例說異面直線所成角求法的優(yōu)化

王統(tǒng)文

空間中的角的求法不外乎有兩類：一類是將空間角作出后通過解三角形完成，也就是定義法；一類是利用空間向量方法完成求解，也就是向量法.兩類解法都有自己的優(yōu)點與不足，前者優(yōu)點在于運算略顯簡捷但作角不易，有時即便將空間角作出也不能求得；后者的優(yōu)點在于思路比較簡單，但運算較為復(fù)雜，需要建坐標系時建系難度較大.現(xiàn)舉一例，說說兩類解法的應(yīng)用.

例三棱錐P-ABC中，△PAB是正三角形，PA⊥PC，PA=4，PC=BC=42，E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點，求異面直線BE與PF所成角的余弦.

初步嘗試如圖1，BE所在的平面PAB與PF所在的平面PBC的交線為PB，取PB的中點H，過H作HM∥BE，HN∥PF，HM與PA交于M，HN與BC交于N，則直線HM與HN相交所成的銳角就是BE與PF所成的角.按照這種方法得到的角，求其余弦時要先求出MN，這樣做較難.

優(yōu)化方案如圖2，連接AF，BE所在的平面PAB與PF所在的平面PAF的交線為PA，由于E在交線PA上，過E作EG∥PF，EG與AF交于點G（易知G是AF的中點），則BE與EG所成的銳角就是BE與PF所成的角.連接BG，在△BEG中求出∠BEG即為所求，這只需要求出△BEG的三條邊BE，EG及BG即可.

解法1（平移法）取AF的中點G，連接EG，BG.因為E是AP的中點，所以EG∥PF，所以∠BEG為異面直線BE與PF所成的角.

利用空間向量，也可以求出空間角.用向量法求空間角時，一般先找到三條兩兩垂直且交于一點的直線，分別以這三條直線作x，y，z軸建立空間直角坐標系后用向量的坐標形式求解；或者選擇空間三個不共面的一組向量作為基底向量，用基底向量表示兩異面直線的方向向量，于是就可以用空間向量方法完成解答.依據(jù)上述基本方法，可探求本題的向量解法.

探索1由于AB⊥BC，可考慮以B為坐標原點，BC，BA為x軸、y軸建立空間直角坐標系（如圖3）.則A，B，C的坐標就分別為A（0，6，0），B（0，0，0），C（8，0，0）.此時只要能確定點P的坐標，問題就能解決，為此，可過P作PM⊥平面ABC，垂足為N，再過N作NM⊥AB于M，在Rt△PNM中求出PN，MN，但這不容易.考慮到AB=AP，BC=PC，取PB的中點O可以得到AO⊥PB，CO⊥PB等垂直關(guān)系.若將三棱錐旋轉(zhuǎn)，以△PBC為底面，則可以點O為原點，PB與OC分別為x，y軸建立空間直角坐標系（如圖4），就可以完成解答.