運行參數對靜壓氣體軸承動力學特性的影響

2017-07-26 03:46:54李健楊少柒李曉明李青

軸承 2017年9期

李健，楊少柒，李曉明，李青

（1.航天低溫推進劑技術國家重點實驗室，北京 100190；2.華中科技大學能源與動力工程學院，武漢 430074；3.中國科學院大學，北京 100049）

氣體軸承是以氣體為潤滑介質的軸承，具有高速、清潔和高精度的優點，廣泛應用于低溫工程、精密工程、空間技術、醫療器械等工程領域。在低溫領域，尤其在大型低溫系統中，主要靠透平膨脹機的膨脹降溫，因此，其支承設備需要滿足較高的轉速及穩定性要求；但由于氣體的黏度低，導致其剛度和阻尼小于其他形式的軸承，穩定性較差［1］。

文獻［2］提出利用動剛度及動阻尼系數來描述軸承的動力學特征，此后，國內外針對氣體軸承動力學參數的研究迎來新的篇章。計算軸承的特性系數就要求解可壓縮潤滑方程，通過提出一些簡化方法來求得其近似解析解，但其應用條件及計算精度均有較多限制。隨著數值計算方法的發展，一些學者又通過數值計算的方法來求解動力學特性參數。文獻［3］首先把軸承和轉子結合為一個系統，研究了軸承-轉子系統的穩定性問題，并提出了應用8個線性化剛度以及阻尼系數的模型。文獻［4］將氣體軸承的動態壓力以及動態氣膜厚度通過多個小擾動量來表示，并關注擾動頻率對氣體軸承動力學參數的影響，但并沒有給出相關的計算結果。文獻［5-6］利用動載荷法，通過試驗測量轉子的質量動力學響應，獲得系統的動態剛度以及阻尼系數。文獻［7］通過偏導數法求解了彈性箔片軸承的動力學特性問題。文獻［8-9］同樣采用偏導數法求解了動壓氣體軸承以及止推軸承的動力學特性，并且分析了擾動頻率以及承載載荷對動力學參數的影響。

文中采用偏導數法，主要針對靜壓氣體軸承的動力學參數進行求解，分析靜壓氣體軸承運行參數對軸承動力學參數及穩定性的影響。

1 基本理論與計算方法

1.1 靜壓氣體軸承靜態潤滑方程

靜壓氣體軸承結構如圖1所示。圖中，D為軸頸直徑；d為供氣孔直徑；B為軸承寬度；B1為供氣孔位置到軸承邊緣的距離；θ0為靜態時軸頸的偏位角；φ為量綱一的周向坐標；φ＝0處為偏心方向。

圖1 靜壓氣體軸承結構示意圖Fig.1 Structure diagram of externally pressurized gas bearing

轉子懸浮依靠外部供氣（偏心率不為0）及轉子旋轉產生的動壓效應來提供支承力。轉子間的氣膜間隙在微米量級，為軸承直徑的0.001倍，因此可以忽略氣體在氣膜厚度方向上的流動，僅考慮周向和軸向方向的流動，其誤差在允許范圍內。由于氣體的黏性較小，在氣膜與轉子之間產生的摩擦熱很小，可以迅速通過熱傳導將熱量傳遞出去，因此，氣體的流動可以看成是等溫流動。綜上簡化，氣體潤滑方程量綱一的形式為［1］

式中：P為量綱一的壓力；H為量綱一的氣膜厚度；Cr為氣膜半徑間隙；e為偏心率；p為壓力；Pa為環境大氣壓；ε為量綱一的偏心率；R為軸承半徑；η為量綱一的軸向坐標；x，z分別為軸承周向、軸向坐標；ω為轉子轉動角速度；τ為量綱一的時間；μ為氣體動力黏度；Λ為軸承數。

在供氣孔區域，通過小孔的質量流量為［10］

式中：A為供氣小孔的截面面積；Ps為供氣壓力；ρs為供氣壓力下的氣體密度；Φ 為流量系數，取0.8［10］；Ψ為速度系數；k為氣體絕熱指數；P0為節流孔出口壓力。

