多途徑解決數(shù)學(xué)問題策略探討

許真玉

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的教學(xué)目標(biāo)中，就把解決問題作為課程目標(biāo)。這里的“解決問題”不是以往“識(shí)別題型，模仿例題，套用解題”的解題方式，而是要求我們教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)著眼于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，開啟學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，最大限度地挖掘?qū)W生的潛能，從而使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從周圍情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和形成解決問題的策略。

“策略”是選擇和使用方法的思想指導(dǎo)，意在指向順利地完成任務(wù)，并能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)的思維與行動(dòng)的最有效、最簡(jiǎn)潔的方式方法，完全是學(xué)生自身內(nèi)部形成的。

經(jīng)過近幾年的課改實(shí)踐探索，我初步形成了一些解決問題的基本策略：

一、作圖

這是一種具體化的策略，可以幫助學(xué)生審題、分析和檢驗(yàn)。作圖不僅指線段圖，也包括實(shí)物簡(jiǎn)圖等。小學(xué)生在紙上畫畫圖可以拓展思路，對(duì)解題有一定的幫助，靈活運(yùn)用這項(xiàng)解題策略，還能使學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間想象能力得到充分的發(fā)展，也比較符合小學(xué)生具體形象性的思維特點(diǎn)。

例如我讓學(xué)生解答這樣一道問題：在一個(gè)正方形池塘的四周種樹，每邊都種有20棵，并且四個(gè)頂點(diǎn)都種有一棵樹，池塘四周共種樹多少棵？很多同學(xué)都做出這樣的答案：20×4=80（棵）。這時(shí)我就引導(dǎo)學(xué)生畫出每邊種4棵或5棵情況的示意圖，來歸納總結(jié)規(guī)律。從示意圖上可以看出，每邊種4棵，一共要種12棵而不是4×4=16（棵），每邊種5棵是16棵，而不是5×4=20棵。為什么不論每邊種4棵或5棵，都是比原來設(shè)想的少4棵呢？學(xué)生通過仔細(xì)觀察示意圖，發(fā)現(xiàn)原來解答的錯(cuò)誤在于把四個(gè)頂點(diǎn)上的4棵樹計(jì)算了2次，所以都多算了4棵，正確的解答方法應(yīng)該把重復(fù)計(jì)算的4棵減去。所以正確答案應(yīng)是：20×4–4=76（棵）。

畫圖本身是一種動(dòng)手操作能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在審題后畫圖，促使學(xué)生的空間想象能力得到了發(fā)展，而借助作圖這一教學(xué)策略，難題也就迎刃而解了。

二、列舉

列舉是一種重要的數(shù)學(xué)思維形式，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)依靠單純的列式似乎存在一定的困難，如果把屬于答案的這些對(duì)象逐一找到，問題的答案也就有了。而不重復(fù)、不遺漏地一一列舉，需要學(xué)生有條理的進(jìn)行思考，這是發(fā)展學(xué)生思維的好時(shí)機(jī)。

例如：導(dǎo)游帶著38個(gè)人去住宿，只有2人間和3人間的客房，怎樣安排客房全部住滿，有幾種安排方式？象這樣的解決問題采用列舉法就能把所有可能有序羅列了：（38+1）=39通過列舉法醒目地出現(xiàn)了7種安排方式，顯得淺顯而易掌握。

三、轉(zhuǎn)化

所謂解決問題的轉(zhuǎn)化策略，就是在解題過程中，不斷轉(zhuǎn)化解題方向，從不同的角度、不同的側(cè)面去探討問題的解法、尋找最佳的方法。轉(zhuǎn)化法是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要技巧，分散難點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)，它把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目；把繁難的題目轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的題目；把抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的題目。

如：在一個(gè)正三角形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，在圓內(nèi)再畫一個(gè)最大的正三角形。已知大正三角形的面積為48平方厘米，求小正三角形的面積是多少？

乍一看圖，簡(jiǎn)直“疑無路”。但轉(zhuǎn)動(dòng)小正三角形成圖二時(shí)，學(xué)生頓時(shí)豁然開朗，一看便知道小正三角形的面積是大正三角形的1/4。

