運用“數(shù)學工具”，提升學生數(shù)學學力

葛善勤

摘 要：數(shù)學工具是學生數(shù)學學習的重要資源。以數(shù)學工具為中介，能夠發(fā)展學生的數(shù)學學力。教師在教學實踐中可以以“數(shù)學工具”為載體，打造“綜合與實踐”活動課程。本文以《玩轉三角板》的“綜合與實踐”活動為例，闡述運用數(shù)學工具的具體操作方法。

關鍵詞：數(shù)學工具；數(shù)學學力；綜合與實踐

數(shù)學工具在學生數(shù)學學習中發(fā)揮著重要的作用。小學生常用數(shù)學工具有直尺、三角尺、圓規(guī)、釘子板以及其他的一些教具、學具等。數(shù)學工具能夠促進學生數(shù)學學力發(fā)展，對于滲透數(shù)學思想，顯化數(shù)學方法也有著獨特功能。然而，在數(shù)學教學中，數(shù)學工具的使用情況卻不容樂觀，許多教師和學生對數(shù)學工具往往是“就題運用”，沒有充分發(fā)掘數(shù)學工具的系統(tǒng)功能。要讓學生的智慧在指尖跳躍，教師在教學中要充分研究數(shù)學工具，發(fā)掘數(shù)學工具的教學功能，釋放學生數(shù)學學力。本文以《玩轉三角板》的“綜合與實踐”活動教學為例，探尋如何以數(shù)學工具為中介，促進學生學力發(fā)展。

一、三角板：一種獨特的數(shù)學學習工具

三角板是小學生數(shù)學學習主要的學習工具。對于三角板的運用，一般教師僅僅將其停留在畫直線、畫固定度數(shù)角（如30°，45°，60°，90°等）、畫平行線、畫垂線等上。在這些操作方面，三角板僅僅是作為學生繪圖工具而使用的，沒有發(fā)展學生數(shù)學思維，促進學生學力發(fā)展。由于輕視三角板，導致部分學生對三角板三個角的固定度數(shù)、三角板的來歷、三角板的拼角、三角板的拼圖、三角板的旋轉、三角板的堆積等方面的內容都很陌生。基于此，筆者在五年級自主研發(fā)了《玩轉三角形》的“綜合與實踐”活動課。

開發(fā)《玩轉三角板》的數(shù)學“綜合與實踐”活動，意圖在于：讓學生在玩三角板的過程中了解三角板角、邊的特性，通過“玩”三角板，系統(tǒng)演繹“圖形與幾何”世界中的點、線、面、體，發(fā)展學生“點點成線、線線成面、面面成體”的動態(tài)幾何觀念，發(fā)展學生的動手操作能力，形成學生的具身認知能力，積累學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，滲透數(shù)學的思想與方法，讓學生欣賞數(shù)學的奇妙，感受、體驗到數(shù)學的魅力。

二、綜合與實踐：構筑數(shù)學工具運用的平臺

在學生的數(shù)學學習中，數(shù)學工具的使用往往是散點式的。散點式的數(shù)學工具運用往往不能發(fā)掘數(shù)學工具教與學的功能，學生往往是碰到要使用時才使用，這種使用往往是草草了事。學生沒有深入地研究、使用數(shù)學工具，很多時候數(shù)學工具成為虛設的閑置物品。數(shù)學工具的特性學生沒有發(fā)現(xiàn)，數(shù)學工具的使用技巧學生缺乏，數(shù)學工具使用受限讓數(shù)學工具遭遇到了放逐?！熬C合與實踐”活動課給了系統(tǒng)研究數(shù)學工具、使用數(shù)學工具的平臺。通過“綜合與實踐”中的系統(tǒng)研究、運用數(shù)學工具，能夠整體性地達成教學目標。

