孿生質數猜想的研究新途徑

李云祥

【摘要】孿生質數猜想的研究新途徑開辟了孿生質數嶄新的研究方向.此文主要以角表、角表數鏈為依托進行了深入的拓展，發掘出了角表數鏈五個非常有趣的特性，而且角表數鏈還有更廣闊的研究空間，并且根據角表數鏈的性質推演出的兩個證明方法，巧妙地證明出沒有最大的孿生質數，即孿生質數猜想是正確的，還有挖掘出了孿生質數分布規律的孿生質數分布公式.

【關鍵詞】角表；角表數鏈；孿生質數分布公式；孿生質數猜想的巧妙證明

一、角表的認識

如圖1—圖3所示，這樣的圖表很像我們認識的無限延伸的角，所以稱它們為角表.

在圖1中，如果第一橫行和第一豎行的某一個數，在其他行中找不到，那么這個數就是質數.

此角表中的所有數都沿4，9，16，25，36，…這些平方數為軸而對稱.在對稱位置上的數都對應相等.根據這種現象，還可以把圖1改為另一種角表，如圖2所示.

在質數中，除2，5兩個外，其余的質數的個位上的數都只會重復出現1，3，7，9.

個位上的數是1，3，7，9的任何合數，都是個位上的數是1，3，7，9的數相互乘得到的（除了數1外），所以角表（圖2）又可以變為如圖3所示的角表.

二、角表數鏈的認識

根據圖3，把個位上的數是1，3，7，9的數排列成數列（除了數1外），并分別劃去各質數的倍數（質數的倍數是只包括不小于質數的平方數的倍數.此論文中出現的質數的倍數都是這樣的），剩下的就是質數.

此數列和前面的角表密切相關，又似環環相扣的鐵鏈，所以為方便稱其為角表數鏈.

此角表數鏈，從數3開始，以從小到大的順序排列到數7 017（此角表數鏈在此論文中只是一小部分）.在此角表數鏈中出現的5 000以內的質數，經查閱上海辭書出版社1992年8月第一次出版的《數學詞典》中的“5 000以內的素數表”后都正確.還找出《數學詞典》中的“5 000以內的素數表”里有兩處錯誤：一是多排了一個質數4 691，應該是質數4 391；二是誤排了一個合數4 963，應該是質數4 933.

（說明：角表數鏈中，某數上標有箭頭和質數的，這個數就是能被此質數整除的合數，而沒有標有箭頭和質數的數就是新的質數.為了書寫方便，此數鏈都按從小到大的順序，以“弓”字形的形式，曲折來回地排列）

4.某質數到下一個相鄰質數的差值數后面不跟孿生質數的是8，14，20，26，32，38，44，….

在上面這個數列中，能產生質數位置上的數，不論被某些質數怎樣整除，差值數是8，14，20，26，32，38，44等后面都不會跟孿生質數.這是受距離是30的最小循環單位的限制形成的.

因此，在最小循環單位的限制下，在角表數鏈中就有下列兩種情況：

（Ⅰ）某質數到下一個相鄰質數的差值數后面跟孿生質數的差值數是4，6，10，12，16，18，22，24，28，30，34，36，…，（A+6r），（B+6r）（A取4，B取6，2+A=B，r取0和任意自然數.差值數是1，2的是因為把質數2和5考慮進去了，而在角表數鏈中不考慮，所以在角表數鏈中不考慮差值數是1和2的）.

（Ⅱ）某質數到下一個相鄰質數的差值數后面不跟孿生質數的差值數是8，14，20，26，32，38，44，…，（C+6r）（C取8，r取0和任意自然數）.

（五）某質數到下一個相鄰質數的差值和下一個質數到另一個相鄰質數的差值相等的質數組，為方便稱為等質數；等質數中相鄰質數間的差值，為方便稱為等質數值.

研究角表數鏈發現，等質數值只會是6，12，18，24，30，…，6r（r取任意自然數.等質數值是2的不研究，因為在角表數鏈中不研究質數2和5）.

這種現象是由最小循環單位的限制形成的.從下列數列中可以看出來：

在上面這個數列的兩個最小循環單位中，如果能產生質數位置上的數，被任何質數任意整除后就會形成不同的等質數值的等質數.

四、孿生質數在角表數鏈中的性質

從角表數鏈中可以看出，當不考慮（除質數3的倍數以外）其他任何質數的倍數的分割時，每一個最小循環單位（y=3×10=30）就有y3×10×3對孿生質數（或孿生數）（孿生數是指在某個循環單位中，不被這個循環單位所包含的各質數整除的，能產生孿生質數相應位置上的數）.

例如，9～39之間有11和13，17和19，29和31三對孿生質數；19～49之間有29和31，41和43，47和49三對孿生數；121～151之間有131和133，137和139，149和151三對孿生數.

在每一個距離是y1=3×7×10=210的循環單位中，只考慮含有質數3，7的各倍數的分割時（此各質數的倍數分別指不小于32的倍數和不小于72的倍數），每一個最小循環單位中的三對孿生數中的六個數，在每一個距離為210的循環單位中相應位置上的數都被質數7各整除了一次，所以，此每一個循環單位就有 ……

同理得，在每一個距離為yx=3×7×…×n（x-1）×nx×10的循環單位中，只考慮包含質數3，7，…，n（x-1），nx的各倍數的分割時（此各質數的倍數分別指不小于32的倍數，不小于72的倍數……不小于n2（x-1）的倍數和不小于n2x的倍數），則每一個距離為3×7×…×n（x-1）×10的循環單位中的m（x-1）對孿生數，在每一個距離為3×7×…×n（x-1）×nx×10的循環單位中相應位置上的2m（x-1）個數，都會被質數