再如，當(dāng)學(xué)生品味到運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法能從（已知）長(zhǎng)方形面積中推得（未知）平行四邊形面積公式時(shí)，要求學(xué)生通過剪拼，在獨(dú)立思考中解決三角形、梯形的面積公式，實(shí)現(xiàn)自行轉(zhuǎn)化策略解決問題。

在平時(shí)的教學(xué)中，我們可以精心設(shè)計(jì)此類問題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，在動(dòng)態(tài)變換中獲取問題解決的途徑，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

四、假設(shè)

假設(shè)法解題是奧數(shù)學(xué)習(xí)中一種常用的思維方法。假設(shè)法要求題中要有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，思考時(shí)可以先假設(shè)要求的兩個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)相等，或者先假設(shè)兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的已知條件進(jìn)行推算，并對(duì)照已知條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，最后找到答案。假設(shè)法對(duì)解雞兔同籠問題特別適用。

例如：籠子里有雞和兔共30只，共有70條腿，問雞和兔各有幾只？

此題無論是從條件出發(fā)用綜合法去解答，還是從問題出發(fā)用分析法去解答，都很難求答案。因此，我們可以假設(shè)30只全是雞，則腳的只數(shù)應(yīng)為60只，比題目中的70只少了10只，因?yàn)槊恐浑u比兔少2只腳，所以10只腳就有10÷2=5（只）兔。列式：30×2=60（只）70-60=10（只）4-2=2（只）10÷2=5（只）30-5=25（只）答：兔有5只，雞有25只。此題也可以假設(shè)全是兔，如果全是兔，則腳的只數(shù)為30×4=120（只），比題目中的70只多了50只，因?yàn)槊恐煌帽入u多2只腳，所以50只腳就有50÷2=25（只）雞。

假設(shè)法解題會(huì)出現(xiàn)數(shù)量上的差異，此刻再進(jìn)行合理調(diào)整，就能分別解答幾個(gè)不同數(shù)量的答案了。

五、倒推

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時(shí)也需要用倒過來推想的策略分析數(shù)量關(guān)系，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的逆向思維是有價(jià)值的。所謂倒推有兩個(gè)方面的含義：一是思維的倒推——即通過學(xué)生的逆向思維將問題進(jìn)行倒推；二是計(jì)算的倒推——即計(jì)算時(shí)通過計(jì)算性質(zhì)的變化進(jìn)行倒推。

例如：工人們修一段路，第一天修了公路全長(zhǎng)的一半還多2千米，第二天修了余下的一半還少1千米，還剩20千米沒有修完，公路全長(zhǎng)是多少千米？從“第二天修了余下的一半還少1千米，還剩20千米”往前推算，20-1=19（千米）正好是第一天修后余下的一半，第一天修后余下的是19×2=38（千米）。再?gòu)摹暗谝惶煨蘖斯啡L(zhǎng)的一半還多2千米”往前推，第一天修后余下的38千米加上2千米，得到38+2=40（千米），就是公路全長(zhǎng)的一半，那么公路全長(zhǎng)的是40×2=80（千米）。

再如：某人在演算一道題時(shí)，應(yīng)該將一個(gè)數(shù)用5乘，再被3除，但是他誤用3乘，再被5除，因此得到45。正確的得數(shù)應(yīng)該是多少？解答這題應(yīng)該從逆運(yùn)算關(guān)系求出原數(shù)（45×5÷3）×5÷3=125。用倒過來想的方法解答此類題型就顯得非常簡(jiǎn)單了。

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：解決問題是指在沒有現(xiàn)成的解題方法時(shí)，尋找一條解題途徑，是從困難中找到出路，尋找一條繞過障礙的道路，達(dá)到最終的解決問題。而策略的教學(xué)就是學(xué)生在學(xué)習(xí)解決問題的過程中來提升而來的，因此，解題策略是多樣的、靈活的。教師在教學(xué)過程中，要增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用解題策略的意識(shí)，加大學(xué)生體驗(yàn)成功的頻率，提高他們利用數(shù)學(xué)解題策略的能力，達(dá)到“學(xué)以致用”的目的，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合性提高，實(shí)現(xiàn)“柳暗花明”的效果。