縱談數(shù)e

馬春雨

【摘要】數(shù)e是數(shù)學中的重要常數(shù)之一.在基礎教育和高等教育的教材中對e有不同角度的定義.本文主要從由來和定義兩方面對e進行介紹.

【關(guān)鍵詞】數(shù)e；由來；定義

歷史上數(shù)e的出現(xiàn)離不開對數(shù)的研究.17世紀初，蘇格蘭數(shù)學家約翰·納皮爾發(fā)明了對數(shù).1618年，他在出版的著作中附錄了一張自然對數(shù)表.自然對數(shù)的出現(xiàn)是歷史上第一件與數(shù)e有關(guān)的事.但遺憾的是，當時人們并不知道自然對數(shù)的底就是常數(shù)e.

首次發(fā)現(xiàn)數(shù)e的是數(shù)學家雅各布·貝努力.他在1683年研究復利時，證明了當n趨近于無窮時數(shù)列1+1nn有極限，這個極限值其實就是數(shù)e.但貝努力當時并沒有認識到這個極限與對數(shù)間的關(guān)系，也沒有把兩者聯(lián)系在一起.

數(shù)e第一次被正式提出是在1690年數(shù)學家萊布尼茲寫給惠更斯的信中，但他將這個常數(shù)記為b，而不是e.

最后，是由歐拉確定了用字母e表示這個常數(shù)，原因有多種說法：一說是因為e是“指數(shù)”（exponetial）的首字母；另一說法是a，b，c，d有其他常用表示，e就成了第一個可用的字母；還有一說是歐拉用自己名字Euler的首字母，不過這更可能是個巧合，因為歐拉是個謙虛的人.歐拉從1727年就開始對e進行研究.在1748年出版的《無窮小分析引論》中，他對自己的發(fā)現(xiàn)作了完整的敘述和總結(jié)：他同樣把數(shù)e定義為極限 limn→∞1+1nn，并證明了e=1+11！+12！+13！+…；他取上述公式的前20項進行計算給出數(shù)e的前18位：e≈2.718281828459045235；他定義了以e為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（即自然對數(shù)）；此外他給出了數(shù)e和以e為底的指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，以及它們的連分數(shù)展開式；最突出的是他借助于e證明了著名公式eiπ+1=0，被稱為歐拉公式.

自此，以e為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)逐漸進入數(shù)學的各個領(lǐng)域，成為分析解決問題必不可少的工具.

在基礎教育階段，數(shù)e出現(xiàn)在高中數(shù)學必修一對數(shù)那一章節(jié)，教材中簡略提到：“有一種以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對數(shù)，稱為自然對數(shù).”在維基百科中，數(shù)e的定義為：“把自然對數(shù)的底稱為數(shù)e.”這構(gòu)成了一個定義的循環(huán)，我們不禁會想為什么將數(shù)值如此奇怪的e稱為“自然”？

17世紀中葉，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)雙曲線下的面積和自然對數(shù)之間有非常奇妙的關(guān)系∫x0dxx=ln|x|，并逐漸發(fā)現(xiàn)許多重要的函數(shù)、極限、微分和積分都與自然對數(shù)密切相關(guān).利用微積分的知識就能解釋出e的“自然性”.對于一般的對數(shù)函數(shù)y=logax（a是不等于1的正數(shù)）求導，得到y(tǒng)′=1xlna，而當a=e時，會有y′=1x，相比上式而言對自然對數(shù)y=lnx求導的結(jié)果要簡約自然得多.

積分是微分的逆運算，由于∫x0dxx=ln|x|+c（c是常數(shù)），且對于一般的式子求積分∫f′（x）dxf（x）=ln|f（x）|+c（c是常數(shù)）.這說明，當對一個滿足分子是分母微分的分式求積分時，得到的就是以e為底的分母絕對值的對數(shù).如此看來，以e為底的對數(shù)確實自然.

高等教育的教材中是從極限的角度給出數(shù)e的定義，即e=limn→∞1+1nn.它遵循的是雅各布·貝努力研究復利的思路：利用二項式定理，證明數(shù)列1+1nn嚴格遞增，且恒小于3，即數(shù)列1+1nn是有界的，再由單調(diào)有界定理可知 limn→∞1+1nn存在，即為e.其實，數(shù)e可以通俗地解釋為“增長的極限”，貝努力研究的復利實際上是提供了一個關(guān)于數(shù)e的具體模型.除此之外，生活中細菌的增長等也滿足極限e.

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