1. 形式召喚：激活學生數(shù)學猜想力

在“綜合與實踐”活動課程中，我們首先開發(fā)了“拼角”“畫角”的教學環(huán)節(jié)。調查研究發(fā)現(xiàn)，學生在四年級學習“角的度量”時，已經(jīng)知道了一副三角板中有兩種規(guī)格的三角板，其中幾個特殊角的度數(shù)以及一副三角板所拼一般角的度數(shù)，分別是30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°。教學伊始，筆者直接出示學生所拼三角形常見度數(shù)的角，引導學生發(fā)現(xiàn)這些角的特征。

生1：老師，我發(fā)現(xiàn)這些角都是由一副三角板中的某兩個角相加而成的。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些角的度數(shù)都是15°的倍數(shù)。

師：是嗎，按照你的發(fā)現(xiàn)，你覺得這么多角是從最小角到最大角排列的嗎？

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)其中少了兩個角，一個是最小角，還有一個角應該在150°到180°之間，是165°的角。

師：這兩個角，你能用一副三角板拼出來嗎？

學生討論。

生4：老師，我發(fā)現(xiàn)剛才這些角中，有的是三角板本身的角，有的是用三角板中的兩個角相加的，還可以用三角板中兩個角相減，如60°減去45°等于15°，45°減去30°等于15°。

學生操作。

生5：老師，我發(fā)現(xiàn)了一副三角板的兩條直角邊重合，兩條斜邊所成的夾角是165°，我用量角器量的。

學生操作。

師：是的，我們在動手操作時更要動腦，一副三角板中的角不僅可以相加，也可以相減，還可以通過猜想驗證的方法得到。學習數(shù)學要善于猜想。

學生已拼角按照某種序列排成后，能夠向學生顯露其中蘊含的規(guī)律。學生根據(jù)規(guī)律提出數(shù)學化猜想，并在動手實踐中展開驗證。在此，這樣一種數(shù)學形式形成了“召喚結構”，召喚著學生的自主探究。

2. 動手操作，發(fā)展學生的數(shù)學實踐力

結構主義教育心理學家皮亞杰認為，“活動是智慧的根源，讓兒童在操作中學習是教學最主要的原則”。在運用數(shù)學工具進行數(shù)學教學過程中，教師要讓學生手腦協(xié)同運作、做思共生。教學中，我們先讓學生用一副三角形玩，啟發(fā)學生思考：怎樣才能將一副三角板拼成一個四邊形？學生在操作中發(fā)現(xiàn)：一副三角板中有兩條邊竟然是相等的。對于學生來說，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這個發(fā)現(xiàn)為用兩副三角板拼圖奠定了基礎。請看用兩副三角板拼圖的教學片斷：

師：下面，請同學們用兩塊同樣的三角板，將相同的邊重合起來拼圖，找一找一共有幾種不同的拼法？

生1：我用的是30°的三角板，我找到了三種不同的拼法。（邊說邊展示）

生2：我找到了6種不同的拼法。（邊說邊展示）

生3：我用的是45°的三角板，我找到了三種不同的拼法。

師：同樣是用三角板拼，為什么30°的三角板拼出了6種，而45°的三角板只拼成了3種呢？

生4：因為30°的三角板三條邊各不相同，每一條邊相拼有兩種拼法，二三得六，一共有6種不同的拼法。45°的三角板兩條直角邊相同，所以只有兩種拼法，另外將斜邊翻轉后拼成的正方形是一樣的。因此，第二種規(guī)格的三角板拼圖只有3種拼法。

此外，筆者還讓學生在拼的過程中思考“怎樣拼周長最長？怎樣拼周長最短？”在學生通過操作發(fā)現(xiàn)用30°的三角板可以拼成等邊三角形，45°的三角板可以拼成正方形后，筆者適時用多媒體課件出示了“三角板的來歷”，讓學生了解三角板的產生史。如此，“數(shù)學味”與“文化味”在學生的指尖上相逢。

