解立體幾何題的思路分析

梁華

立體幾何是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，通過立體幾何的相關(guān)習(xí)題的訓(xùn)練，既能夠訓(xùn)練空間思維能力和想象邏輯能力，又能夠鍛煉數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的有效題目.對(duì)于立體幾何的解題來說，不斷進(jìn)行習(xí)題解決的過程就是對(duì)知識(shí)不斷鞏固和重復(fù)的過程，解決立體幾何的相關(guān)習(xí)題，既能復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，又能夠應(yīng)用新思想，拓展新思路.

一、數(shù)形結(jié)合，化抽象為具體

數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學(xué)中解決習(xí)題的一種常用方式，在數(shù)學(xué)的多種習(xí)題中都有應(yīng)用，比如，函數(shù)類問題需要結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行解決，橢圓、雙曲線問題需要借助畫圖等，在立體幾何中，數(shù)形結(jié)合方法也同樣適用，甚至應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使立體幾何的習(xí)題更加簡單化.數(shù)形結(jié)合方法就是指，在進(jìn)行習(xí)題的解決過程中，將數(shù)學(xué)問題與立體幾何的圖形問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，將原本抽象的數(shù)學(xué)圖形問題轉(zhuǎn)換為圖形與代數(shù)相結(jié)合的方式進(jìn)行解決.通過數(shù)形結(jié)合的解題方法，可以使原本抽象的圖形變得具體化、形象化、方便理解，從而使得解決問題的過程變得更加輕松.在立體幾何中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法需要我們讀懂題目，了解題目中圖形的具體特征，能夠根據(jù)圖形的特點(diǎn)和規(guī)律構(gòu)造相關(guān)的代數(shù)方程，最終通過解方程的形式解決立體幾何的相關(guān)問題.

例1如圖所示，在一個(gè)長方體房間中，一只螞蟻要從房間的A點(diǎn)爬到C′點(diǎn)，已知長方體房間為6 m×8 m×10 m，求螞蟻需要爬行的最短距離？

分析題目要求的是螞蟻的最短路程，這是一個(gè)最短距離的問題，但是最短距離的問題只在平面圖形中涉及，在立體幾何中又該如何解決呢？于是解決問題的最簡單有效的方法就是將立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，進(jìn)而通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行解決.在這道題目中，可以將立體圖形進(jìn)行展開，于是所求的最短路程就是平面中線段AC′的距離，計(jì)算的方法就是AC′=（AD+CD）2+CC′2.這樣，通過將立體幾何的問題與代數(shù)問題進(jìn)行結(jié)合，就可以使立體幾何的問題變得簡單、具體、易于理解.

二、向量計(jì)算，化復(fù)雜為簡單

在立體幾何的解決方法中，還有一種簡單有效的解決問題的方法，就是向量計(jì)算法.向量計(jì)算法是指在利用立體幾何的三視圖以及斜二測圖，通過在立體幾何中建立三維坐標(biāo)系，代入向量，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)語言，實(shí)現(xiàn)立體幾何的計(jì)算的方法.立體幾何的計(jì)算往往涉及平方計(jì)算、開方計(jì)算，在計(jì)算數(shù)據(jù)簡單的情況下，平方與開方計(jì)算能夠相對(duì)簡單，但是在計(jì)算數(shù)據(jù)復(fù)雜的情況下，計(jì)算的難度就大幅度提升，計(jì)算的錯(cuò)誤率也會(huì)隨之提升，而在立體幾何的計(jì)算中應(yīng)用向量可以大大降低計(jì)算的難度.在立體幾何的向量計(jì)算法中，需要對(duì)向量的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷，進(jìn)而找出向量的夾角或者利用向量之間的平行以及垂直關(guān)系實(shí)現(xiàn)題目的計(jì)算.向量計(jì)算的方法在立體幾何求解異面直線間距的問題時(shí)，可以有效減少計(jì)算的時(shí)間，同時(shí)大大提高解題的正確率.

例2如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)正方體ABCO-A′B′C′D′，其棱長是a，則A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F之間的距離為多少？

解析由于題目中給出了直角坐標(biāo)系，顯然是讓我們利用向量法進(jìn)行計(jì)算.由于題目的已知，所以不需要我們?cè)俳⒅苯亲鴺?biāo)系進(jìn)行計(jì)算，我們可以根據(jù)給出的圖，找出所需要的點(diǎn)

三、分割補(bǔ)充，化雜亂為規(guī)則

在數(shù)學(xué)習(xí)題中，對(duì)圖形進(jìn)行分割或者補(bǔ)充來簡化原本的題目也是一種數(shù)學(xué)思想.立體幾何中的割補(bǔ)法就是這種數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)物，割補(bǔ)法分為兩個(gè)方面，分割：即將原來的立體圖形進(jìn)行分割，分割成多個(gè)易于計(jì)算的幾何體，方便問題的解決.補(bǔ)充：即在原有立體圖形的基礎(chǔ)上，對(duì)原來的圖形進(jìn)行補(bǔ)充，使之成為一個(gè)易于觀察的幾何體，方便計(jì)算.不管是分割還是補(bǔ)充，其根本目的都是為了簡化計(jì)算，從而將原本的不規(guī)則立體圖形轉(zhuǎn)換為規(guī)則的立體幾何圖形，通過這樣的分割和補(bǔ)充的方法解決立體幾何的問題，對(duì)數(shù)學(xué)思維以及空間想象能力的培養(yǎng)也大有好處，是一種高效、有益的解決數(shù)學(xué)問題的方法.

例3如圖所示，有一個(gè)被平面截得的圓柱體，被截后，其最長的母線長為5，最短的母線長為2，且圓柱體的底面半徑為3，求被截后的幾何體的體積是多少？

分析對(duì)于這樣的題目，我們?cè)诳吹筋}目之后，知道該幾何體是由圓柱體被截后得到的，那么要計(jì)算該圓柱體的體積，我們可以采用補(bǔ)充法，運(yùn)用想象，我們將兩個(gè)完全相同的幾何體進(jìn)行拼湊，使之成為一個(gè)完整的圓柱體，這樣就能夠通過求解圓柱體的體積，進(jìn)而求出不規(guī)則幾何體的體積，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

總而言之，對(duì)于立體幾何習(xí)題，只要掌握好解決的每一種方法：數(shù)形結(jié)合法、向量計(jì)算法以及割補(bǔ)法，那么立體幾何的問題就能迎刃而解.面對(duì)立體幾何的題目，應(yīng)當(dāng)保持冷靜的心態(tài)，不應(yīng)當(dāng)被其煩瑣的計(jì)算、復(fù)雜的思路所困擾，而是應(yīng)當(dāng)進(jìn)行認(rèn)真的審題、仔細(xì)的計(jì)算，在不斷的練習(xí)中逐漸提高自身的數(shù)學(xué)邏輯能力以及空間想象能力，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)的提升.