隨機權重粒子群算法優化磁軸承系統

張建生，王一夫，馬嘯宇，吳璇

(1.南通大學 電氣工程學院，江蘇 南通 226019；2.常州工學院 電氣與光電工程學院，江蘇 常州 213002)

磁軸承是利用電磁力將轉子進行無機械接觸的懸浮支承[1]，是一種結合機械工程、電子電氣工程、計算機科學等學科的新型軸承技術。與傳統軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無需潤滑、無污染、轉速高和精度高等優點。目前，磁軸承在真空和潔凈空間系統、高精度機械設備、醫療設備和透平機械等方面得到了廣泛應用。

通過對單自由度主動磁懸浮軸承系統分析可知，該系統是開環不穩定的，因此需要進行閉環控制，但普通的閉環控制仍不能使系統趨于穩定，所以需要另加一個PID控制器。在PID控制器中，如何對參數KP，KI，KD進行準確設置一直是需要解決的問題[1]。

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)能夠快速并且準確地找到全局最優解，并且已證明在多種優化環境中都可以進行應用。與傳統優化算法相比，其全局搜索能力更強、計算速度更快。但標準的粒子群算法仍有一些細節需要改進，因此，設計一種隨機權重粒子群算法來優化磁懸浮軸承系統的PID控制。

1 單自由度主動磁懸浮軸承控制系統

磁懸浮軸承按照磁力的供給方式可以分為主動磁懸浮軸承、被動磁懸浮軸承、混合磁懸浮軸承[2]。為了控制軸承轉子的5個自由度，主動磁懸浮軸承系統共需10個放大器。僅對單自由度主動磁懸浮軸承控制系統進行分析，其模型如圖1所示。

圖1中，在轉子的某一個徑向(軸向)自由度位置上，上、下2個電磁鐵作為定子，分別安裝在轉子周邊對稱位置上，轉子受到2個電磁鐵的吸引力和重力的合力，在該自由度的某一個位置上實現懸浮。在該自由度方向，通常會安裝1個或多個位移傳感器實時檢測轉子的位移變化。

當位移傳感器檢測到轉子偏離平衡位置時，傳感器發出的反饋信號Ux與系統的初始參考信號Ur進行對比，其偏差信號Ue經過控制器計算處理后轉換成控制信號Uc，Uc經過驅動電路和功放主電路后轉換成電磁鐵線圈中的控制電流，最終通過改變電磁鐵中的電磁力使轉子恢復到初始平衡位置。

忽略轉子和定子鐵芯中的渦流、磁阻、磁滯和繞組漏磁等，根據電磁學相關原理，線圈電流i產生的電磁力為

(1)

式中：x為轉子與電磁鐵之間的距離；μ0為真空磁導率，μ0=4π×10-7H/m；S0為氣隙截面積；N為電磁鐵線圈匝數。

轉子在垂直方向上受到上、下2個電磁鐵產生的電磁力為

(2)

(3)

式中：m為轉子質量；g為重力加速度。由(3)式可知，磁軸承的數學模型是一個二次非線性微分方程，電磁力與線圈電流、轉子位移之間呈非線性關系?？赏ㄟ^一些線性控制策略來處理這樣的非線性微分方程。因此，電磁力F中的力/位移與力/電流的非線性關系可以在靜態工作點(x0，i0，mg)處做線性化處理。該工作點表示在一個理想的平衡位置，此時磁場力Fm(x0,i0)=mg，其線性化關系曲線如圖2所示[3]，F=Fm-mg。

圖2 工作點線性化

將(1)式在平衡點x=x0，i=i0處作Taylor級數展開[4]，舍去二次及以上高次項，再代入偏導數計算，此時F(x,i)可以表示為

Ks(x-x0)-Ki(i-i0),

(4)

式中：Ks為位移剛度系數；Ki為電流剛度系數。

由于在平衡點(x=x0，i=i0)處Fm(x0,i0)=mg，將(4)式代入(3)式可得線性化處理后的磁軸承系統開環數學模型為

(5)

將(5)式進行Laplace變換并化簡，得到磁懸浮軸承系統的開環傳遞函數為

(6)

2 隨機權重粒子群算法

2.1 粒子群算法簡介

粒子群算法[6]易實現、收斂迅速且精度高，能夠在解決實際問題當中發揮其優越性。

圖3 粒子位置的更新方式

各粒子根據以下公式更新各自的位置和速度

vid=wvid+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)，

(7)

(8)

式中：c1，c2為學習因子；r1，r2為[0，1]范圍內的均勻隨機數。

2.2 隨機權重粒子群算法

慣性權重w在粒子群算法中十分重要，增大w值可以提高算法的全局搜索能力；減小w值則可以提高局部搜索能力。因此，為避免算法陷入局部最優,提高搜索效率，需要找到最為合適的慣性權重w。

粒子當前位置在全局當中是否合適可以通過其適應度來反映。適應度較高的粒子pi所在的區域可能存在能夠更新全局最優點的px。所以，要及時更新px并迅速找到全局最優解，就應減小粒子pi的慣性權重w，提高粒子局部尋優能力；同時，對于當前位置較差的粒子，須跳出當前所在區域，此時應增大慣性權重w，提高粒子全局搜索能力，從而更快地找到全局最優點。

隨機權重粒子群算法的原理是將標準粒子群算法中的慣性權重w設定為一個隨機數。該方法的2個優點為：如果粒子在尋優的初始階段就接近最優點，此時隨機產生的慣性權重w可能是比較小的值，這樣就能夠加快算法的收斂速度;解決了線性遞減w帶來的算法不能收斂到最優點的問題。

算法中慣性權重的修改公式為

w=w′+σ×N(0,1)，

(9)

w′=wmin+(wmax-wmin)×rand(0,1)，

(10)

