高速雙轉子試驗機主軸系統模態分析

馬俊，司東宏，薛玉君，，董永祥

（1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械設計及傳動系統重點實驗室，河南 洛陽 471003）

主軸系統的動態特性是直接影響高速雙轉子試驗機整體性能的主要因素。主軸軸系受力復雜，不僅承受徑向加載力，還承受轉子旋轉質量慣性力引起的周期性振動，而周期性振動會使軸系的疲勞壽命降低；因此，分析試驗機主軸系統的動態特性對于提高試驗機整體穩定性、可靠性和延長使用壽命具有重要的意義［1］。

文獻［2］分別分析了雙轉子軸承試驗機左右端主軸的固有頻率，計算出單根軸的臨界轉速，由此得出單根軸的固有頻率滿足使用要求。然而，雙轉子軸承試驗機單根軸的模態變化不能等同于雙軸耦聯時的模態變化，因此，使用有限元分析軟件ANSYSWorkbench分析雙軸耦聯時的軸系模態變化，同時考慮高轉速軸系旋轉時產生的預應力對軸系模態的影響。

1 模態分析理論

模態分析是研究機械結構動力學特性、振動分析和動態優化設計的常用方法。多自由度結構系統的動力學方程可以表示為［3-4］

式中：M，C，K分別為結構系統的質量、阻尼、剛度矩陣；F（t）為外激勵矢量；X為位移矢量。

在實際工況中，阻尼對結構的固有頻率和振型影響不大，則無外載荷作用且忽略阻尼時，可將（1）式簡化為

當軸系旋轉時，由于離心力的作用會產生一定的旋轉預應力，從而影響到軸系的模態振動性能。因此，在考慮預應力的情況下，（2）式方程解的形式可表示為

式中：kr為預應力剛度矩陣；m為振幅列陣；ω為角頻率；φ為初相角。通過求解上式可以得到ω1，ω2，…，ωn等n個固有頻率，并且滿足0≤ω1＜ω2＜…＜ωn。

2 主軸系統有限元分析

2.1 軸系模型的建立

使用Unigraphics軟件建立試驗機主軸系統結構模型，主軸系統主要有內軸、外軸、陪試軸承（角接觸球軸承、圓柱滾子軸承）、試驗軸承（角接觸球軸承）、徑向加載軸承等組成（圖1）。試驗軸承將內軸和外軸耦聯在一起。陪試角接觸球軸承分別裝在內軸左端和外軸右端，陪試圓柱滾子軸承裝在外軸左端，主要對軸系起支承作用；徑向加載軸承對軸系不起支承作用，計算時可以忽略其剛度。為了提高網格劃分質量并降低有限元分析時間，建模的過程中忽略一些不影響分析結果的倒角、倒圓角、孔等特征［5-7］。

圖1 軸系模型Fig.1 Shafting model

2.2 材料特性

主軸是軸承試驗機的關鍵部件，必須具備足夠的強度、剛度及耐磨性，且需要熱處理變形小，因此需選擇彈性模量、泊松比、屈服強度合適的材料。根據以上特點，主軸材料選用42CrMo，線性各向同性，詳細參數見表1。

表1 主軸材料屬性Tab.1 Material properties of spindle

2.3 有限元模型的建立

通過Unigraphics將軸系模型導成ANSYS Workbench分析軟件可以識別的X＿T格式。根據本次分析所用計算機的配置及對分析結果的精確度要求，選用了Sizing劃分網格，網格單元類型為CTETRA（10），單元大小為15；部件中的單元總數為34179，節點總數為57438，有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element model

2.4 軸承剛度的計算

根據試驗機主軸系統裝配方式可知，陪試軸承和試驗軸承對主軸系統起支承作用，需要計算其支承剛度，一般將軸承簡化成彈簧支承。實際工況中，軸承只有支承剛度而沒有拉剛度，因此，圓柱滾子軸承只有一個方向的支承剛度，而角接觸球軸承接觸力比較復雜，在2個互相垂直的方向各自建立一個彈簧支承，軸承支承簡化效果如圖3所示。

圖3 軸系支承示意圖Fig.3 Diagram of shafting support

現計算出滿足設計要求的軸承剛度的最小值，支承軸承參數見表2，假設不考慮軸系上不同型號軸承的交叉剛度和阻尼的影響，只考慮軸承對軸系支承正剛度的作用［8-9］。

表2 軸承參數Tab.2 Parameters for bearing

根據經驗公式［10］可知，角接觸球軸承及圓柱滾子軸承的徑向剛度分別為

將表2中的參數代入（4），（5）式可得K＝176957.4369 N/mm，K*＝1120621.355 N/mm。

2.5 邊界條件

在ANSYS Workbench中，約束角接觸球軸承T2和T4的全部自由度，T1和T3的軸向移動自由度；約束圓柱滾子軸承T6的全部自由度，如圖4所示。

圖4 邊界條件Fig.4 Boundary condition

2.6 模態分析

雙轉子軸系設計通常只做靜態下的模態分析，不考慮軸旋轉時產生的預應力對軸系模態的影響，但在實際工況下，軸系旋轉時產生的預應力不僅會影響軸系的剛度和強度，而且也影響軸承剛度；隨著軸系轉速的升高預應力會變大，從而改變與內外圈的接觸角，使軸承的剛度軟化，并對軸系的模態產生相應影響［11］。

