輸入受限高超聲速飛行器指數收斂狀態反饋控制

關英姿 朱 凱

1. 哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術研究所，北京 100074

輸入受限高超聲速飛行器指數收斂狀態反饋控制

關英姿1朱 凱2

1. 哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術研究所，北京 100074

對具有不確定性的高超聲速飛行器在輸入受限情況下的穩定控制問題，基于線性矩陣不等式(LMI)技術提出了一種具有指數收斂速率的控制器設計方法。將飛行器模型中的不確定性視為總和擾動，針對存在不確定性的輸入受限系統給出了一種具有指數收斂速度的不變集條件，并利用LMI技術將控制器的設計問題轉化為受限系統吸引域的最優化問題。仿真結果表明，在氣動參數攝動和控制量存在飽和的情況下，本文設計的指數收斂控制器具有良好的動態特性和魯棒性。 關鍵詞 高超聲速飛行器；輸入受限；不確定性；線性矩陣不等式；指數收斂

高超聲速飛行器跨大馬赫數、大空域飛行，其氣動參數存在較大不確定性，且外界力、熱環境較為嚴酷。因此,在對高超聲速飛行器建模過程中不可避免地要考慮不確定性的影響。同時，高超聲速飛行器飛行環境復雜，突風干擾會引起氣動攻角的瞬態變化，進而造成明顯的氣動力矩變化，并且在超燃沖壓發動機點火、級間分離等時刻，飛行器可能需要承受較為明顯的外部擾動。這些瞬時力矩變化容易引起執行機構飽和，使控制系統不能實現預期的反饋控制，導致控制系統的動態性能降低，甚至會破壞控制系統的穩定性。

目前的文獻中，針對高超聲速飛行器的姿態控制問題，采用的控制方法主要有自適應控制[1-2]、反饋線性化控制[3]、模型預測控制[4]、滑膜控制[5]和增益調度控制[6]，這些控制方法不同程度地解決了高超聲速飛行器姿態控制中模型的強非線性和不確定性問題。

近年來，飛行器姿態控制中的輸入受限問題也引起了廣泛關注[6-10]。文獻[6]針對具有不確定性的輸入受限飛行器模型，研究了魯棒變增益控制算法。針對BTT導彈的輸入受限問題，文獻[7]提出了一種二階滑模自適應反演控制來解決姿態控制系統的輸入受限和不確定性問題。針對控制受限的撓性航天器姿態控制問題，文獻[8]給出了一種自適應滑?？刂品椒?，顯式地考慮了控制的飽和特性，證明了控制受限情況下系統的穩定性。文獻[9]針對近空間飛行器這一類存在外部干擾、輸入飽和以及參數不確定的多輸入多輸出線性系統, 提出了一種基于干擾觀測器的抗飽和控制方法，保證了閉環系統的穩定性。盡管國內外學者針對姿態控制中的輸入受限問題和模型的不確定性問題進行了大量研究，給出了一些有效的控制方法，但是這些研究中幾乎沒有特別關注系統的動態特性問題。

在解決控制系統的輸入受限問題中，線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities，簡稱LMI)作為一種有效的數學工具被廣泛地應用于抗飽和補償器以及狀態反饋控制器的設計[11-19]。文獻[11]利用LMI技術給出了一種抗飽和控制器的綜合設計方法。文獻[12]研究了輸入受限系統的L2增益特性及穩定區域。文獻[16]推導了輸入受限系統在受擾情況下的不變集條件，研究了輸入受限系統的抗干擾問題，但文中沒有考慮系統軌跡的收斂速度和收斂時間，在受到干擾時無法保證控制系統具有滿意的超調量和振蕩次數等動態性能。

針對飛行器的輸入受限和不確定性問題，本文將系統中的不確定性視為總和擾動，并針對輸入受限受擾系統提出了一種具有收斂速度因子的不變集條件，將控制器的設計問題轉化為不變集的最優化問題。