1.2 靜壓氣體軸承擾動狀態下的方程

當轉子受到擾動時，轉子位置可以根據偏心角及偏位角來確定，將各參量的大小近似簡化為靜態量和擾動量的疊加，代入后可以得到擾動狀態下的潤滑方程［9-10］。

當轉子繞平衡點以頻率ν進行周期性擾動時，在任意時刻的擾動偏心率ε及偏位角θ分別記作E和Θ，因此，任一擾動時刻轉子的位置為［8-9］

式中：E1為擾動偏心率幅值，復數；Θ1為擾動偏位角幅值，復數；f為量綱一的擾動頻率；ε0為靜態時的偏心率；i=。

根據線性法則進行簡化，將擾動狀態下的氣膜厚度和壓力分別當作靜態量H0，P0與動態量Hd，Pd的疊加，即

將（4），（5）式代入（1）式，利用穩態方程化簡，忽略擾動的高階項，得到擾動狀態下的潤滑方程為［8-9］

（6）式描述了擾動量幅值E1，Θ1與動態氣膜間隙厚度Hd1、動態壓力分布Pd1之間的聯系，是求解氣體軸承動態特性參數的基本方程。

1.3 動態剛度系數及阻尼系數的求解

擾動狀態下的潤滑方程隱含擾動幅值E1，Θ1，采用偏導數方法求解靜壓氣體軸承的動態特性參數。令

將擾動狀態的潤滑方程（6）式分別對E1，Θ1求導，得到關于PE，PΘ的偏微分方程。關于PE的偏微分方程為［8-9］

關于PΘ的偏微分方程為

由于靜態氣膜厚度分布及靜態氣膜壓力分布為已知量，用有限差分法求解擾動狀態下的偏微分方程，軸承兩端的邊界條件為

在供氣孔區域，由于轉子擾動直接影響供氣孔出口的壓力分布，其影響程度與此位置的壓力及氣膜厚度有關，因此，對于靜壓氣體軸承的動態特性參數的計算，供氣孔區域不作為邊界條件，而作為內部計算的未知參數，這是與靜態計算壓力分布的區別所在。

求得PE和PΘ的分布后，靜壓氣體軸承量綱一的動態特性參數可以根據下列公式進行計算［8-9］

式中：Ki，j，Di，j分別為軸承的剛度和阻尼系數，其含義為j方向上的位移或速度變化引起在i方向力的變化量。

將（11）式得到的動力學特性參數轉化到直角坐標系中［8-9］

（12）式求得的結果就是靜壓氣體軸承在直角坐標系下的動力學系數。

在求解擾動狀態的方程中，穩態時的壓力分布及氣膜厚度分布均為已知量。供氣孔出口處的壓力大小與該處的氣膜厚度相關，假設擾動對于整個計算域有效，因此，擾動狀態下的供氣口出口參數不作為求解方程的邊界條件來設置，這是與求解靜態壓力分布方法的區別所在。

1.4 穩定性分析理論方法

基于小擾動假設條件，轉子及軸承圍繞著靜態平衡點做小振幅振動，因此，軸承-轉子系統的運動方程為［11］

式中：M 為系統質量矩陣；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；q為系統廣義坐標序列。

將（13）式改寫為

式中：X為狀態向量；B為狀態矩陣。

根據Routh-Hurwitz穩定判別理論［12］，若矩陣B的特征值都有負的實部，則系統是穩定的。因此，判定系統的穩定性為判定矩陣B的特征值的正負性。

假設特征值的形式為λ1，2=-σ±iωd，基于小擾動的假設，系統的自由振動響應為

對數衰減率表征系統振動衰減的速率，其值為

對于多自由度系統，其穩定性采用最小的對數衰減率表示［12］

軸承與轉子之間的氣膜力可以近似用剛度和阻尼系數表示為

式中：Fx，Fy分別為x，y方向上的氣膜力；xd，yd分別為轉子在x，y方向相對于平衡位置的位移變化量；˙xd，˙yd分別為轉子在x，y方向的速度。

軸承-轉子系統的運動方程為

結合（18）和（19）式可以求得矩陣B，進而分析系統的穩定性。

2 動力學參數的計算結果及分析

計算所用的靜壓氣體軸承結構尺寸及運行參數見表1。根據上述理論，利用MATLAB軟件采用有限差法及偏導數法［9-10］編制程序計算軸承的動力學特性參數。對雙排孔供氣、每排8孔均布的靜壓氣體軸承進行分析，重點研究供氣壓力、轉速及偏心率對軸承動力學特性參數的影響。

表1 軸承結構尺寸及運行參數Tab.1 Structural dimensions and operating parameters of bearing

通過有限差分法求解潤滑方程（1）式，并在供氣孔周圍滿足質量守恒的條件下可以獲得靜壓氣體軸承的壓力分布。

2.1 擾動頻率的影響

供氣壓力4×105Pa、偏心率0.3、轉速5×105r/min下，靜壓氣體軸承氣膜間隙內的壓力分布如圖2所示。

圖2 靜壓氣體軸承氣膜間隙壓力分布Fig.2 Pressure distribution in gas film clearance of externally pressurized gas bearing

在此運行工況下軸承的動態剛度系數與動阻尼系數隨擾動頻率的變化情況如圖3所示。

圖3 剛度系數與阻尼系數隨擾動頻率的變化Fig.3 Variation of stiffness and damping coefficients with disturbance frequency

由圖3可以看出：

1）靜壓氣體軸承的主剛度系數隨轉子擾動頻率的增加而增加，最終趨于一恒定值。交叉剛度的絕對值總體隨擾動頻率的增加而減小，最終趨于恒定值。

2）主阻尼系數隨轉子擾動頻率的增加而減少，最終趨于一恒定值，當量綱一的擾動頻率大于1.5時，2個方向的主阻尼系數數值趨于一致；交叉阻尼系數的絕對值隨擾動頻率的增加而減小，最終趨于0，且關于y＝0對稱。

