5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承的積分滑模變結(jié)構(gòu)控制

侯勇，王磊

（天津科技大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300222）

主動(dòng)磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearings，AMB）系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出、非線性強(qiáng)、耦合程度高的復(fù)雜系統(tǒng)，其運(yùn)行的可靠性和穩(wěn)定性在很大程度上取決于系統(tǒng)的控制方法，采用常規(guī)的PID控制理論不能很好地滿足系統(tǒng)對穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的要求［1-4］。采用PID與其他控制策略的結(jié)合，雖然精度高，但控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜。滑模變結(jié)構(gòu)控制具有對內(nèi)部參數(shù)和外部擾動(dòng)不敏感、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，將其應(yīng)用于主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制，可以有效提高系統(tǒng)的運(yùn)行性能。文獻(xiàn)［5］針對主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)采用了滑模變結(jié)構(gòu)控制，屬于單自由度的分散控制，將其應(yīng)用于多輸入多輸出系統(tǒng)時(shí)，依然存在靜態(tài)誤差大等問題。文獻(xiàn)［6］應(yīng)用積分滑模變結(jié)構(gòu)控制實(shí)現(xiàn)了徑向4自由度主動(dòng)磁懸浮軸承的控制，但沒有考慮軸向的控制，如進(jìn)行包含軸向自由度的5自由度控制時(shí)，則需2套獨(dú)立的控制系統(tǒng)，增加了控制器的數(shù)量，使實(shí)際應(yīng)用更為復(fù)雜，而且忽略了傳感器安裝位置導(dǎo)致的耦合問題，會使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間增長。

分析5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)因傳感器位置產(chǎn)生的耦合問題，推導(dǎo)并建立輸出解耦的主動(dòng)磁懸浮軸承狀態(tài)方程，在此基礎(chǔ)上研究多輸入多輸出積分滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，采用一套控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的5自由度控制。

1 5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承狀態(tài)方程

主動(dòng)磁懸浮軸承的轉(zhuǎn)子共有6個(gè)自由度：3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其中轉(zhuǎn)子繞軸向轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度不受軸承控制器控制，而其余的5個(gè)自由度則需磁懸浮軸承控制器控制。5自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of Five-DOF AMB system

根據(jù)剛體動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理以及磁路分析可得到轉(zhuǎn)子狀態(tài)方程［7-9］

式中：05×5為5階零矩陣；I5×5為5階單位矩陣；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Kxx，Kyy，Kzz為磁軸承的位移-力系數(shù)；Kix，Kiy，Kiz為磁軸承的電流 -力系數(shù)；J為轉(zhuǎn)子繞x，y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jz為轉(zhuǎn)子繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；la，lb為轉(zhuǎn)子質(zhì)心到徑向磁軸承中心的距離；xa，xb，ya，yb，zc為轉(zhuǎn)子位移；ixa，ixb，iya，iyb，izc為磁軸承線圈的控制電流。

由于傳感器與徑向磁懸浮軸承安裝于軸向不同位置，通常為非共點(diǎn)安裝，使得同一徑向平面的2個(gè)自由度的輸出存在耦合，即傳感器輸出耦合。由于控制點(diǎn)和測量點(diǎn)不在同一位置，以測量點(diǎn)的位移偏差作為控制量會對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程產(chǎn)生影響，在控制中增加對該耦合現(xiàn)象的解耦處理，可以有效改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。

在剛性轉(zhuǎn)子的情況下，可以通過一定的幾何變換實(shí)現(xiàn)輸出解耦［7］。

根據(jù)傳感器和徑向軸承的幾何關(guān)系作如下代換

式中：T為轉(zhuǎn)換矩陣；xsa，xsb，ysa，ysb，zsc為轉(zhuǎn)子在傳感器位置發(fā)生的位移；lsa，lsb為轉(zhuǎn)子質(zhì)心到徑向傳感器中心的距離。

輸出解耦的狀態(tài)方程為

2 積分型滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制是在狀態(tài)空間設(shè)計(jì)一個(gè)超平面，使其滿足可達(dá)性，即不管系統(tǒng)狀態(tài)初始的位置在何處，運(yùn)動(dòng)的軌跡都指向超平面。系統(tǒng)一旦到達(dá)超平面，控制作用保證系統(tǒng)沿超平面趨向系統(tǒng)原點(diǎn)，這一沿超平面趨向原點(diǎn)的過程稱為滑動(dòng)模態(tài)。在這種滑動(dòng)模態(tài)下，系統(tǒng)特性和被控系統(tǒng)參數(shù)與外部干擾無關(guān)，只取決于所設(shè)計(jì)的超平面［3］。

滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)主要分為2步：1）確定滑模切換函數(shù)；2）設(shè)計(jì)控制律，保證在切換面上出現(xiàn)滑動(dòng)模態(tài)。