1 問題描述

飛行器的縱向運動方程為：

α=?-θ

(1)

(2)

考慮系統式(2)中，舵偏角范圍受到如下約束：

-ua≤u≤ua

(3)

式中，ua>0表示輸入幅值約束的上限。

為了便于推導式(2)表示的輸入受限系統的不變集條件，通過對式(2)中的B矩陣進行處理，得到式(4)表示的輸入受單位約束的系統模型：

(4)

式(4)給出的飛行器縱向姿態模型中未考慮氣動參數攝動、外界干擾以及線性化處理所帶來的誤差等不確定性。

將飛行器模型中存在的各種不確定性作為總和擾動進行考慮，則輸入幅值受限系統的狀態方程為：

(5)

其中，w為干擾。

假設系統所受干擾能量有界，且滿足：

wTw≤χ

(6)

其中，χ為已知正數。

對于存在輸入受限以及能量有界不確定性的系統(5)，采用常用的狀態反饋形式控制律來保證系統的閉環穩定性，即：

u=Fx

(7)

式中，F∈Rm×n。

在式(7)所示控制律的作用下，系統的閉環形式可描述為：

(8)

本文針對式(8)描述的幅值受限系統設計狀態反饋控制器，使輸入受限系統在狀態反饋控制律的作用下，在受到有界擾動時仍能獲得一個滿意的收斂區域，且在該收斂區域內系統軌跡以一定速度漸進收斂到原點，在保證系統穩定性的同時獲得良好的動態特性。

2 輸入受限系統指數收斂控制器設計

當動力學模型中存在干擾時，系統的運動軌跡受到干擾的影響而發生變化，不變集條件與干擾的能量大小有關。本文綜合考慮系統的不確定性和動態特性，針對不確定性系統給出了一種具有指數收斂性能的不變集條件。在此基礎上，針對輸入受限系統(5)的控制器設計問題，將不變集的最大化問題轉化為具有LMI約束的凸優化問題，以最大收斂域為優化目標，通過求解最優問題，獲得幅值受限系統的狀態反饋控制律。

2.1 不確定系統的指數收斂不變集條件

吸引域、收縮不變集和線性區域的定義如下：

定義1 從初始狀態x(0)=x0出發的系統軌跡為ψ(t,x0)，關于原點的吸引域定義為：

顯然，若橢圓Ω(P,ρ)為收縮不變集，則橢圓Ω(P,ρ)位于吸引域內，飽和系統的吸引域可以通過不變橢圓進行近似。

定義如下輔助矩陣[7]：

在不變集條件的推導過程中引入收斂速度因子，針對存在干擾的輸入受限系統給出如下不變集條件。

(9)

則ε(P,ρ)為收縮不變集，且從橢圓ε(P,ρ)內出發的系統軌跡將指數收斂到原點。

證明：

取Lyapunov函數V(x)=xTPx，由式(5)可得：

(10)

綜上可得：

由上式及P為正定陣可得：

(11)

由于：

再利用式(6)可得：

(12)

將式(11)和(12)代入式(10)可得：

(13)

利用式(9)和(13)可得：

(14)

積分式(14)可得：

V(t)

(15)

(16)

因此，橢圓ε(P,ρ)為收縮不變集，并且從橢圓ε(P,ρ)內出發的系統軌跡將指數收斂到原點。在此不變集內系統軌跡的收斂速度與參數β密切相關。β越大，系統軌跡越快趨近于原點，控制系統的動態性能越好。

2.2 控制器設計

借鑒參考文獻[11]，利用形狀參考集來尋找吸引域內的最大橢圓，進而利用最大橢圓來近似輸入受限系統的吸引域。

通過求解具有指數收斂特性的最大橢圓來優化輸入受限系統的狀態反饋控制律，從而達到改善系統動態響應特性的目的。一方面，對于存在有界不確定性的輸入受限系統保證其初值從一個較大范圍出發時系統軌跡將收斂于原點；另一方面，保證系統軌跡具有指數收斂特性。

引入橢圓形狀參考集：

XS=ε(S,1)={x∈Rn:xTSx≤1}

其中，S為正定矩陣。

針對輸入受限系統(8)，將求解滿足定理給出的不變集條件的最大橢圓問題轉化為如下優化問題：

s.t.

