數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)發(fā)展

劉明月

【摘要】數(shù)學(xué)，其本質(zhì)就是一種產(chǎn)生問題和解決問題的活動，一個問題的解決又常常是新的問題的起源.數(shù)學(xué)家們認(rèn)為任何問題都是可解的，只是時間早晚的事情.各種問題的一次次的解決，促進了數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展.而同時數(shù)學(xué)理論的發(fā)展也加速了實際研究的進程.歷史的演變總是可以幫助我們認(rèn)識到問題的難點和數(shù)學(xué)上的偉大突破的，學(xué)點兒數(shù)學(xué)發(fā)展史絕對有助于理解抽象難懂的數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)發(fā)展；數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)，其本質(zhì)就是一種產(chǎn)生問題和解決問題的活動，這些問題可以是容易的或是困難的、膚淺的或是深刻的、理論的或是實用的、純粹的或是應(yīng)用的……問題之多之雜無窮無盡，一個問題的解決又常常是新的問題的起源.時至今日，數(shù)學(xué)中已解決的問題和尚未解決的問題還是非常之多.

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為任何問題都是可解的，只是時間早晚的事情.這就是希爾伯特在巴黎的演講中說的：“對于研究者來說，相信每一個問題都有一個解答，這種信念是一種強有力的激勵.在我們的心中，我們聽到永恒的召喚，這里有一個問題，讓我們找到它的解答.我們單靠理性就能找到它，因為在數(shù)學(xué)中，沒有任何不可知.”[4]對于各種問題的一次次的解決，促進了數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展.

數(shù)字大概起源于“結(jié)繩記事”等生活的需要，但數(shù)學(xué)起源于數(shù)千年前人們對于天文學(xué)的研究.在記錄星體、預(yù)測未來的過程中，出現(xiàn)了最早的天文學(xué)演算.其中，美索不達(dá)米亞人關(guān)于太陽運行的數(shù)學(xué)模型，對于現(xiàn)今的數(shù)學(xué)建模都有著很大的啟發(fā).如果假設(shè)太陽沿黃道勻速運動，優(yōu)點是模型簡單、易于使用，但缺點是不夠精確.在數(shù)學(xué)建模中，常常會在使用方便和推算結(jié)果的精確之間權(quán)衡取舍，就如同魚與熊掌不可兼得一樣.

希臘人使用幾何來研究自然，而美索不達(dá)米亞人運用算術(shù)和原始的代數(shù)研究自然，所以，數(shù)學(xué)最初的兩個分支就是幾何和代數(shù).人們往往容易對幾何學(xué)的描述感興趣，如達(dá)·芬奇的守恒定律是體積守恒定律，關(guān)于行星運動的開普勒第三定律本質(zhì)上是面積守恒定律等.[3]但邏輯算術(shù)在很多時候更有利于簡化運算、提高效率.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，幾何學(xué)已經(jīng)還原為數(shù)學(xué)分析，數(shù)學(xué)分析已經(jīng)還原為算術(shù)，現(xiàn)在康托爾及費雷格證明算術(shù)轉(zhuǎn)而還原為集合論，也就是還原為純粹邏輯.[3]在此過程中，數(shù)學(xué)在幾何和代數(shù)的基礎(chǔ)上又衍生出了眾多分支.其中，無窮級數(shù)和其他“無窮過程”的引入，對西方科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.而西蒙.史蒂文是第一個在無窮小分析中進行由幾何到算術(shù)的轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)家.而無窮小分析，就是微積分的雛形.

歷史的發(fā)展促進了數(shù)學(xué)在社會各個領(lǐng)域的應(yīng)用，這些應(yīng)用也進一步豐富了數(shù)學(xué)的發(fā)展和分類.在文藝復(fù)興時期，繪畫巨匠們的作品之所以如此栩栩如生，正是由于他們掌握了透視的基本方法，這導(dǎo)致射影幾何學(xué)的誕生.大航海時代，自然推動了地圖、海圖繪制技術(shù)的發(fā)展，它反過來也推動人們了解曲面的幾何學(xué).[1]同樣，工程畫現(xiàn)已成為了工程技術(shù)人員的通用語言.隨著客觀世界的不確定性的大量出現(xiàn)，概率和統(tǒng)計也應(yīng)運而生.盡管概率論有著并不光彩的出身，但賭徒的問題畢竟使數(shù)學(xué)家建立起系統(tǒng)的理論，而且有著越來越多的應(yīng)用.

