單純形方法中使用數(shù)形結(jié)合解析的幾個(gè)問(wèn)題

蔡江波

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科在現(xiàn)階段高職院校基礎(chǔ)性學(xué)科培養(yǎng)體系中處于重要的位置，它對(duì)于學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)知體系的形成具有重要意義.線性規(guī)劃方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展路徑中用于解決復(fù)雜線性約束條件下的最優(yōu)解問(wèn)題的基本方法，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)中具備極其深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)影響意義.

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué)；單純性方法；數(shù)形結(jié)合

單純形方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中解決線性規(guī)劃最優(yōu)解問(wèn)題的基礎(chǔ)的和首要的應(yīng)用方法，對(duì)于有效解決無(wú)最優(yōu)解的線性規(guī)劃問(wèn)題、退化解線性規(guī)劃問(wèn)題，以及多重最優(yōu)解的線性規(guī)劃問(wèn)題，具備顯著的促進(jìn)和保障作用.由于現(xiàn)階段絕大多數(shù)高職院校學(xué)生尚且無(wú)法做到對(duì)單純形方法求解現(xiàn)行規(guī)劃問(wèn)題的本質(zhì)能夠準(zhǔn)確理解，因而，給實(shí)際教學(xué)效果造成了顯著的不良影響，而數(shù)形結(jié)合方法在實(shí)際教學(xué)中的引入和運(yùn)用，為有效解決上述教學(xué)困境做出了重要貢獻(xiàn).鑒于此，本文將會(huì)圍繞用數(shù)形結(jié)合解析單純形方法教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題展開(kāi)簡(jiǎn)要闡釋.

一、無(wú)最優(yōu)解的線性規(guī)劃問(wèn)題

在線性規(guī)劃數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算處理過(guò)程中，受所求問(wèn)題和可行域便捷約束條件等因素的共同影響，通常會(huì)出現(xiàn)最優(yōu)解不存在現(xiàn)象，而且針對(duì)這一數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算和證明，往往也是具體教學(xué)環(huán)節(jié)開(kāi)展過(guò)程中的難點(diǎn).

例1求解如下線性規(guī)劃問(wèn)題：

maxS=3X1+2X2，其約束條件為X1-X2≤2.00；200X1-X2≤6.00；X1≥0；X2≥0.

解根據(jù)題干和已知條件，先將原有問(wèn)題的表述語(yǔ)句轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并同時(shí)引入松弛數(shù)學(xué)變量X3和X4，這時(shí)可以得到新的問(wèn)題表達(dá)語(yǔ)句為maxS=3.00X1+2.00X2+0X3+0X4.其基本的數(shù)學(xué)規(guī)劃約束條件為X1-X2+X3=200；2.00X1-X2+X4≤6.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學(xué)運(yùn)算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運(yùn)用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表1所示數(shù)據(jù)結(jié)果.

在線性規(guī)劃數(shù)學(xué)運(yùn)算條件下的可行基Bi=（P1，P2）具體對(duì)應(yīng)的單純形測(cè)算數(shù)據(jù)量表中，由于檢驗(yàn)性控制參數(shù)（-Cj）項(xiàng)目中的（-7.00）數(shù)據(jù)項(xiàng)具有非正數(shù)屬性表現(xiàn)特征，因而，應(yīng)當(dāng)針對(duì)現(xiàn)有的非基變量項(xiàng)目（X3）實(shí)施進(jìn)基運(yùn)算處理，與此同時(shí)，由于非基變量項(xiàng)（X3）在這一運(yùn)算處理?xiàng)l件下，所對(duì)應(yīng)表格數(shù)據(jù)列中的（-1.00）和（-2.00）項(xiàng)均具有非正數(shù)的數(shù)學(xué)屬性特征，直接導(dǎo)致這一數(shù)學(xué)運(yùn)算處理情境之下未能形成基變量處理項(xiàng)目，因而，可以確定這一線性規(guī)劃問(wèn)題在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)約束條件下不存在最優(yōu)解求解結(jié)果.