1)αXS?ε(P,ρ);

?v∈；

(17)

α越大，意味著橢球ε(P,ρ)的“質量”越大。

為了便于求解式(17)給出的優化問題，需將式(17)給出的約束條件轉化為線性矩陣不等式形式。

令γ=1/α2，Q=P-1，G=HP-1，gi表示G的第i行。將約束轉化為LMI形式為：

(18)

3 仿真研究

為了說明本文方法的有效性，對β=0和β=3這2種情況進行對比仿真。其中，β=0對應未考慮系統動態特性下進行的控制器設計，β=3對應考慮系統動態特性的控制器設計方法，即本文提出的控制器設計方法。

仿真中氣動參數攝動范圍為±50%，舵偏角幅度約束為±20°。仿真結果如圖1～3所示，圖1為攻角響應曲線，圖2為俯仰角速度響應曲線，圖3為舵偏角響應曲線。其中，虛線對應β=0，即不考慮動態特性時的響應曲線；實線對應β=3，即考慮動態特性時的響應曲線。

圖1 攻角響應曲線

圖2 俯仰角速度響應曲線

圖3 舵偏角響應曲線

從仿真曲線可以看出，在氣動參數大范圍攝動且存在外界干擾的情況下，攻角回路是穩定的。引入收斂速度因子后，系統的動態特性得到明顯改善，系統軌跡快速收斂，并且振蕩次數明顯減少。本文給出的控制方法表現出良好的穩定性和動態性能，具有很強的魯棒性，且當控制輸入觸發飽和邊界時系統仍是穩定的。

4 結論

針對高超聲速飛行器動力學模型存在不確定性以及執行機構存在控制受限等問題，基于LMI技術給出了一種具有指數收斂吸引域的控制器設計方法。將系統中的不確定性視為總和擾動，針對輸入受限受擾系統提出了一種具有指數收斂速度因子的不變集條件，將控制器的設計問題轉化為受限系統吸引域的最優化問題，通過求解“質量”最大的不變橢圓獲得狀態反饋矩陣。在氣動參數攝動和控制量存在飽和的情況下，該控制方法具有良好的動態特性和魯棒性。

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Exponential Convergence State Feedback Control for Hypersonic Vehicle with Input Constraints

Guan Yingzi1， Zhu Kai2

1. School of Astronautics, Harbin Institude of Technology, Harbin 150001, China 2. Beijing Institute of Aerospace Technology, Beijing 100074, China

Regardingstabilitycontrolofahypersonicvehicleinthepresenceofinputsaturationanduncertainties,acontrollerwithexponentialconvergencerateisdesigned,whichisbasedonLMItechnique.Theuncertaintiesofhypersonicvehiclemodelareregardedas“totaldisturbance”,anexponentialconvergenceconditionforinvariantsetofsystemssubjecttoinputsaturationanddisturbanceisderived.ByusingLMItechnique,controllerdesignistransformedintomaximizationofthedomainofattraction.Thesimulationresultsshowgooddynamiccharacteristicsandrobustnessoftheproposedmethodinthepresenceofaerodynamicdispersionandcontrolinputsaturation.

Hypersonicvehicle;Inputconstraints;Uncertainties;Linearmatrixinequalities(LMI);Exponentialconvergence

2016-12-12

關英姿(1968-)，女，哈爾濱人，博士，教授，主要研究方向為航天器動力學與控制；朱 凱(1982-)，女，哈爾濱人，博士，工程師，主要研究方向為先進控制理論在導彈制導和控制中的應用。

V448

A

1006-3242(2017)03-0034-06