拋開數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各種分類，就數(shù)學(xué)本身而言它具有兩面性.一面朝內(nèi)，面向人類的理念世界和抽象世界，代表數(shù)學(xué)的純粹性，完全關(guān)注學(xué)科的創(chuàng)造成果，試圖知道和理解它們是什么（即數(shù)學(xué)的理論性）；一面朝外，面向客觀世界和物質(zhì)世界，從而構(gòu)成應(yīng)用數(shù)學(xué)，其動機是功利的，目標(biāo)是看能用這些創(chuàng)造成果做什么（即數(shù)學(xué)的應(yīng)用性）.[4]

人們往往會認(rèn)為自然科學(xué)和物理科學(xué)要比數(shù)學(xué)更為容易一些，這主要是源于數(shù)學(xué)的純粹性（即其理論性）.自然科學(xué)和物理科學(xué)所描繪的世界是具體的，是人們能夠感知的，人們通過一些技術(shù)手段甚至能夠達(dá)到二級近似；而純粹數(shù)學(xué)所描繪的世界則是由理念構(gòu)成的抽象世界，只能通過心靈來感知.[2]

好在數(shù)學(xué)在其產(chǎn)生和發(fā)展過程中還有其重要的應(yīng)用性，從而促進或刺激了數(shù)學(xué)的各個分支不斷地向前深入發(fā)展.例如，實際應(yīng)用時的計算問題促進了算術(shù)的發(fā)展；農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的面積等問題刺激了幾何學(xué)的發(fā)展；物理學(xué)中的各種數(shù)學(xué)應(yīng)用直接導(dǎo)致數(shù)學(xué)分析的發(fā)展……而且伴隨歷史的發(fā)展，人們在實用與功利的動機推動下，不斷地去發(fā)展著這些領(lǐng)域的數(shù)學(xué)理論，從而產(chǎn)生了很多令人意想不到的結(jié)果.

實際問題的解決促進了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，反之，數(shù)學(xué)理論的發(fā)展也加速了實際研究的進程.尤其是進入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)在理論性和應(yīng)用性兩方面的彼此助長更為明顯.除了一些像物理學(xué)、天文學(xué)、建筑工程等已經(jīng)較為完善的科學(xué)領(lǐng)域外，數(shù)學(xué)還在一些像計算機科學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等新興科學(xué)領(lǐng)域嶄露了頭角.而物理科學(xué)當(dāng)之無愧是產(chǎn)生數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)最重要的領(lǐng)域，如，它推動了紐結(jié)理論、泛函分析和張量演算的不斷發(fā)展，而這些理論又成為弦論、量子力學(xué)和廣義相對論中的重要理論依據(jù).最優(yōu)化、一般均衡理論和博弈論的創(chuàng)立解決了經(jīng)濟上的很多問題，而紐結(jié)理論則解決了生物學(xué)上的一些困擾了很久的難題.20世紀(jì)50年代，馮諾伊曼在研究細(xì)胞自動機理論時，受到數(shù)學(xué)計算理論中一種技巧的啟發(fā)，從而制造出了一臺自己能復(fù)制自己的機器.而近代計算機的出現(xiàn)則是對數(shù)學(xué)之恩惠的最大報答之一，計算機的應(yīng)用和發(fā)展從根本上改變了人們的日常生活.就如同無線電波實際上是解微分方程的產(chǎn)物一樣，數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果是如此深刻，超出了一般人的理解.同時，社會選擇論的出現(xiàn)和發(fā)展，表明即使對看上去不太適合做形式分析的人文科學(xué)，數(shù)學(xué)也大有用武之地.

缺少必要的數(shù)學(xué)就會帶來太多的臆測；離開數(shù)學(xué)，就會缺少一個共通的、沒有歧義的語言來表達(dá)思想；離開數(shù)學(xué)，區(qū)分有用的思想和沒用的思想變得困難了很多.所以，達(dá)·芬奇在追求潛在原理的確定性時相信：不以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的知識就不可能存在確定性.正是像達(dá)·芬奇、牛頓一般的數(shù)學(xué)家們使得數(shù)學(xué)和基于數(shù)學(xué)的科學(xué)、技術(shù)推動了歷史，使數(shù)學(xué)變成須臾不可離的東西.而數(shù)學(xué)的實質(zhì)在于有一套提出問題和解決問題的普遍理論及方法.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)已然成為當(dāng)今學(xué)生頭上的一座大山.雖然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身并沒有什么壞處，但是很多人根本用不上他們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，也沒有掌握數(shù)學(xué)的思維方法，在理解新的數(shù)學(xué)知識時仍然感到十分困難.更糟糕的是，很多學(xué)生失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力和興趣.如果一個人單單是為了應(yīng)付考試才去硬著頭皮學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那肯定是痛苦且不長久的.那么，到底有沒有既能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、又能提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解力的方法呢？有！那就是學(xué)點兒數(shù)學(xué)發(fā)展史.歷史的演變總是可以幫助我們認(rèn)識到問題的難點和數(shù)學(xué)上的偉大突破的，而教科書卻很少詳細(xì)地闡述什么是重要的，什么是不重要的.只有懂得了這些，才能說是懂得了數(shù)學(xué).學(xué)點兒數(shù)學(xué)發(fā)展史絕對有助于理解抽象難懂的數(shù)學(xué)，例如，數(shù)學(xué)與量子力學(xué)和相對論是平行發(fā)展的，對學(xué)習(xí)者會有很大啟發(fā).

【參考文獻】

[1]吳贛昌.微積分（上）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[2]郭運瑞.高等數(shù)學(xué)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2010.

[3]塔巴克.數(shù)學(xué)和自然法則[M].北京：商務(wù)印書館，2009.

[4]皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪.數(shù)學(xué)世紀(jì)[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2014.