變參數Rayleigh型p-Laplacian微分方程周期解的存在性

陳仕洲

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州521041）

變參數Rayleigh型p-Laplacian微分方程周期解的存在性

陳仕洲

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州521041）

應用重合度理論和一些分析技巧，研究了一類含有變參數Rayleigh型p-Laplacian廣義中立型微分方程，獲得其周期解存在性的新的充分條件，推廣和改進了已有文獻中的相關結論.

周期解；Rayleigh型p-Laplacian方程；中立型算子；重合度

1 引言及引理

由于含偏差變元的p-Laplacian微分方程周期解存在性在生態學、物理學和控制理論等領域應用廣泛，因而引起人們極大的興趣，目前已有許多研究成果[1-7]．例如文獻[5]、文獻[6]研究了一類具偏差變元的Lienard型方程

文獻[7]研究了

周期解的存在性．本文將應用Mawhin連續性定理和一些分析技巧，研究一類更廣泛的p-Laplacian Rayleigh方程

引理1[7]如果,則映射A在Ω?CT上存在連續逆映射A-1，滿足

設X和Y都是實Banch空間，L:DomL?X→Y是指標為零的Fredholm映射，DomL表示L的定義域，即dimKerL=codimImL＜∞.，且ImL是Y中的閉集．存在連續投影P:X→X,Q:Y→Y使得

ImP=kerL,ImL=KerQ=Im(I-Q),X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ,

引理2[1]（Manasevich-Mawhin）設X，Y都是Banach空間，L:DomL?X→Y是指標為零的Fred?holm映射，Ω?X為有界開集，上是L-緊的．若下列條件成立

（3）deg{JQN,Ω?kerL,0}≠0,其中J:ImQ→KerL是一個同構.

引理3[8]設

為應用引理2，改寫方程（3）為如下形式：

顯然方程組（5）等價于Lx=Nx.

由L的定義，可以得到

因此L是指標為零的Fredholm映射．定義映射P:X→X,Q:Y→Y

2 主要結論

定理1設存在常數r1,r2,r4,k1,k2,k3≥0;d＞0,r3＞r1滿足：

（A4）下列條件之一成立：

則方程（3）存在一個T-周期解.

證明考慮方程Lx=λNx,λ∈(0,1).即

對（9）式兩邊在[0,T]上取積分可得

根據積分中值定理，?t1∈[0,T],s.t.

我們斷言：?t2∈[0,T],s.t.

下面分兩種情形證明斷言（12）成立：

情形1如果|x1(t1-τ(t1)|≤d，則顯然有

因而

故引理2的條件（3）被滿足．根據引理2知，方程Lx=Nx在中有解，即x1(t)是方程（3）的T-周期解.

情況（ii）如果c0＞1，由引理1，

由此可得

余下部分類似于情況（i）的證明，不再贅述.

類似于定理1，容易證明

定理2定理1中的條件（A3）換為

其余條件不變，則方程（3）存在一個T-周期解.

3 例子和注記

考慮中立性微分方程

[1]MANASEVICH R,MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems withp-Laplacian-like operators[J].J.Differential Equations,1998,145(2):367-393.

[2]XIAO B,LIU B.Periodic solutions for Rayleigh type p-Laplacian equation with a deviating argument[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10(1):16-22.

[3]CHEUNG W S,REN J.Periodic solutions for p-Laplacian Rayleigh equations[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Ap?plications,2006,65(10):2003-2012.

[4]LIU B.Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Liénard type p-Laplacian equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,2008,69(2):724-729.

[5]DU B,HU X.Periodic solutions to a p-Laplacian neutral Rayleigh equation with deviating argument[J].Applications of Mathe?matics,2011,56(3):253-264.

[6]HE Z M,SHEN J H.Existence of periodic solutions for p-Laplacian neutral Rayleigh equation[J].Advances in Difference Equations,2014,(1):67.

[7]XIN Y,ZHAO S.Existence of periodic solution for generalized neutral Rayleigh equation with variable parameter[J].Advanc?es in Difference Equations,2015,(1):209.

[8]LI J W,WANG G Q.Sharp inequalities for periodic functions[J].Applied Math.E-Note,2005,5:75-83.

Existence of Periodic Solutions for a Rayleigh Type p-Laplacian with Variable Parameter

CHEN Shi-zhou
（College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

By application of coincidence degree theory and some analysis skills,we study a Rayleigh type p-Laplacian generalized neutral differential equation with variable parameter.Some new sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained.The results have extended and improved the related results in the literatures.

periodic solution；Rayleigh type p-Laplacian equation；neutral operator；coincidence degree

O 175.12

A

1007-6883（2017）03-0008-07

責任編輯朱本華周春娟

2017-04-10

廣東省高等教育教學改革項目（項目編號：GDJG20142396）；廣東省高等學校教學團隊建設項目（項目編號：粵教高函[2015]133號）；韓山師范學院理科團隊項目（項目編號：LT201202）．

陳仕洲（1959-），男，廣東汕頭人，韓山師范學院數學與統計學院副教授.