“數”與“形”在概率論中的完美結合

劉喜富++郝媛媛

摘要：數形結合是一種重要的思想方法，以其解題的直觀、形象而著稱。針對概率論課堂教學過程中的幾何概型問題、全概率公式問題，運用數形結合的思想將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，達到完美的教學效果。

關鍵詞：數形結合；概率論；幾何概型；全概率公式

“數”與“形”是數學中兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。在數學問題的求解過程中，運用“數”與“形”之間的聯系，往往可以將復雜問題簡單化，而這種聯系稱之為數形結合。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。

概率論是研究隨機現象規律性的一門數學學科。早在17世紀，著名數學家帕斯卡和費馬以“賭金分配問題”開始通信討論，開創了概率論研究的先河，后來荷蘭數學家惠更斯也參加了這場討論，并寫出關于概率論的第一篇正式論文《賭博中的推理》。帕斯卡、費馬、惠更斯一起被譽為概率論的創始人。在概率問題的求解過程中，如果適當運用數形結合的思想，會使問題變得簡單。

一、數形結合在幾何概型中的應用

如果某個事件發生的概率只與構成該事件區域的度量（長度、面積、體積等）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型。幾何概型的問題通常都可以通過“形”的方式解決。

例1某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10分鐘的概率。

分析：因為電臺每小時報時一次，這個人打開收音機的時間恰好是在兩次報時之間，例如（12：00～13：00），要使等待時間短于10分鐘，只有他打開收音機的時間恰好在12：50至13：00之間才有可能。

解：假設事件A={等待時間短于10分鐘}，由題意可得P（A）=10/60=1/6。

二、數形結合在全概率公式中的應用

全概率公式是概率論中最基本的公式之一，它通過將復雜事件轉化為若干個互不相容的簡單事件的和事件，再求出簡單事件的概率，最后運用加法公式得到所要求的復雜事件的概率。

例2自行車的鑰匙丟了，落在教室的可能性為50%，這種情況可以找到的概率是0.8；落在圖書館的概率為30%，這種情況可以找到的概率為0.5；落在路上的可能性為20%，這種情況可以找到的概率為0.1，求找回自行車鑰匙的概率。

分析：根據題意，鑰匙可能丟失的地方有3個：教室、圖書館、路上，對應在這些地方能找回的概率依次為0.8、0.5、0.1，符合全概率模型。

解：假設事件A={鑰匙被找回來}，B1={鑰匙丟在教室}，B2={鑰匙丟在圖書館}，B3={鑰匙丟在路上}，運用全概率公式可知，即可以找回自行車鑰匙的概率為P（A）=P（B1）×0.8+P（B2）×0.5+P（B3）×0.1=0.5×0.8+0.3×0.5+0.2×0.1=0.57。

三、數形結合在等可能概型中的應用

試驗的樣本空間只包含有限個元素，并且試驗中每個基本事件發生的可能性相同，具有以上兩個特點的試驗稱為等可能概型或古典概型。

例3假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，兩名學生的生日（不計年份）相同的概率是多少？

分析：在直角坐標系中，把兩人生日按1，2…365標于坐標軸x、y上，“生日相同”理解為在直線y=x上的點。

解：記正整數x、y為兩人的生日，在1到365中取值，由兩人生日所構成的點的數目為365×365，兩人生日相同所代表的點，即落在直線y=x上的點數為365，因此，兩名學生的生日相同的概率為P=365/（365×365）=1/365。

通過以上例題可以看出，借助數形結合的方法可以將概率中的幾何概型問題、全概率公式問題圖形化、直觀化。概率論中關于數形結合思想的運用遠遠不止這些，貝葉斯公式問題、連續型隨機變量的函數分布問題、事件之間的關系問題等，都可以運用數形結合的思想將復雜問題簡單化。實踐證明，運用數形結合的方法為學生講解，能使學生更容易理解復雜問題的求解過程，有助于提高教學質量，獲得更好的教學效果。

參考文獻：

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