文獻(xiàn)［10］提出了一種多輸入多輸出的變結(jié)構(gòu)控制策略，文獻(xiàn)［6］依據(jù)該策略，針對4自由度的主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種多輸入多輸出的積分型滑模變結(jié)構(gòu)控制器。在此基礎(chǔ)上，增加軸承的自由度，并對狀態(tài)方程進(jìn)行解耦，使得控制器更加符合實(shí)際的系統(tǒng)控制要求。

2.1 滑模切換面設(shè)計(jì)

選取滑模切換面為

式中：rd為給定輸入；S1，S2為5×5的切換面系數(shù)矩陣；KI為積分控制的增益矩陣。

由于被控對象是多輸入多輸出系統(tǒng)，在進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)較為復(fù)雜，該設(shè)計(jì)保證系統(tǒng)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，可以通過調(diào)整切換面的系數(shù)S1，S2，KI對系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化配置［11］；而積分項(xiàng)的引入對于克服擾動(dòng)有很大的幫助。因此，可以有效地提升系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

由此可得等效控制函數(shù)為

5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)是一個(gè)非最小相位系統(tǒng)，在能量有限制的條件下，可以加入一個(gè)負(fù)的調(diào)幅值來縮短系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，即采用切換函數(shù)us，其作用是克服系統(tǒng)模型不確定性以及外界擾動(dòng)的影響。定義

式中：bi為B21的列向量；Ks為開關(guān)增益常數(shù)；ε為飽和函數(shù)的限幅值。此處采用飽和函數(shù)而非符號函數(shù)，可以有效地減少抖振［12］。

綜上，系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)控制框圖Fig.2 System control block diagram

3 仿真研究

利用MATLAB／Simulink對研究的控制方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真中，5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置為：m＝2.756 kg，lsa＝lsb＝0.147m，la＝lb＝0.121 m，Kix＝Kiy＝106.42 N／A，Kiz＝208.38 N／A，Kxx＝ Kyy＝492 860 N／m，Kzz＝690 340 N／m，J＝0.022 96 kg·m2，Jz＝2.069×10-4kg·m2。

滑模變結(jié)構(gòu)控制器的參數(shù)設(shè)置為：S1＝300I5×5，S2＝2I5×5，KI＝0.3I5×5，Kσ＝10；因此α1＝300I5×5，α2＝05×5；飽和函數(shù)的限幅值 ε＝0.000 1；給定輸入 rd＝［0 0 0 0 0］T；轉(zhuǎn)子的初始位置為x0＝［3 2-2-3 1］T×10-4。

等效控制模型和切換控制模型分別如圖3、圖4所示。仿真結(jié)果如圖5所示，未實(shí)現(xiàn)解耦傳感器位置導(dǎo)致的耦合時(shí)徑向4自由度的仿真結(jié)果如圖6所示，常規(guī)PID控制方法的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖3 等效控制仿真圖Fig.3 Equivalent control simulation model

圖4 切換控制仿真圖Fig.4 Switching control simulation model

圖5 采用積分滑模變結(jié)構(gòu)控制時(shí)轉(zhuǎn)子位移Fig.5 Rotor displacements in ISMC

圖5 、圖7中5條曲線分別代表轉(zhuǎn)子在5個(gè)自由度上的位移位置，圖6中的4條曲線分別代表轉(zhuǎn)子徑向4個(gè)自由度的位移，零位置代表轉(zhuǎn)子穩(wěn)定的懸浮狀態(tài)。對比圖6、圖7可以看出，采用未對傳感器位置耦合進(jìn)行解耦的積分滑模變控制可以減小系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，但2種控制方法下系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間基本相同；對比圖5、圖6可以看出，對傳感器位置導(dǎo)致的耦合進(jìn)行解耦后，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間更短、響應(yīng)更迅速；對比圖5、圖7可以看出，與PID控制相比，基于傳感器位置解耦的多輸入多輸出積分滑模變結(jié)構(gòu)控制在5自由度磁懸浮軸承的控制上，靜態(tài)誤差小，魯棒性更好，響應(yīng)時(shí)間短，無振蕩現(xiàn)象。

圖7 采用PID控制時(shí)轉(zhuǎn)子位移Fig.7 Rotor displacements in PID control

4 結(jié)束語

針對5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)傳感器安裝位置導(dǎo)致的耦合，設(shè)計(jì)了多輸入多輸出積分滑模變結(jié)構(gòu)控制器，利用MATLAB／Simulink進(jìn)行了PID控制、未對徑向傳感器位置耦合進(jìn)行解耦的滑模變結(jié)構(gòu)控制和對傳感器位置進(jìn)行解耦的滑模變結(jié)構(gòu)控制的仿真和對比研究，結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的5自由度主動(dòng)磁懸浮軸承的多輸入多輸出積分滑模變結(jié)構(gòu)控制器動(dòng)態(tài)性能優(yōu)越，具有良好的魯棒性、抗擾動(dòng)能力和響應(yīng)速度。