3. 學做共生，誘發(fā)學生的數(shù)學創(chuàng)造力

學生進行數(shù)學學具操作不僅是數(shù)學知識的習得、思想方法的領悟，更是數(shù)學文化的表達。教師還可以運用數(shù)學工具，發(fā)展學生的數(shù)學審美能力和創(chuàng)美素質。如筆者在讓學生用兩副三角板拼圖后，又進一步讓學生用四副三角板拼圖。學生果然不負所望，拼出了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、菱形、梯形等。其中，筆者選取了這樣的兩幅圖案（如圖1）。

師：同學們看這兩幅圖，有什么特征？

生1：這兩幅圖都是正方形，第一幅圖是由4個45°的三角形拼成的，第二幅圖是由4個30°的三角形拼成的。

生2：這兩幅圖整體來看是一個大正方形，里面還分別有一個小正方形。

生3：我發(fā)現(xiàn)第一幅圖中大正方形的面積是小正方形面積的2倍。

師：為什么？

生4：作兩條輔助線就可以看出。（生4走上講臺在電子白板上操作）

生5：也可以將外邊的小三角形向里翻轉，就能拼成里面的正方形。（生鼓掌）

師：同學們，我們再來研究第二幅圖。第二幅圖在2002年國際數(shù)學家大會上還被作為會標呢！

生：為什么？

師：第二幅圖叫“弦圖”。先請同學們思考一個問題，如果在這幅弦圖上，三角形的兩條直角邊分別為3厘米和4厘米，那么小正方形的面積是多少？大正方形的面積又是多少？

……

經(jīng)過學生的討論、交流，學生得出了大小正方形的面積。接著，筆者運用多媒體課件向學生展示了趙爽的“弦圖”，滲透了“勾股定理”的相關知識。這樣的教學，基于數(shù)學工具又超越數(shù)學工具，發(fā)展了學生的審美能力和創(chuàng)美素質。

三、動態(tài)想象，開掘學生的動態(tài)想象力

在數(shù)學教學中，教師運用數(shù)學工具，要著眼于學生數(shù)學思維力和數(shù)學想象力的發(fā)展。學習“圖形與幾何”，學生最大障礙在于“眼中有物，腦中無形”?！皠討B(tài)想象”可以讓學生的操作、感知、想象從被動轉向主動。教學中，筆者運用三角板發(fā)展學生的動態(tài)想象力。在動態(tài)想象中，學生初步認識到平面幾何與立體幾何、靜態(tài)幾何與動態(tài)幾何的微妙關聯(lián)。

師：同學們，其實三角板不僅可以拼起來玩，還可以轉起來玩呢?。▽W生躍躍欲試）

師：在同學們玩之前，先請同學們在頭腦中想象一下，以三角形的一個直角邊為軸旋轉，會形成怎樣的形體？（教師出示圓柱、球、長方體、正方體、圓錐體等）

生1：我覺得能夠形成三角形柱，下面是一個圓，上面是一個點。

生2：能夠形成像沙堆一樣的東西……

師：這種形體在數(shù)學上叫作圓錐，在六年級時我們會系統(tǒng)地研究它……

師：剛才我們是將三角板旋轉，我們還可以將三角板堆起來。同組的同學將相同的三角板堆一堆，看看堆成了什么？

生1：我們堆成了長方體的一半。

師：這種形體，數(shù)學上將它稱之為“三棱柱”。

從運用三角板旋轉，到堆三角板，既橫向又縱向地發(fā)展了學生的思維、想象。學生通過學具的創(chuàng)造性運用，從平面到立體，從靜態(tài)到動態(tài)，開闊了知識視野，激活了思維通路。一個個相關的知識點被串聯(lián)起來，形成了知識網(wǎng)。

數(shù)學工具是潛在的課程資源。在數(shù)學教學中巧妙運用數(shù)學工具，能夠發(fā)展學生的數(shù)學學力，讓學生從“學會”轉向“會學”。因此，教師在教學中要研究數(shù)學工具，充分發(fā)掘數(shù)學工具的教學功能，讓數(shù)學工具為學生的數(shù)學學習助力。