考慮到軸系旋轉形成的預應力對軸承剛度的影響，分析軸系在靜態和不同轉速下的預應力對軸系模態的影響，其趨勢如圖5所示。由圖可知：靜態下軸系模態的各階固有頻率值大于考慮預應力的各階固有頻率值，這是由于軸系旋轉形成的預應力弱化了軸承的支承剛度，從而降低了固有頻率；而隨著轉速的升高，軸系的固有頻率下降越來越明顯，當轉速達到15000 r/min時，軸系1階固有頻率與靜態下的1階固有頻率相比降低了25.9%，這是因為隨著轉速的增加，軸系產生的預應力增大，使球與內圈的接觸角增大，與外圈的接觸角減小，并改變了接觸力的大小，使軸承的剛度隨著預應力的增加而降低，最終軸系固有頻率因軸承剛度的降低而減小。

圖5 不同轉速下軸承各階固有頻率的變化趨勢Tab.5 Variation trend of each natural frequency of bearing under different speeds

從圖中還可以看出：1階固有頻率的變化最為明顯，這說明預應力對1階固有頻率影響較大，為改善預應力對主軸模態頻率的影響，軸系工作時，應增加與其對應的軸向力，提高軸承剛度。

3 軸系臨界轉速的計算

臨界轉速是軸系設計時工作轉速避開共振頻率點的主要參考依據，軸系在臨界轉速附近工作時，將產生劇烈的振動，長時間運行會造成主軸部件的嚴重彎曲變形，甚至會造成轉子和軸承的破壞［12］。通過分析計算軸系的模態，求得各階固有頻率，從而確定軸系各階臨界轉速。臨界轉速與固有頻率的關系為［13］

式中：n為臨界轉速，r/min；f為固有頻率，Hz。

3.1 Campbell 圖求解

在ANSYS Workbench中，通過不同轉速下的多載荷步模態分析，可以獲得Campbell圖并能得到軸系的臨界轉速，軸系的Campbell圖如圖6所示。實際工況中軸系的工作轉速小于1階臨界轉速，因此只關注1階臨界轉速值，約為23206.2 r/min。

圖6 Campbell圖Tab.6 Campbell diagram

3.2 理論計算值

軸系由內軸和外軸通過試驗圓柱滾子軸承連接在一起，因軸的剛度較大，故忽略軸的彈性而將其設為質量塊，軸系上的軸承簡化為彈簧，所以整個軸系的簡化模型如圖7所示。

圖7 軸系簡化模型Tab.7 Simplified model for shafting

軸系簡化模型中：X1，X2分別為內、外軸的位移；M1和M2分別為內、外軸的質量，M1＝50.53 kg，M2＝42.72 kg；K1～K4為軸承的剛度，由（4），（5）式求得K1＝K2＝K4＝K＝176957.44 N/mm，K3＝K*＝1120621.36 N/mm。

由軸系的簡化模型圖建立能量方程式，系統在任意時刻的動能T和勢能V分別為

由（7）式減（8）式可得Lagrange函數為

對比理論計算與有限元分析的結果可知：理論分析值略大于有限元分析值，這是由于有限元軟件自動考慮了主軸材料的阻尼。根據軸設計手冊可知，為了軸系的安全運行，通常取軸系1階臨界轉速值的70%作為軸系在剛性階段的極限工作轉速。使用2種方法得到的1階臨界轉速分別為23206.2 和 24660 r/min，其 70% 分 別 為16244.34和17262 r/min，均高于主軸系統最高設計工作轉速15000 r/min，說明試驗機軸系的設計符合要求。

4 結束語

通過ANSYSWorkbench中Block Lanczos有限元法計算了軸系靜態下和預應力下的2種模態頻率值，對比可知：軸系轉速在3000～15000 r/min時，預應力下的模態值都低于靜態下的模態值，且隨著轉速的升高差值越來越大；當轉速達15000 r/min時，1階固有頻率相差了25.9%，表明預應力對軸系的影響明顯，因此模態分析時應考慮預應力的影響。

根據Campbell圖和理論分析法獲得軸系的1階臨界轉速分別為23206.2和24660 r/min，均遠大于主軸的設計工作轉速，可以滿足設計要求；而有限元分析的數值小于理論值，說明有限元分析的數值比較保守，在實際工況中，為了安全考慮采用此臨界轉速值。