以線性規(guī)劃問(wèn)題求解活動(dòng)的基本思路展開(kāi)簡(jiǎn)要分析，如果某一檢驗(yàn)性參數(shù)所在單純形數(shù)據(jù)表的所在列向量中不存在數(shù)值表征屬性為正數(shù)的數(shù)據(jù)項(xiàng)，則直接可以判定，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問(wèn)題不存在最優(yōu)解.

以例題1所列示的數(shù)學(xué)問(wèn)題場(chǎng)景展開(kāi)分析，基于初始化數(shù)據(jù)求解列表中的T（B1）數(shù)據(jù)列，即可明確實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題中最優(yōu)解存在與否的準(zhǔn)確判斷，由于檢驗(yàn)性控制參數(shù)（-Cj）項(xiàng)目所在數(shù)據(jù)列中的（-2.00）<0，直接可知檢驗(yàn)性控制參數(shù)（-Cj）項(xiàng)目所在的第二列數(shù)據(jù)元素中不存在具備正數(shù)數(shù)學(xué)屬性的數(shù)據(jù)項(xiàng)目，因而，導(dǎo)致例題1所列示的線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，在現(xiàn)有的約束條件之下，不存在最優(yōu)解.在此基礎(chǔ)上，本文將結(jié)合幾何圖形，對(duì)例題1的數(shù)學(xué)描述特征展開(kāi)分析.

如圖1所示，由于在題干所述的初始性數(shù)學(xué)約束條件中，（X2）項(xiàng)的約束系數(shù)均為非正數(shù)，表明在現(xiàn)有的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)條件之下，（X2）處于不受約束狀態(tài)，也就是說(shuō)，例題1對(duì)應(yīng)的可行域圖形具有無(wú)上界特征.與此同時(shí)，對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題求解過(guò)程中的目標(biāo)直線簇S而言，其最優(yōu)化求解過(guò)程中的方向，是沿著可行無(wú)上界域的上方呈現(xiàn)無(wú)限變化趨勢(shì)的，因而，可以在圖形分析背景下，證實(shí)例題1所述問(wèn)題不存在最優(yōu)解.

二、退化解線性規(guī)劃問(wèn)題

例2求解如下線性規(guī)劃問(wèn)題：

maxS=-2.00X1-5.00X2；其約束條件為X1+3.00X2≤6.00；X1-X2≤2.00；X1≥0；X2≥0.

解根據(jù)題干和已知條件，先將原有問(wèn)題的表述語(yǔ)句轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并同時(shí)引入松弛數(shù)學(xué)變量X3和X4，這時(shí)可以得到新的問(wèn)題表達(dá)語(yǔ)句為maxS=2.00X1+5.00X2+0X3+0X4.

其基本的數(shù)學(xué)規(guī)劃約束條件為X1+3.00X2+X3=600；X1-X2+X4=2.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學(xué)運(yùn)算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運(yùn)用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表2所示數(shù)據(jù)結(jié)果.

通過(guò)對(duì)基項(xiàng)參數(shù)T（B3）中列示的相關(guān)內(nèi)容展開(kāi)具體分析，可知例題2中所列線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為S=-1000，此時(shí)X1=0，X2=2.00.

在實(shí)施第一次迭代運(yùn)算處理過(guò)程中，如果在完成基變量項(xiàng)目選擇環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上，同時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)具備等同性比值特征的最小值，則通常可以任意選取其中的一個(gè)作為后續(xù)運(yùn)算處理過(guò)程中的基礎(chǔ)條件.如果在完成第一次迭代運(yùn)算處理基礎(chǔ)上出現(xiàn)了基變量項(xiàng)目X1=0的運(yùn)算處理結(jié)果，則通常認(rèn)為這一運(yùn)算條件下獲取的最優(yōu)解，具備退化特征.