3）當量綱一的擾動頻率大于1時，主剛度系數遠大于交叉剛度系數；主阻尼系數也大于交叉阻尼系數。

2.2 供氣壓力的影響

在偏心率0.3、轉速3×105r/min下，不同供氣壓力對靜壓氣體軸承動力學特性系數的影響如圖4、圖5所示，并將計算結果與相同尺寸下的動壓氣體軸承作比較。

圖4 剛度系數隨供氣壓力的變化Fig.4 Variation of stiffness coefficients with gas supply pressure

圖5 阻尼系數隨供氣壓力的變化Fig.5 Variation of damping coefficients with gas supply pressure

由圖4、圖5可以看出：

1）當量綱一的擾動頻率小于2.5時，供氣壓力對主剛度系數的影響不大；當量綱一的擾動頻率大于2.5時，主剛度系數隨供氣壓力的增加而增加，差值呈逐漸增大趨勢，最終趨于穩定；主阻尼系數隨壓力的增加而增加。

2）交叉剛度系數與供氣壓力的關系并不明顯，不同壓力下的交叉剛度數值相差不大，當量綱一的擾動頻率小于3時，Kxy與供氣壓力成反比，Kyx與供氣壓力成正比；當量綱一的擾動頻率大于3時，交叉剛度幾乎與供氣壓力無關；

3）當量綱一的擾動頻率小于1時，動壓氣體軸承的主剛度系數略大于靜壓氣體軸承；當量綱一的擾動頻率大于1時，靜壓氣體軸承的主剛度系數增加幅度遠大于動壓氣體軸承；靜壓氣體的主阻尼系數大于動壓氣體軸承，并隨著擾動頻率的增加呈減小趨勢。

4）當量綱一的擾動頻率小于2.5，動壓氣體軸承交叉剛度項Kxy大于靜壓氣體軸承，當量綱一的擾動頻率繼續增加，其值略小于靜壓氣體軸承；當量綱一的擾動頻率小于2時，交叉剛度項Kyx小于靜壓氣體軸承；當量綱一的擾動頻率大于2，由于靜壓氣體軸承的此項有減小趨勢，導致最終動壓氣體軸承大于靜壓氣體軸承。動壓氣體軸承的阻尼交叉項Dxy整體小于靜壓氣體軸承，動壓氣體軸承的Dyx大于靜壓氣體軸承。

2.3 旋轉速度的影響

在供氣壓力4×105Pa、偏心率0.3下，靜壓氣體軸承的轉速對動剛度系數和動阻尼系數的影響分別如圖6、圖7所示。

由圖6、圖7可以看出：

圖6 剛度系數隨轉速的變化Fig.6 Variation of stiffness coefficients with rotating speed

圖7 阻尼系數隨轉速的變化Fig.7 Variation of damping coefficients with rotating speed

1）靜壓氣體軸承主剛度系數隨著轉速的增加而增加；當量綱一的擾動頻率大于1.5時，主阻尼系數隨轉速的增加而減小。

2）當量綱一的擾動頻率小于2.5時，交叉剛度系數Kxy總體上隨轉速的增加而增加，Kyx隨轉速的增加而減少；當量綱一的擾動頻率大于2.5時，轉速對交叉剛度的影響不大。當量綱一的擾動頻率小于1.5時，交叉阻尼系數Dxy隨轉速的增加而增加，Dyx隨轉速的增加而減小；當量綱一的擾動頻率大于1.5時，轉速對交叉阻尼的影響不大。

2.4 偏心率的影響

在供氣壓力5×105Pa、轉速3×105r/min下，靜壓氣體軸承的偏心率對動剛度系數和動阻尼系數的影響分別如圖8、圖9所示。

由圖8、圖9可以看出：

圖8 剛度系數隨偏心率的變化Fig.8 Variation of stiffness coefficients with eccentricity

圖9 阻尼系數隨偏心率的變化Fig.9 Variation of damping coefficients with eccentricity

1）主剛度系數隨偏心率的增加而增加，且在承載方向的影響要遠大于非承載方向；主阻尼系數也隨偏心率的增加而增加，當量綱一的擾動頻率大于2.5時，偏心率對阻尼系數的影響大大減少。

2）當量綱一的擾動頻率小于1時，交叉剛度系數Kxy隨偏心率而減小，Kyx隨偏心率的增加而增大；當量綱一的擾動頻率大于1時，Kxy隨偏心率的增加而增加，Kyx隨偏心率的增加而減小。當量綱一的擾動頻率小于2時，交叉阻尼系數Dxy隨偏心率的增加而增加，Dyx隨偏心率的增加而減小；當量綱一的擾動頻率大于2時，偏心率對交叉阻尼系數的影響不大。