式中：N(0，1)為標準狀態分布的隨機數；σ為隨機權重方差；wmax，wmin分別為慣性權重最大值、最小值。

隨機權重粒子群算法的步驟如下：

1)隨機設置每個粒子的速度和位置。

2)計算各粒子的適應度值，將其此時的位置信息和適應度值儲存在個體極值pbest中，再找出全部個體極值pbest中適應度值最優的個體，將其適應度值及位置信息保存到全局極值gbest中。

3)更新粒子的位置和速度

xi,j(t+1)=xi,j(t)+vi,j(t+1)；

vi,j(t+1)=wvi,j(t)+c1r1[pi,j-xi,j(t)]+c2r2[pg,j-xi,j(t)];j=1,2,…,d。

4)按照(9),(10)式更新權重。

5)將各粒子的適應度值和此時粒子中最優個體的適應度值進行比較，若該粒子的適應度值更好，就將當前位置作為粒子的最優位置。依次比較當前所有個體極值pbest和全局極值gbest，更新gbest。

6)當算法達到最終要求時，停止搜索過程，同時輸出搜索結果；否則，返回第3步繼續在群體中進行搜索。

2.3 函數測試

將對隨機權重粒子群算法和線性遞減權重粒子群算法進行函數測試對比。將用到3個標準測試函數，假如在測試過程中某種粒子群算法體現出更好的性能，則在實際應用過程中就可以運用這種粒子群算法。

1)Sphere函數[7]

(11)

算法中相關參數設置：學習因子c1=2，c2=2；最大迭代次數M=100；搜索空間維數d=30；初始化種群個體數目N=50；慣性權重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機權重方差σ=0.3[8]。

Sphere函數測試曲線如圖4所示。圖中R-PSO為隨機權重粒子群算法，L-PSO為線性遞減權重粒子群算法。

圖4 Sphere函數測試曲線圖

2)Rosenbrock函數[7]

(12)

算法中相關參數設置為：學習因子c1=2，c2=2；最大迭代次數M=100；搜索空間維數d=30；初始化種群個體數目N=50；慣性權重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機權重方差σ=0.3。

Rosenbrock函數測試曲線如圖5所示。

圖5 Rosenbrock函數測試曲線圖

3)Rastrigin函數[7]

(13)

算法中相關參數設置為：學習因子c1=2，c2=2；最大迭代次數M=400；搜索空間維數d=30；初始化種群個體數目N=50；慣性權重wmax=0.8，wmin=0.6；隨機權重方差σ=0.3。

Rastrigin函數測試曲線如圖6所示。

圖6 Rastrigin函數測試曲線圖

以上圖中2條曲線表示2種粒子群算法所優化目標函數的適應度值隨迭代次數的增加而趨向測試函數最小值的結果。從圖4～圖6中可以看出：隨機權重粒子群算法相對于線性遞減權重粒子群算法能夠更快、更準確地找出3個測試函數的最小值。因此，可以認為隨機權重粒子群優化算法能夠很好地應用在磁懸浮軸承系統的優化問題中。

3 系統實例仿真分析

單自由度主動磁懸浮軸承系統的結構如圖7所示[9]，其為帶有PID控制器的閉環控制回路，其中PID控制器為[10]

(14)

圖7 主動磁懸浮軸承系統的結構圖

系統輸入為單位階躍響應，再根據自控原理進行相應的傳遞函數計算和Laplace變換，可以得到e(t)，u(t)和c(t)表達式，同時可計算出上升時間tu。

在磁軸承系統中，目標函數可以在時域內得到，即將e(t)，u(t)和c(t)進行加權，加權之和作為目標函數[2]。為了使系統得到較好的響應，將目標函數的最小值作為優化目標。取目標函數為

(15)

設計目標函數時，要考慮超調量對系統的影響，因此需將超調量進行加權作為目標函數的一項，則目標函數為

w3tu，

(16)

式中：w1，w2，w3和w4為權值。取w4>>w1，使得數值較大者在迭代過程中逐漸被群體拋棄，取w1=0.8，w2=0.001，w3=20，w4=100；ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)為系統輸出[11]。

得到目標函數后，運用隨機權重粒子群優化算法對PID控制器參數進行優化。此時目標函數f為包含KP，KI和KD的公式，通過隨機權重粒子群算法對目標函數f進行運算，在迭代過程中找出優化后的KP，KI和KD，見表1，目標函數的迭代過程如圖8所示。

圖8 目標函數迭代圖

表1 仿真圖參數表

在MATLAB/Simulink中構建磁軸承系統的模型進行仿真研究[12]，系統響應曲線如圖9所示。圖中ZN法是一種在PID參數設定中處于經驗和計算法之間的中間方法，該方法可以為PID控制器設置較為準確的參數，此后也可以根據實際情況進行微調。在單自由度主動磁懸浮軸承系統中，相關參數的實際數值為：Ks=-2.102 8×106N/m，Ki=420.56 N/A，m=12 kg，放大器系數Ka=3.6，傳感器系數Kb=5 000 V/m。

圖9 系統時間響應曲線

從圖9和表1可以看出，相對于傳統ZN法，2種粒子群算法都能夠提高系統的穩定性；比較分析可知，隨機權重粒子群算法可以使系統的穩定性得到進一步地提高，說明隨機權重粒子群算法可以很好地優化主動磁懸浮軸承控制系統。

4 結束語

將隨機權重粒子群算法與傳統PID控制相結合，優化了控制器中的相關參數，使傳統PID控制器能夠更好地提高主動磁懸浮軸承系統的穩定性。隨機權重粒子群算法能夠運用在主動磁懸浮軸承系統中，并且能夠推廣到其他相關應用領域，后續會進行相關試驗來驗證算法的準確性。