在實(shí)際開(kāi)展基變量選取環(huán)節(jié)過(guò)程中，如果同時(shí)存在兩個(gè)或者是兩個(gè)以上的、具備等同性比值特征的最小值，如果在這一運(yùn)算處理情境下，隨機(jī)選取任意一個(gè)最小值展開(kāi)后續(xù)的進(jìn)基性計(jì)算分析規(guī)劃求解處理過(guò)程中，往往會(huì)同時(shí)出現(xiàn)一個(gè)或者是多個(gè)基變量參數(shù)項(xiàng)目同時(shí)為零的運(yùn)算處理結(jié)果，這時(shí)通常認(rèn)為實(shí)際求解獲取的基礎(chǔ)解具備表征明顯的退化性特征.

在線性規(guī)劃問(wèn)題的運(yùn)算求解構(gòu)成中，退化解計(jì)算結(jié)果的出現(xiàn)，將會(huì)直接導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)無(wú)法獲取到及時(shí)有效的數(shù)學(xué)改良，因而，在運(yùn)用一般運(yùn)算法處理后獲取的新的線性規(guī)劃解，往往依然具有退化特征，直接導(dǎo)致線性規(guī)劃問(wèn)題的求解處理過(guò)程，在有限的區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出循環(huán)往復(fù)特征，始終無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)解的求解處理目標(biāo).為切實(shí)解決退化解運(yùn)算處理過(guò)程中的循環(huán)往復(fù)現(xiàn)象，通常需要：分別計(jì)算出緊接求解列之后一列的元素與求解列相應(yīng)的元素的比值數(shù)據(jù)結(jié)果，并從中選取比值數(shù)據(jù)最小的一個(gè)數(shù)據(jù)行作為最終應(yīng)用的求解行.

例題2中所列示數(shù)學(xué)情境，其具體涉及的運(yùn)算求解處理過(guò)程，不具有循環(huán)性表現(xiàn)特征，直接導(dǎo)致該問(wèn)題通過(guò)換基迭代的計(jì)算處理方法，能夠獲取到最優(yōu)化的結(jié)果.在引入數(shù)形結(jié)合分析方法基礎(chǔ)上，可以獲取如圖2所示的可行域.

在圖2所示的可行域求解圖形中，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的恰好就是基于單純形法獲取的基本解系，在單純形計(jì)算處理方法背景下所表現(xiàn)的變化特征.

事實(shí)上，在例題2所述的問(wèn)題情境中，點(diǎn)A（0，2）在兩個(gè)獨(dú)立存在的線性規(guī)劃約束條件的共同約束之下，就可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的運(yùn)算描述.而本組例題中同時(shí)給出了三個(gè)線性規(guī)劃可行域邊界約束條件，即X1=0；X1+X2=2.00；X1+3.00X2=6.00.從這里可以知道，在線性規(guī)劃可行域的便捷約束條件數(shù)量超過(guò)極點(diǎn)確定過(guò)程中的約束條件個(gè)數(shù)限制條件下，通常會(huì)導(dǎo)致線性規(guī)劃數(shù)學(xué)問(wèn)題，在具體的求解處理過(guò)程中，出現(xiàn)退化解現(xiàn)象，給最優(yōu)解的計(jì)算分析求解處理過(guò)程造成極其顯著的技術(shù)困難.

三、結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)數(shù)形結(jié)合解析單純形方法教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題，本文從無(wú)最優(yōu)解的線性規(guī)劃問(wèn)題、退化解線性規(guī)劃問(wèn)題兩個(gè)基本方面，結(jié)合對(duì)具體例題的計(jì)算分析處理，具體論述了線性規(guī)劃問(wèn)題求解過(guò)程中最優(yōu)解的不存在現(xiàn)象，以及可能發(fā)生的循環(huán)性退化解問(wèn)題，旨在為相關(guān)領(lǐng)域的研究人員和一線教師提供借鑒.

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