式，均是構造出一個映像，證明此映像是收斂的。

“壓縮映像”原理

定理 (1) 對于任一數列{xn}而言，若存在常數r，使得?n?N，恒有|xn+1-xn|≤r|xn-xn-1|,0＜r＜1則數列{xn}收斂。

(2)特別，若數列{xn}利用遞推公式給出：

xn+1=f(xn) (n=1,2,…)，其中 f為某一個可微函數，且?r?R，使得 |f'(x)|≤r＜1 (?x?R)，則數列{xn}收斂[2]。

眾所周知，單調有界定理是研究遞推形式數列的有力工具，但在證明時比較復雜，而壓縮映像原理能夠利用函數的導數來判定數列極限是否存在，相對于單調有界原理，壓縮映像能更有效的判定數列極限存在，并且簡化計算過程，便于操作。

再證明數列有界：顯然1≤x0＜2，若假設1≤xn＜2，則，故對于一切n?N都有1≤xn＜2；

由單調有界定理可知，數列{xn}收斂，記在，A=0或A=2。因為數列單調遞增，所以A=0不符合題意，故得中取極限得xn=2。

證2 利用壓縮映像定理，如證1，已經證1≤ xn＜2，對有

滿足壓縮映像原理的第(2)個條件，因此數列{xn}收斂，其余同證1.

例2 設x1＞0，為常數)，求

故xn+1=f(xn)為壓縮映像，數列{xn}收斂。設兩邊取極限得：A=

由例1和例2可以看出，在解決遞推數列的極限的問題時，可以先構造一個壓縮映射f，由壓縮映射原理可以判定遞推數列的極限是否存在，若存在，設極限為A，則有A=f(A)，從方程中解得A，即為所求極限。由于數列的前有限項對極限沒有影響，因此，在構造映射的時候可以選擇去掉前有限項。

[1]徐萃薇，孫繩武.計算方法引論[M].北京：高等教育出版社.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社.

1004-7026（2017）10-0127-02

G634.6

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10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.092